เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญที่เราควรรู้จักและทำความเข้าใจเพื่อนำไปใช้ประโยชน์ในการพิสูจน์เอกลักษณ์อื่นๆก็คือ

1) \(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\)

เอกลักษณ์นี้มาจากวงกลมหนึ่งหน่วย เนื่องจากวงกลม 1 หน่วยคือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (0,0) และมีรัศมียาว 1 หน่วยซึ่งวงกลมนี้มีสมการคือ  \(x^{2}+y^{2}=1\)    และจากการกำหนดฟังก์ชันตรีโกณคือ  กำหนดให้   \(sin\theta=y\)  และ  \(cos\theta=x\)   นำไปแทนในสมการวงกลม  คือ   \(x^{2}+y^{2}=1\)    จะได้

\[sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\]

2) \(1+tan^{2}\theta=sec^{2}\theta\)

มาลองพิสูจน์เอกลักษณ์ข้อนี้กันดูครับ จาก

\begin{array}{lcl}1+tan^{2}\theta &=&1+\frac{sin^{2}\theta}{cos^{2}\theta}\\&=&\frac{cos^{2}\theta}{cos^{2}\theta}+\frac{sin^{2}\theta}{cos^{2}\theta}\\&=&\frac{cos^{2}\theta+sin^{2}\theta}{cos^{2}\theta}\\&=&\frac{1}{cos^{2}\theta}\\&=&sec^{2}\theta\end{array}

นี่แหละครับคือการพิสูจน์เอกลักษณ์ข้อนี้มาดูข้อต่อไป

3) \(1+cot^{2}\theta=cosec^{2}\theta\)

มาลองทำการพิสูจน์ครับความจริงก็ทำคล้ายกับข้อข้างบนครับ

\begin{array}{lcl}1+cot^{2}\theta&=&1+\frac{cos^{2}\theta}{sin^{2}\theta}\\&=&\frac{sin^{2}\theta}{sin^{2}\theta}+\frac{cos^{2}\theta}{sin^{2}\theta}\\&=&\frac{sin^{2}\theta+cos^{2}\theta}{cos^{2}\theta}\\&=&\frac{1}{cos^{2}\theta}\\&=&cosec^{2}\theta\end{array}

เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญหลักๆก็มี 3 ข้อนี้แหละครับเรามี 3 ข้อแค่นี้ก็สามารถนำไปใช้ประโยชน์ในการพิสูจน์ข้ออื่นๆต่อไปได้ครับ มาลองทำแบบฝึกหัดกันครับ

แบบฝึกหัด จงพิสูนจ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) \(\frac{cosx}{secx}+\frac{sinx}{cosecx}=1\)

วิธีทำ จะพิสูจน์จากฝั่งซ้ายให้ได้ฝั่งขวานะครับก็คือทำให้ได้เป็น 1  ครับ

ก่อนที่จะทำข้อนี้อย่าลืมนิยามของฟังก์ชันตรีโกณนะครับก็คือ

\[\sec x=\frac{1}{\cos x},\quad cosec x=\frac{1}{\sin x}\]

เริ่มพิสูจน์กันเลย

\begin{array}{lcl}\frac{cosx}{secx}+\frac{sinx}{cosecx}&=&\frac{\cos x}{\frac{1}{\cos x}}+\frac{\sin x}{\frac{1}{\sin x}}\\&=&\cos^{2}x+\sin^{2}x\\&=&1\end{array}

ได้แล้วครับข้อนี้ไม่มีอะไรยุ่งยาก ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติข้อที่ 1 ข้อบนด้วย ก็คือ   \(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\)  เพียงแต่ว่าเข้าใช้ตัวแปร x  มาแทนทีตาครับ

---

2) \(\cot\theta\cos\theta+\sin\theta=\csc\theta\)

วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับพิสูจน์จากซ้ายไปขวาก่อนทำข้อนี้สิ่งที่ต้องรู้ก็คือ

\[\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\]

เริ่มพิสูจน์เลย

\begin{array}{lcl}\cot\theta\cos\theta+\sin\theta &=& \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cos\theta+\sin\theta\\&=&\frac{\cos^{2}}{\sin\theta}+\sin\theta\\&=&\frac{\cos^{2}}{\sin\theta}+\frac{\sin^{2}\theta}{\sin\theta}\\&=&\frac{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{\sin\theta}\\&=&\frac{1}{\sin\theta}\\&=&\csc\theta \end{array}

---

3) \(\csc x-\sin x=\cos x\cot x\)

วิธีทำ ทำเหมือนเดิมครับ

\begin{array}{lcl}\csc x-\sin x&=&\frac{1}{\sin x}-\sin x\\&=&\frac{1-\sin^{2}x}{\sin x}\\&=&\frac{\cos^{2}x}{\sin x}\\&=&\frac{\cos x}{\sin x}\cos x\\&=&\cot x \cos x \end{array}

---

4)  \(\csc\theta \cdot \cos \theta=\cot \theta\)

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับ

\begin{array}{lcl}\csc\theta \cdot \cos\theta&=&\frac{1}{\sin\theta}\cdot \cos\theta\\&=&\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\\&=&\cot\theta\end{array}

---

5) \(1+\tan^{2}(-\theta)=\sec^{2}\theta\)

วิธีทำ  ก่อนจะพิสูจน์มาดูอันนี้ก่อน

\(\tan^{2}(-\theta)=(-\tan\theta)(-\tan\theta)=\tan^{2}\theta\)   

เริ่มพิสูจน์กันเลยครับ

\begin{array}{lcl}1+\tan^{2}(-\theta)&=&1+\tan^{2}\theta\\&=&1+\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{1}{\cos^{2}\theta}\\&=&\sec^{2}\theta\end{array}

---

3) \(cos\theta(\tan\theta+\cot\theta)=\csc\theta\)

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ยากคูณเข้าตัดทอนกันก็ได้คำตอบแล้ว

\begin{array}{lcl}\cos\theta(\tan\theta+\cot\theta)&=&\cos\theta\tan\theta+\cos\theta\cot\theta\\&=&\cos\theta\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\cos\theta\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\\&=&\sin\theta+\frac{\cos^{2}\theta}{\sin\theta}\\&=&\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\sin\theta}\\&=&\frac{1}{\sin\theta}\\&=&\csc\theta\end{array}