มาดูการแก้อมการที่ติดอยู่ในค่าสัมบูรณ์กันครับก่อนที่จะมาแก้อสมการที่ติดในค่าสมบูรณ์ควรไปศึกษาพวกนี้ก่อนครับก็คือการแก้อสมการธรรมดาที่ไม่ติดค่าสัมบูรณ์ครับตามลิงค์ด้านล่างครับ
ช่วงและการแก้อสมการ โดยเฉพาะเรื่องช่วงและการแก้อสมการต้องอ่านให้เข้าใจนะครับเพราะต้องใช้ต่อยอดในการอ่านเรื่องนี้ครับ
การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ต่อไปมาดูตัวอย่างพวกนี้กันก่อนครับแล้วผมจะโยงจากตัวอย่างไปยังทฤษฎีบท แล้วนำทฤษฏีบทไปใช้แก้อสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ต่อไปครับ
สมมุติถ้าเราต้องการแก้อสมการนี้ \(|x|<2\) ความหมายก็คือค่าสัมบูรณ์ของอะไรเอ่ยน้อยกว่าสอง
จะเห็นว่าถ้าผมให้
\(x=0\) จะได้ว่า
\(|0|<2\)
\(0<2\) เป็นจริง
ถ้าให้ \(x=-1\) จะได้ว่า
\(|-1|<2\)
\(1<2\) เป็นจริง
ถ้าผมให้ \(x=-1.5\) จะได้ว่า
\(|-1.5|<2\)
\(1.5<2\) เป็นจริง
ถ้าผมให้ x=2 จะได้ว่า
\(|2|<2\)
\(2<2\) เป็นเท็จ
ถ้าผมให้ x=-3 จะได้ว่า
\(|-3|<2\)
\(3<2\) เป็นเท็จ
หรือถ้าเขียนคำตอบบนเส้นจำนวนจะได้ดังนี้ครับ
ซึ่งความหมายของมันก็คือ \(-2<x<2\)
ดังนั้นเซตคำตอบของ x คือ \(\{x|-2<x<2\}\)
*** ถ้าสรุปก็คือ ถ้า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก
\(|x|<a\) จะหมายถึง \(-a<x<a\) ครับ
เหมือนข้อข้างบน
ถ้าให้คำตอบของอสมการ \(|x|<2\) จะหมายถึง \(-2<x<2\) เห็นไหมได้แล้วคำตอบ
ในขณะเดียวกัน
\(|x|\leq a\) จะหมายถึง \(-a\leq x\leq a\)
ถ้าให้หาของอสมการ \(|x|\leq 2\) จะหมายถึง \(-2\leq x\leq 2\) ได้แล้วคำตอบ
ไปดูกันต่อกันครับ
สมมติผมให้แก้อสมการนี้ \(|x|>3\) ก็คือค่าสัมบูรณ์ของอะไรเอ่ยมีค่ามากกว่า 3 ถ้าเราลองคิดเล่นๆจะเห็นว่า
ถ้าผมให้ x=-3 จะได้
\(|-3|>3\)
\(3>3\) เป็นเท็จ
ถ้าผมให้ x=-4 จะได้
\(|-4|>4\)
\(4>4\) เป็นจริง
ถ้าผมให้ x=-5 จะได้
\(|-5|>3\)
\(5>3\) เป็นจริง
.................
ถ้าผมให้ x=3 จะได้ว่า
\(|3|>3\) เป็นเท็จ
ถ้าผมให้ x=4 จะได้ว่า
\(|4|>4\) เป็นจริง
ถ้าผมให้ x=5 จะได้
\(|5|>3\) เป็นจริง
ซึ่งจะเห็นว่า ถ้าคำตอบของอสมการ \(|x|>3\) ถ้าเขียนบนเส้นจำนวนคือ
จะเห็นว่าคำตอบของอสมการความหมายคือ \(x>-3 \) หรือ \(x>3\) ดังนั้นถ้าเขียนเป็นเซตคำตอบคือ
\(\{x|x<-3\quad หรือ \quad x>3\}\)
***ถ้าสรุปก็คือ ถ้า \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก
\(|x|>a\) จะหมายถึง \(x<-a\quad หรือ \quad x>a\)
เหมือนข้อข้างบนคำตอบของอสมการ \(|x|>3\) คือ \(x<-3\quad หรือ \quad x>3\)
ในขณะเดียวกัน
\(|x|\geq a\) จะหมายถึง \(x \leq -a\quad หรือ \quad x\geq a\) เช่นถ้าต้องการหาคำตอบของ อสมการ
\(|x| \geq 3\) คำตอบคือ \(x \leq -3 \quad หรือ \quad x\geq 3\)
ซึ่งทั้งหมดที่กล่าวมาสรุปเป็นทฤษฎีเพื่อคำตอบอสมการติดค่าสัมบูรณ์ได้ดังนี้
ทฤษฏีบท เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก
1. \(|x|<a\) ความหมายตรงกับ \(-a<x< a\)
2.\(|x|\leq a\) ความหมายตรงกับ \(-a\leq x\leq a\)
3. \(|x|>a\) ความหมายตรงกับ \(x<-a\quad หรือ\quad x>a\)
4. \(|x|\geq a\) ความหมายตรงกับ \(x\leq -a \quad หรือ \quad x\geq a\)
เราจะนำทฤษฏีบททั้ง 4 ข้อนี้แหละครับไปใช้ในการแก้อสมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ครับไปทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ
แบบฝึกหัดการแก้อมการที่ติดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์
1. จงหาเซตคำตอบของอสมการต่อไปนี้
1) \(|x-2|<1\)
วิธีทำ
ถ้าเราดูจากโจทย์อสมการนี้ \(|x-2|<1\) เข้ากับทฤษฏีข้อที่ \(|x|<a\) ดังนั้นการทำข้อนี้ก็คือ
\begin{array}{lcl}|x-2|&<&1\\ความหมายคือ\\-1&<&x-2&<&1\\-1+2&<&x&<&1+2\\1&<&x&<&3\end{array}
เซตของคำตอบคือ \(\{x|1<x<3\}\)
2) \(|x+3|>5\)
วิธีทำ
ถ้าเราดูจากโจทย์อสมการนี้ \(|x+3|>5\) เข้ากับทฤษฎีข้อที่ \(|x|>a\) ดังนั้นการทำข้อนี้คือ
\(|x+3|>5\) จะได้คือ
\(x+3<-5\) หรือ \(x+3>5\)
\(x<-5-3\) หรือ \(x>5-3\)
\(x<-8\) หรือ \(x>2\)
เซตคำตอบของอสมการคือ
\(\{x|x>2\quad หรือ \quad x<-8\}=(-\infty,-8)\cup (2,\infty)\)
3) \(|2x-1|\leq 11\)
วิธีทำ
ถ้าเราดูจากโจทย์อสมการนี้ \(|2x-1|\leq 11\) เข้ากับทฤษฎีข้อที่ \(|x|\leq a\) ดังนั้นการทำข้อนี้คือ
\(-11\leq 2x-1\leq 11\)
\(-10\leq 2x \leq 12\)
\(-5\leq x \leq 6\)
เซตคำตอบของอสมการนี้คือ
\(\{x|-5\leq x\leq 6\}=[-5,6]\)
4) \(|x|\geq |x-1|\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องยกกำลังสองทั้งสองข้างครับจะได้
\begin{array}{lcl}|x|&\geq& |x-1|\\|x|^{2}&\geq& |x-1|^{2}\\x^{2}&\geq& (x-1)^{2}\\x^{2}&\geq& x^{2}-2x+1\\0&\geq& -2x+1\\-2x+1&\leq& 0\\-2x&\leq& -1\\x&\geq& \frac{1}{2}\end{array}
เซตคำตอบของอสมการนี้คือ
\(\{x|x\geq \frac{1}{2}\}=[\frac{1}{2},\infty)\)
5) \(3|x-2|\leq |x+6|\)
วิธีทำ ถ้าทั้งสองของอสมการมีเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ติดอยู่ก็ทำการยกกำลังสองเพื่อให้ค่าสัมบูรณ์หายไปครับ
\begin{array}{lcl}3|x-2|\leq |x+6|\\(3|x-2|)^{2}\leq (|x+6|)^{2}\\3^{2}(x-2)^{2}\leq (x+6)^{2}\\9(x^{2}-4x+4)\leq x^{2}+12x+36\\9x^{2}-36x+36\leq x^{2}+12x+36\\8x^{2}-48x\leq 0\\x^{2}-6x\leq 0\\x(x-6)\leq 0\end{array}
คำของอสมการคือ ใครที่ไม่รู้ว่าควรทำไงต่อไปอ่านตามลิงค์นี้ครับ ช่วงและการแก้อสมการ
ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการคือ
\(\{x|0\leq x\leq 6\}=[0,6]\)
6) \(|\frac{x}{x+4}|>2\)
วิธีทำ เริ่มทำเลยครับไม่ยากดูแนวทางการทำให้ดีแล้วค่อยปรับไปใช้ในการทำโจทย์ข้ออื่นต่อไปครับ
\begin{array}{lcl}|\frac{x}{x+4}|>2\\\frac{|x|}{|x+4|}>2\\|x|>2|x+4|\end{array}
สามารถย้ายไปคูณได้เลยไม่เพราะติดค่าสัมบูรณ์ค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์เสมอ แต่ x ไม่เท่ากับ -4 ต่อไปทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างเลยครับจะได้
\begin{array}{lcl}|x|^{2}>(2|x+4|)^{2}\\x^{2}>2^{2}(x+4)^{2}\\x^{2}>4(x^{2}+8x+16)\\x^{2}>4x^{2}+32x+64\\x^{2}-4x^{2}-32x-64>0\\-3x^{2}-32x-64>0\\3x^{2}+32x+64<0\\(3x+8)(x+8)<0\end{array}
จะได้คำตอบดังแสดงบนเส้นจำนวนดังนี้ครับ
่ดังนั้นเซตคำตอบคือ
\(\{x|-8<x<-4 \quad หรือ \quad -4<x<-\frac{8}{3}\}=(-8,-4)\cup (-4,-\frac{8}{3})\)
7) \(|x^{2}-3x+2|<2\)
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างก็ทำให้เกิดกำลังสี่ซึ่งอาจจะยากต่อการแก้อสมการครับ ฉนั้นเราจะทำการแก้อสมการข้อนี้โดยการใช้นิยามของค่าสัมบูรณ์(Absolute) ไปดูตามลิงค์นะครับสำหรับคนที่ยังจำนิยามไม่ได้ จะแบ่งการทำออกเป็น 2 กรณีครับ
กรณีที่ 1 คือกรณีที่ \(x^{2}-3x+2\geq 0\)
ดังนั้น \(|x^{2}-3x+2|=x^{2}-3x+2\) จะได้
\(x^{2}-3x+2\geq 0\)
\((x-2)(x-1)\geq 0\)
จะได้คำตอบด้งแสดงบนเส้นจำนวน
แต่โจทย์บอกว่า \(x^{2}-3x+2<2\) ดังนั้นจะได้
\(x^{2}-3x+2<2\)
\(x^{2}-3x+2-2<0\)
\(x^{2}-3x<0\)
\(x(x-3)<0\)
เขียนคำตอบแสดงบนเส้นจำนวนได้ดังนี้
ใครที่เขียนคำตอบแสดงบนเส้นจำนวนยังไม่ได้ให้ไปดูที่ ช่วงและการแก้อสมการ
เอาทั้งสองคำตอบมาอินเตอร์เซคกันก็จะได้ ดังรูป
ดังนั้นค่า \(x\) ที่สอดคล้องกับกรณีที่ 1 คือ
\(\{x|0<x\leq 1 \quad หรือ \quad 2\leq x <3\}=(0,1] \cup [2,3)\)
ต่อไปทำกรณีที่ 2
กรณีที่ 2 คือ กรณีที่ \(x^{2}-3x+2<0\)
ดังนั้น \(|x^{2}-3x+2|=-(x^{2}-3x+2)\) จะได้
\(x^{2}-3x+2<0\)
\((x-1)(x-2)<0\)
จะได้คำตอบด้งแสดงบนเส้นจำนวน
หรือถ้าตอบเป็นเซตก็คือ \(\{1<x<2\}=(1,2)\)
แต่โจทย์บอกว่า \(x^{2}-3x+2<2\) ดังนั้นจะได้
\(-(x^{2}-3x+2)<2\)
\(x^{2}-3x+2>-2\)
\(x^{2}-3x+4>0\)
จะเห็นว่าอสมการนี้คำตอบคือจำนวนจริงใดๆทั้งหมดเลยครับหรือว่า \(\mathbb{R}\) นั่นเอง
เอาทั้งสองคำตอบมาอินเตอร์เซคกันก็คือ
\((1,2)\cup \mathbb{R}=(1,2)\)
ดังนั้นในกรณีที่ 2 ตอบ \(\{1<x<2\}=(1,2)\)
สนับสนุนเว็บไซต์