อินเวอร์สฟังก์ชัน หรือก็คือ ผกผันฟังก์ชัน หรือไม่ก็ฟังก์ชันผกผัน ใช้กันหลายคำเหลือเกินแต่ความหมายเหมือนกันครับผมขอใช้อินเวอร์สฟังก์ชันนะครับ เรามาดูความหมายกันดีกว่าครับว่าอินเวอร์สฟังก์ชันมันหมายถึงอะไรกันแน่ ถ้าเข้าใจความหมายแล้วมันก็ไม่ยากเลยครับ
สมมติ เรามีฟังก์ชันอันหนึ่งผมให้ชื่อว่าฟังก์ชัน f แล้วกันครับซึ่งผมกำหนดให้
\(f=\{(1,2),(3,4),(5,6)\}\)
อินเวอร์สของฟังก์ชัน f เขียนแทนด้วย \(f^{-1}\) ซึ่งก็คือ
\(f^{-1}=\{(2,1),(4,3),(6,5)\}\)
ซึ่งถ้าเราสังเกตจะเห็นว่า อินเวอร์ของฟังก์ชัน \(f\) คือการสลับตำแหน่งของคู่อันดับนั่นเองครับหรือถ้าเขียนเป็นแผนภาพก็จะได้ดังนี้ครับ
ซึ่งจากแผนภาพเราจะได้ว่า
\(f(1)=2\) ฟังก์ชัน f ส่งหนึ่งไปยังสอง
\(f(3)=4\)
\(f(5)=6\)
ต่อไปมาดูแผนภาพของ อินเวอร์สของฟังก์ชัน \(f\) หรือว่า \(f^{-1}\) กันบ้างครับก็จะได้ดังรูป
ซึ่งจากแผนภาพเราจะได้ว่า
\(f^{-1}(2)=1\)
\(f^{-1}(4)=3\)
\(f^{-1}(6)=5\)
มองภาพให้ออกหรือว่าเข้าใจ concept มันได้ก็จะไม่ยากครับเรื่องนี้ concept มีเพียงเท่านี้ครับ เรามาสรุปอีกทีกันครับ
\(f=\{(1,2),(3,4),(5,6)\}\)
\(f^{-1}=\{(2,1),(4,3),(6,5)\}\)
จะสังเกตเห็นว่าโดเมนของ \(f\) จะกลายมาเป็นเรนจ์ของ \(f^{-1}\)
เรนจ์ของ \(f\) จะกลายมาเป็นโดเมนของ \(f^{-1}\)
\(f(1)=2\) เราจะได้ว่า \(f^{-1}(2)=1\)
\(f(3)=4\) เราจะได้ว่า \(f^{-1}(4)=3\)
\(f(5)=6\) เราจะได้ว่า \(f^{-1}(6)=5\)
อีกทฤษฎีบทหนึ่งที่สำคัญครับ เพราะฟังก์ชันทุกฟังก์ชันไม่ได้มีตัวผกผันเสมอไปครับก็คือ
ทฤษฎีบท 1 ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชัน
\(f\) มีฟังก์ชันผกผัน ก็ต่อเมื่อ \(f\) เป็นฟังก์ชัน 1-1\)
สำหรับคำอธิบายทฤษฎีบทนี้คือ ฟังก์ชันใดๆจะมีอินเวอร์ส ฟังก์ชันนี้ต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเท่านั้นครับ
ยกตัวอย่างเช่น
ฟังก์ชัน \(f\) ซึ่งกำหนดโดย \(f(x)=3x+1\) ฟังก์ชันนี้จะมีอินเวอร์สของหรือไม่
วิธีทำ การที่เราต้องการรู้ว่าฟังก์ชันที่กำหนดมาให้ มีอินเวอร์สไหม เราต้องเช็คว่ามันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ถ้ามันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งฟังก์ชันนั้นๆจะมีอินเวอร์สครับ ซึ่งการเช็คว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่ง่ายมากครับ มาเริ่มกันเลย
กำหนดให้ \(x_{1},x_{2}\) เป็นจำนวนจริงใดๆ ซึ่ง \(f(x_{1})=f(x_{2})\) เพราะฉะนั้นเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}3x_{1}+1&=&3x_{2}+1\\3x_{1}&=&3x_{2}\\x_{1}&=&x_{2}\end{array}
ดังนั้น \(f\) เป็นฟังก์ชัน 1-1 เมื่อ \(f\) เป็นฟังก์ชัน 1-1 แสดงว่ามันต้องมีอินเวอร์สครับ
ต่อไปเราก็จะลองทำแบบฝึกหัดอินเวอร์สของฟังก์ชันกันครับ
1. สมมติว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
1) ถ้า \(f(3)=10\) จงหา \(f^{-1}(10)\)
เนื่องจาก \(f(3)=10\)
ดังนั้น \(f^{-10}=3\)
2) ถ้า \(f^{-1}(4)=3\) จงหา \(f(3)\)
เนื่องจาก \(f^{-1}(4)=3\)
ดังนั้น \(f(3)=4\)
3) ถ้า \(f(x)=5+2x\) แล้ว จงหา \(f^{-1}(10)\)
จาก \(f(\frac{5}{2})=5+2(\frac{5}{2})=5+5=10\)
นั่นคือ \(f(\frac{5}{2})=10\)
ดังนั้น \(f^{-1}(10)=\frac{5}{2}\)
2. จงแสดงว่า f และ g เป็นผกผันของกันและกัน โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันผกผัน
1) \(f(x)=x+5\quad ,\quad g(x)=x-5\)
วิธีทำ
\(f\circ g(x)=f(g(x))=f(x-5)=x-5+5=x\)
\(g\circ f(x)=g(f(x))=g(x+5)=x+5-5=x\)
จะเห็นว่า
\(f\circ g(x)=g\circ f(x)\)
ดังนั้น \(f\) และ \(g\) เป็นอินเวอร์สของกันและกัน
2) \(f(x)=2x+5 \quad , \quad g(x)=\frac{x-5}{2}\)
วิธีทำ
\(f\circ g(x)=f(g(x))=f(\frac{x-5}{2})=2(\frac{x-5}{2})+5)=x\)
\(g\circ f(x)=g(f(x))=g(2x+5)=\frac{2x+5-5}{2}=x\)
ดังนั้น \(f\) และ \(g\) เป็นอินเวอร์สของกันและกัน
3) \(f(x)=x^{2}-4\quad , x\geq 0 \quad , g(x)=\sqrt{x+4} \quad , x\geq -4\)
วิธีทำ
\(f\circ g(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x+4})=(\sqrt{x+4})^{2}-4)=x+4-4=x\)
\(g\circ f(x)=g(f(x))=g(x^{2}-4)=\sqrt{x^{2}-4+4}=\sqrt{x^{2}}=|x|=x\) เนื่องจาก \(x\geq 0\) ดังนั้น \(|x|=x\)
ดังนั้น \(f\) และ \(g\) เป็นอินเวอร์สของกันและกัน
3. จงหาฟังก์ชันผกผันของ f
1) \(f(x)=3x+1\)
วิธีทำ
ให้ \(y=3x+1\)
จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&3x+1\\y-1&=&3x\\x&=&\frac{y-1}{3}\end{array}
ต่อไปเปลี่ยน y เป็น x และ ก็เปลี่ยน x เป็น y จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{x-1}{3}\end{array}
ดังนั้น
\(f^{-1}=\frac{x-1}{3}\)
2) \(f(x)=\frac{x+2}{x-2}\)
วิธีทำ
ให้ \(y=\frac{x+2}{x-2}\)
จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{x+2}{x-2}\\y(x-2)&=&(x+2)\\yx-2y&=&x+2\\yx-x&=&2+2y\\x(y-1)&=&2+2y\\x&=&\frac{2+2y}{y-1}\end{array}
ต่อไปเปลี่ยน y เป็น x และ ก็เปลี่ยน x เป็น y จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{2+2x}{x-1}\end{array}
ดังนั้น
\(f^{-1}=\frac{2+2x}{x-1}\) เมื่อ \(x \neq 1\)
3) \(f(x)=\sqrt{2x+1}\)
วิธีทำ
ให้ \(y=\sqrt{2x+1}\)
จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\sqrt{2x+1}\\y^{2}&=&2x+1\\2x&=&y^{2}-1\\x&=&\frac{y^{2}-1}{2}\end{array}
ต่อไปเปลี่ยน y เป็น x และ ก็เปลี่ยน x เป็น y จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{x^{2}-1}{2}\end{array}
ดังนั้น
\(f^{-1}=\frac{x^{2}-1}{2}\)
4. กำหนดฟังก์ชัน f ให้ดังนี้
ก. \(f(x)=\sqrt{x+3}\)
ข. \(f(x)=3x+6\)
1) จงเขียนกราฟของ \(f\)
2) จงเขียนกราฟของ \(f^{-1}\)
วิธีทำ
ทำข้อ ก. ก่อนครับ
เรามาเขียนกราฟของ \(f(x)=\sqrt{x+3}\) ได้ดังรูปนะครับ ก็คือลองกำหนดค่า x แล้วเอาไปบวกกับ 3 ให้มันถอดรากได้ครับอย่างเช่น
ถ้า x=-3 จะได้ \(y=\sqrt{-3+3}=0\)
ถ้า x=-2 จะได้ \(y=\sqrt{-2+3}=1\)
ถ้า x=1 จะได้ \(y=\sqrt{1+3}=2\)
ถ้า x=6 จะได้ \(y=\sqrt{6+3}=3\)
ถ้า x=13 จะได้ \(y=\sqrt{13+3}=4\)
ลองกำหนด คร่าวอย่างนี้เราจะได้มองเห็นกราฟว่ามันจะเป็นอย่างไร เราก็จะได้คู่อันดับไปวาดกราฟครับ
(-3,0),(-2,1),(1,2),(6,3),(13,4)
ต่อไปหา \(f^{-1}\) บ้างครับจาก
\(y=\sqrt{x+3}\)
จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&\sqrt{x+3}\\y^{2}&=&x+3\\x&=&y^{2}-3\end{array}
ต่อไปเปลี่ยน y เป็น x และ ก็เปลี่ยน x เป็น y จะได้
\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-3\end{array}
ดังนั้น
\(f^{-1}=x^{2}-3\)
ข้อสังเกตโดเมนของ \(f^{-1}\geq 0\) จึงได้กราฟของ \(f\) และ \(f^{-1}\) ออกมาดังรูปครับ
สนับสนุนเว็บไซต์