-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (61)
61. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้
\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\) และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)
แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 6
- 7
- 10
- 17
วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ
\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}
จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น
\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย
\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}
ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ
โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}
ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว
จากสมการที่ \((1)\) คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (62)
62. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}
ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฟังก์ชัน ม.4
ฟังก์ชัน หรือ ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Function คำว่าฟังก์ชันนั้นเชื่อว่านักเรียนทุกคนที่เรียนในระบบ หรือนอกระบบถ้าได้เรียนคณิตศาสตร์คงเคยได้ยินคำนี้ คำว่าฟังก์ชัน หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจความหมายของฟังก์ชันอย่างแท้จริง มันนี้ผมจะอธิบายคำว่าฟังก์ชัน ให้ทุกคนได้เข้าใจ โดยใช้ภาษาแบบบ้านๆ ส่วนภาษาในทางคณิตศาสตร์นั้นทุกคนคงได้ยินได้ฟังมามากแล้ว วันนี้ขออธิบายความหมายของฟังก์ชันแบบ บ้านๆแล้วกันครับ
จุดกำเนิดของฟังก์ชัน มาจากความสัมพันธ์ สมมติ ผมมีความสัมพันธ์ 2 แบบ
แบบที่ 1 ให้ชื่อว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งผมกำหนดให้ \(r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\)
แบบที่ 2 ให้ชื่อว่าความสันพันธ์ s ซึ่งกำหนดใด้ \(s=\{(1,2),(1,3),(4,5),(6,7)\}\)
ดูรูปประกอบ
แบบที่ 1
แบบที่ 2
จากรูปความสัมพันธ์ แบบที่ 1 สมาชิกของโดเมนทุกตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงแค่ตัวเดียว ความสัมพันธ์แบบนี้เรียกว่า ฟังก์ชัน จำไว้เลย
แต่
ความสัมพันธ์ แบบที่ 2 มีสมาชิกของโดเมนบางตัวคือ 1 ไปจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เกินหนึ่งตัว ความสัมพันธ์แบบที่ 2 นี้เป็นได้แค่ความสัมพันธ์แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
นี่คือความหมายของฟังก์ชันแบบบ้านๆ ง่ายๆ ดูที่คู่อันดับของความสัมพันธ์ถ้าโดเมนมันไปจับคู่เกินหนึ่งตัวในเรนจ์ความสัมพันธ์นั้นจะไม่เป็นฟังก์ชัน นะ
ตัวอย่าง 1 ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่
1) \(\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)\}\)
เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกในโดเมนจับคู่กับเรนจ์เพียงตัวเดียวพูดง่ายๆคือสมาชิกในโดเมนไม่ซ้ำกัน
2) \(\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)\}\)
เป็นฟังก์ชัน
3) \(\{(1,a),(2,a),(3,a),(4,a),(5,a)\}\)
เป็นฟังก์ชัน ถึงแม้ว่าสมาชิกในเรนจ์ซ้ำกัน แต่โดเมนห้ามซ้ำกันก็พอ
4) \(\{(1,2),(2,4),(3,6),(1,8)\}\)
ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะมีสมาชิกในโดเมนซ้ำกันคือ 1
5) \(\{(2,3),(2,4),(2,5)\}\)
ข้อนี้ไม่เป็นฟังก์ชันชัดเจนเลย สมาชิกในโดเมนซ้ำกันสุดๆ
6) \(\{(x,y)\in A \times A |y=x^{2}\} \)
โดยที่ \(\quad\) \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)
ข้อนี้ดูเงื่อนไขดีๆนะ เอา x มายกกำลังสองแล้วได้ค่า y ฉะนั้นจะได้คู่อันดับ (-1,1) เพราะ \((-1)^{2}=1\)
(0,0) เพราะ \(0^{2}=0\)
(1,1) เพราะ \(1^{2}=1\)
ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้
\(\{(-1,1),(0,0),(1,1) \}\)
นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน
7) \(\{(x,y) \in A \times A |x+y=6 \}\)
โดยที่ \(\quad\) \(A=\{1,2,3,4,5\}\)
ข้อนี้มาดูเงื่อนไขคือ บวกกันแล้วได้ 6 ก็จะมี \(\quad\) \( (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\)
ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้
\(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}\)
นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน
8) \(\{(x,y)\in A\times A|x=y^{2}\};A=\{-2,-1,0,1,2\}\)
ข้อนี้มาดูเงื่อนไข วายกำลังสองแล้วได้เอ็กซ์ ก็จะมีคู่อันดับ (1,-1) เพราะ \((-1)^{2}=1\)
(1,1) เพราะ \(1^{2}=1\)
(0,0) เพราะ \(0^{2}=0\)
ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้
\(\{(1,-1) ,(1,1) ,(0,0)\}\) \(\quad\) จะเห็นว่ามีโดเมนคือเลข 1 ซ้ำกัน
นั่นคือ ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน
-
ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงฟังก์ชันเพิ่ม กับฟังก์ชันลดนะครับ ซึ่งในหัวข้อนี้เราจะใช้การประยุกต์เกี่ยวกับอนุพันธ์เพื่อหาว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้นั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ลดในช่วงใดบ้าง แต่ก่อนที่จะไปดูเนื้อหาตรงนี้ เรามาดูทบทวนนิยามของฟังก์เพิ่มและฟังก์ชันลดกันก่อน ซึ่งเรียนมาตั้งแต่ ม.4 แล้วนะครับ
นิยาม
\(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \(I\) ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก \(x_{1},x_{2}\) ใดๆที่อยู่ในช่วง \(I\) ถ้า \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})<f(x_{2})\)
\(f\) เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง \(I\) ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก \(x_{1},x_{2}\) ใดๆที่อยู่ในช่วง \(I\) ถ้า \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})>f(x_{2})\)
หรือถ้าพูดเป็นภาษาบ้านๆ ก็คือ ถ้าฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มและค่า y ก็เพิ่มตามด้วยหรือ ค่า x ลด ค่า y ก็ลดตามด้วย ฟังก์นั้นจะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
แต่ถ้า ฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มแต่ค่า y กลับลดลง หรือ ค่า x ลด แต่ค่า y กลับเพิ่มขึ้นคือแปรผกผันกัน ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลด
ต่อไปเราจะประยุกต์เรื่องของอนุพันธ์ในการหาฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลดครับ ดูต่อด้านล่างเลย
ทฤษฎีบท ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง \(A\subset D_{f}\)
1. ถ้า \(f^{\prime}(x)<0\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \(A\) แล้ว \(f\) เป็นฟังก์ชันลด (decreasing function) บนช่วง \(A\)
2. ถ้า \(f^{\prime}(x)>0\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \(A\) แล้ว \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) บนช่วง \(A\)
อ่าน ทฤษฎีบทแล้ว ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดเพื่อดูว่าฟังก์ชันไหนเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
แบบฝึกหัด
1. จงหาช่วงซึ่งฟังก์ชันที่กำหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
1) \(f(x)=3-2x-x^{2}\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=3-2x-x^{2}\)
\(f^{\prime}(x)=-2-2x=-2(1+x)\)
ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้ \(-2(1+x)>0\)
\begin{array}{lcl}-2(1+x)&>&0\\1+x&<&0\\x&<&-1\end{array}
จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=-2(1+x)>0\) เมื่อ \(x<-1\)
ตามทฤษฎีบท จะได้ว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \((-\infty,-1)\)
ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้ \(-2(1+x)<0\)
\begin{array}{lcl}-2(1+x)&<&0\\1+x&>&0\\x&>&-1\end{array}
จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=-2(1+x)<0\) เมื่อ \(x>-1\)
ตามทฤษฏีบท จะได้ว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง \((-1,\infty)\)
ดูภาพประกอบ ผมจะวาดกราฟให้ดูโดยใช้โปรแกรม geogebra นะครับ ดูภาพประกอบจะได้เห็นภาพชัดเจนขึ้น และที่สำคัญอย่าลืม นิยาม ของฟังก์ชันลด ฟังก์ชันเพิ่ม
2) \(f(x)=2x^{2}-x-3\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=2x^{2}-x-3\)
\(f^{\prime}(x)=4x-1\)
ซึ่งจะเห็นได้ว่า
\begin{array}4x-1&>&0\\x&>&\frac{1}{4}\end{array}
จะเห็นได้ว่า \(f^{\prime}(x)=4x-1>0\) เมื่อ \(x>\frac{1}{4}\)
นั่นก็คือ \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \((\frac{1}{4},\infty)\)
และอีกอัน
\begin{array}{lcl}4x-1&<&0\\x&<&\frac{1}{4}\end{array}
จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=4x-1<0\) เมื่อ \(x<\frac{1}{4}\)
นั่นก็คือ \(f\) เป็นฟัง์ชันลดบนช่วง \((-\infty,\frac{1}{4})\)
ดูรูปประกอบด้านล่างครับ
3)\(f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5\)
\(f^{\prime}(x)=6x^{2}+6x-36=6(x^{2}+x-6)=6(x+3)(x-2)\)
จะเห็นได้ว่า
\begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&>&0\end{array}
เมื่อ \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\) สำหรับการแก้สมการนี้ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้นะครับ ช่วงและการแก้อสมการ
ซึ่งจากการแก้อสมการ
\(f^{\prime}(x)>0\) เมื่อ \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\) ดังนั้น
\(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\)
อีกอันหนึ่ง
\begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&<0&\end{array}
เมื่อ \(x\in (-3,2)\) นั่นก็คือ
\(f^{\prime}(x)<0\) เมื่อ \(x\in (-3,2)\) ดังนั้น
\(f\) เป็นฟ้งก์ชันลดในช่วง \(x\in (-3,2)\)
-
โจทย์ฟังก์ชัน
ตอนนี้เรารู้จักความหมายของฟังก์ชันแล้วต่อไปเราก็ลองมาทำโจทย์เกี่ยวกับฟังก์ชันบ้าง เพื่อเป็นการเตรียมตัวและตรวจสอบความเข้าใจของตัวเองหลังจากที่ได้เรียนฟังก์ชันไปแล้ว ผมจะเอาโจทย์ง่ายๆก่อนให้นะครับมาลองเฉลยให้ดู เผื่อบางคนเรียนไม่ทันในห้องหรือไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีแหล่งข้อมูลข่าวสารอ่านทำความเข้าใจครับ มาดูตัวอย่างการทำโจทย์ฟังก์ชันเลย
ตัวอย่างที่ 1 กำหนด \(f(x)=x^{2}+2x+5\) จงหา
1.1 \(f(0)\) แทน 0 ลงไปใน x เลยครับก็จะได้
\(f(0)=0^{2}+2(0)+5=5\)
1.2 \(f(2)\) แทน 2 ลงไปใน x เลยครับจะได้
\(f(2)=2^{2}+2(2)+5=13\)
ตัวอย่างที่ 2 กำหนด \(f(x)=x^{2}-3x+5\) จงหา
1.1 \(f(x+h)\) ทำเหมือนข้อข้างบนเลยครับก็คือแทน x+h ลงใน x พูดง่ายๆก็คือตรงไหนมี x เปลี่ยนเป็น x+h ครับ
\(f(x+h)=(x+h)^{2}-3(x+h)+5\)
\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)
1.2 \(f(x+h)-f(x)\) อย่าลืมนะ \(f(x+h)\) เราหาไว้แล้วต่อไปก็ไม่ต้องทำอะไรมากก็แค่ลบกันให้ถูกก็พอ
\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\) และ
\(f(x)=x^{2}-3x+5\)
ดังนั้น
\(f(x+h)-f(x)=(x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5)-(x^{2}-3x+5)\) กระจายลบเข้าไปแล้วลบกันธรรมดาครับ
\(f(x+h)-f(x)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5-x^{2}+3x-5)\)
\(f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-3h\)
\(f(x+h)-f(x)=h(2x+h-3)\)
ลองทำแบบฝึกหัดโจทย์ฟังก์ชันเพิ่มเติมครับ
1. ถ้า \(f(x)=x^{2}+3x-5\) จงหา \(f(0),f(3),f(a),f(a+b),f(x+b)\) และ \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) เมื่อ \(h\neq 0\)
วิธีทำ
จาก
\(f(x)=x^{2}+3x-5\)
จะได้
\(f(0)=0^{2}+3(0)-5=-5\)
\(f(3)=3^{2}+3(3)-5=13\)
\(f(a)=a^{2}+3(a)-5\)
\(f(a+b)=(a+b)^{2}+3(a+b)-5\)
\(f(x+b)=(x+b)^{2}+3(x+b)-5\)
ทำอันสุดท้ายต่อครับ
\begin{array}{lcl}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^{2}+3(x+h)-5-(x^{2}+3x-5)}{h}\\&=&\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h-5-x^{2}-3x+5}{h}\\&=&\frac{h^{2}+2xh+3h}{h}\\&=&h+2x+3\end{array}
2. ถ้า
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
& 1 & when \quad x<1\\
& x & when \quad 1\leq x \leq 3\\
& 2 & when \quad x>3
\end{matrix}\right.\)จงหา \(f(-2),f(0),f(1),f(\frac{1}{2}),f(\sqrt{3}),f(9),\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\) เมื่อ h>0
วิธีทำ ข้อนี้เหมือนจะยาก แต่ง่ายที่มองว่ายากเพราะว่าอ่านโจทย์ไม่เข้าใจ เรามาลองทำไปพร้อมก้นช้าๆครับ
หา \(f(-2)\) แสดงว่า x เรามีค่าเท่ากับ -2 เนื่องจาก -2<1 กลับไปดูที่โจทย์ครับโจทย์บอกว่า
\(f(x)=1\) เมื่อ x<1 หมายความว่าถ้า x มีค่าน้อยกว่า 1 ค่าของ f(x) จะเท่ากับ 1
เนื่องจาก -2<1 ดังนั้น
\(f(-2)=1\)
หา \(f(0)\)
เนื่องจาก 0<1 ดังนั้น
\(f(0)=1\) ด้วย
หา \(f(1)\)
เราจะเห็นโจทย์เขาบอกว่า f(x)=x หรือว่าเท่ากับตัวมันเองเมื่อ \(1\leq x \leq 3\) ดังนั้นข้อนี้ x=1 ตรงตามเงื่อนไขนี้พอดี ดังนั้น
\(f(1)=1\)
หา \(f(\frac{1}{2})\)
เราจะเห็นว่าโจทย์เขาบอกว่า \(f(x)=1\) เมื่อ x<1 ความหมายคือถ้า x มันน้อยกว่าหนึ่ง f(x) มันจะเท่ากับหนึ่งเสมอ ดังนั้น x เราเท่ากับหนึ่งส่วนสองดังนั้นข้อนี้
\(f\frac{1}{2}=1\)
หา \(f(\sqrt{3})\)
เนื่องจาก \(\sqrt{3}\) มีค่าประมาณ 1.732 ดังนั้นต้องใช้ อันนี้ครับ
\(f(x)=x\) นั่นคือ
\(f(\sqrt{3})=\sqrt{3}\)
หา \(f(9)\)
ดูที่โจทย์บอกมาครับโจทย์บอกว่า \(f(x)=2\) เมื่อ x มีค่ามากกว่า 3 ซึ่งเอ็กซ์คือเราคือเก้ามากกว่าสามอยู่แล้วดังนั้น
\(f(9)=2\)
หา \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\) เมื่อ h>0
เราจะเห็นว่า h มันมากกว่าศูนย์ อาจะเป็น หนึ่ง สอง สาม เมื่อนำ h+3 มันต้องมากกว่า 3 จริงไหมครับ เมื่อ มันมากกว่าสาม เราต้องใช้อันนี้ครับ
\(f(x)=2\) เมื่อ x>3 ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\(f(3+h)=2\) นั่นเอง
ส่วน f(3) ใช้อันนี้ครับ \(f(x)=x\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\(f(3)=3\)
สรุปก็คือ
\begin{array}{lcl}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}&=&\frac{2-3}{h}\\&=&-\frac{1}{h}\end{array}
3. กำหนด \(U=\{0,1,2,3,4,5\}\) ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นสับเซตของ \(U\times U\) จงเขียนกราฟพร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน
1) \(f(x)=2x-3\)
2) \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\)
วิธีทำ ลองหาค่าของ \(U\times U\) ก่อนครับใครทำไม่เป็นก็ไปดูนี่ครับ ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product) ก็จะได้
\(\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),\\(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\\(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),\\(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),\\(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),\\(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)\}\)
นี่คือ \(U\times U\) มีสมาชิกทั้งหมด 36 ตัวครับ ต่อไปมาดูฟังก์ชันแรกก่อนครับ
1) ก็คือ \(f(x)=2x-3\) หรือก็คือ \(y=2x-3\) นั่นเองครับซึ่งก็คือ
ถ้า \(x=0\) จะได้ว่า \(y=-3\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((0,-3)\) แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=1\) จะได้ว่า \(y=-1\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((1,-1)\) แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=2\) จะได้ว่า \(y=1\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((2,1)\) อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=3\) จะได้ว่า \(y=3\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((3,3)\) อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=4\) จะได้ว่า \(y=5\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((4,5)\) อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)
ถ้า \(x=5\) จะได้ว่า \(y=7\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((5,7)\) แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)
ดังนั้นฟังก์ชัน
\(f(x)=2x-3\) เขียนใหม่ได้คือ
\(f(x)=\{(2,1),(3,3),(4,5)\}\)
โดเมนของฟังก์ชันนี้คือ \(\{2,3,4\}\)
เรนจ์ของฟังก์ชันนี้คือ \(\{1,3,5\}\)
กราฟของฟังก์ชันคือ
มาดูข้อที่สองกันครับจากฟังก์ชัน ข้อที่ 2 คือ
2) \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\)
ดูที่เงื่อนไขฟังก์ชันนะ ก็คือทั้งเอ็กซ์และวายยกกำลังสองบวกกันแล้วต้องได้ 25 เราก็ไปดูที่ \(U\times U\) ว่ามีตัวไหนบ้างที่ยกกำลังสองแล้วบวกกันได้ 25 บ้าง เช่น
\((3,4)\) จะเห็นว่า \(3^{2}=9\) และ \(4^{2}=16\) เห็นว่า \(9+16=25\) ตามเงื่อนไขในฟังก์ชันเลย
\((0,1)\) จะเห็นว่า \(0^{2}=0\) และ \(1^{2}=1\) เห็นว่า \(0+1=1\) ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขฟังก์ชันที่กำหนดให้
ถ้าลองๆไปดูที่ \(U\times U\) ด้านบนก็จะเห็นว่าคู่อันดับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขคือ
\((3,4),(4,3),(0,5),(5,0)\)
ดังฟังก์ชัน \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\) เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้คือ
\(f=\{(3,4),(4,3),(0,5),(5,0)\}\)
จะได้
โดเมนคือ \(\{3,4,0,5\}\)
เรนจ์คือ \(\{4,3,0,5\}\)
กราฟหน้าตาก็เป็นแบบนี้ครับ
4. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}
ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}
5. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้
\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\)
และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\)
ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)
แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 6
- 7
- 10
- 17
วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ
\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}
จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น
\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย
\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}
ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ
โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}
ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว
จากสมการที่ \((1)\) คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}