-
ฟังก์ชัน ม.4
ฟังก์ชัน หรือ ภาษาอังกฤษใช้คำว่า Function คำว่าฟังก์ชันนั้นเชื่อว่านักเรียนทุกคนที่เรียนในระบบ หรือนอกระบบถ้าได้เรียนคณิตศาสตร์คงเคยได้ยินคำนี้ คำว่าฟังก์ชัน หลายคนอาจจะยังไม่เข้าใจความหมายของฟังก์ชันอย่างแท้จริง มันนี้ผมจะอธิบายคำว่าฟังก์ชัน ให้ทุกคนได้เข้าใจ โดยใช้ภาษาแบบบ้านๆ ส่วนภาษาในทางคณิตศาสตร์นั้นทุกคนคงได้ยินได้ฟังมามากแล้ว วันนี้ขออธิบายความหมายของฟังก์ชันแบบ บ้านๆแล้วกันครับ
จุดกำเนิดของฟังก์ชัน มาจากความสัมพันธ์ สมมติ ผมมีความสัมพันธ์ 2 แบบ
แบบที่ 1 ให้ชื่อว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งผมกำหนดให้ \(r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\)
แบบที่ 2 ให้ชื่อว่าความสันพันธ์ s ซึ่งกำหนดใด้ \(s=\{(1,2),(1,3),(4,5),(6,7)\}\)
ดูรูปประกอบ
แบบที่ 1
แบบที่ 2
จากรูปความสัมพันธ์ แบบที่ 1 สมาชิกของโดเมนทุกตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียงแค่ตัวเดียว ความสัมพันธ์แบบนี้เรียกว่า ฟังก์ชัน จำไว้เลย
แต่
ความสัมพันธ์ แบบที่ 2 มีสมาชิกของโดเมนบางตัวคือ 1 ไปจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เกินหนึ่งตัว ความสัมพันธ์แบบที่ 2 นี้เป็นได้แค่ความสัมพันธ์แต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
นี่คือความหมายของฟังก์ชันแบบบ้านๆ ง่ายๆ ดูที่คู่อันดับของความสัมพันธ์ถ้าโดเมนมันไปจับคู่เกินหนึ่งตัวในเรนจ์ความสัมพันธ์นั้นจะไม่เป็นฟังก์ชัน นะ
ตัวอย่าง 1 ความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่
1) \(\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)\}\)
เป็นฟังก์ชันเพราะสมาชิกในโดเมนจับคู่กับเรนจ์เพียงตัวเดียวพูดง่ายๆคือสมาชิกในโดเมนไม่ซ้ำกัน
2) \(\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)\}\)
เป็นฟังก์ชัน
3) \(\{(1,a),(2,a),(3,a),(4,a),(5,a)\}\)
เป็นฟังก์ชัน ถึงแม้ว่าสมาชิกในเรนจ์ซ้ำกัน แต่โดเมนห้ามซ้ำกันก็พอ
4) \(\{(1,2),(2,4),(3,6),(1,8)\}\)
ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะมีสมาชิกในโดเมนซ้ำกันคือ 1
5) \(\{(2,3),(2,4),(2,5)\}\)
ข้อนี้ไม่เป็นฟังก์ชันชัดเจนเลย สมาชิกในโดเมนซ้ำกันสุดๆ
6) \(\{(x,y)\in A \times A |y=x^{2}\} \)
โดยที่ \(\quad\) \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)
ข้อนี้ดูเงื่อนไขดีๆนะ เอา x มายกกำลังสองแล้วได้ค่า y ฉะนั้นจะได้คู่อันดับ (-1,1) เพราะ \((-1)^{2}=1\)
(0,0) เพราะ \(0^{2}=0\)
(1,1) เพราะ \(1^{2}=1\)
ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้
\(\{(-1,1),(0,0),(1,1) \}\)
นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน
7) \(\{(x,y) \in A \times A |x+y=6 \}\)
โดยที่ \(\quad\) \(A=\{1,2,3,4,5\}\)
ข้อนี้มาดูเงื่อนไขคือ บวกกันแล้วได้ 6 ก็จะมี \(\quad\) \( (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\)
ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้
\(\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}\)
นั่นคือ เห็นชัดเจนว่าเป็นฟังก์ชัน
8) \(\{(x,y)\in A\times A|x=y^{2}\};A=\{-2,-1,0,1,2\}\)
ข้อนี้มาดูเงื่อนไข วายกำลังสองแล้วได้เอ็กซ์ ก็จะมีคู่อันดับ (1,-1) เพราะ \((-1)^{2}=1\)
(1,1) เพราะ \(1^{2}=1\)
(0,0) เพราะ \(0^{2}=0\)
ดังนั้นเซตนี้ถ้าเขียนแบบแจกแจงสมาชิกก็จะได้
\(\{(1,-1) ,(1,1) ,(0,0)\}\) \(\quad\) จะเห็นว่ามีโดเมนคือเลข 1 ซ้ำกัน
นั่นคือ ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชัน
-
ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงฟังก์ชันเพิ่ม กับฟังก์ชันลดนะครับ ซึ่งในหัวข้อนี้เราจะใช้การประยุกต์เกี่ยวกับอนุพันธ์เพื่อหาว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้นั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ลดในช่วงใดบ้าง แต่ก่อนที่จะไปดูเนื้อหาตรงนี้ เรามาดูทบทวนนิยามของฟังก์เพิ่มและฟังก์ชันลดกันก่อน ซึ่งเรียนมาตั้งแต่ ม.4 แล้วนะครับ
นิยาม
\(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \(I\) ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก \(x_{1},x_{2}\) ใดๆที่อยู่ในช่วง \(I\) ถ้า \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})<f(x_{2})\)
\(f\) เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง \(I\) ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก \(x_{1},x_{2}\) ใดๆที่อยู่ในช่วง \(I\) ถ้า \(x_{1}<x_{2}\) แล้ว \(f(x_{1})>f(x_{2})\)
หรือถ้าพูดเป็นภาษาบ้านๆ ก็คือ ถ้าฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มและค่า y ก็เพิ่มตามด้วยหรือ ค่า x ลด ค่า y ก็ลดตามด้วย ฟังก์นั้นจะเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
แต่ถ้า ฟังก์ชันนั้นมีค่า x เพิ่มแต่ค่า y กลับลดลง หรือ ค่า x ลด แต่ค่า y กลับเพิ่มขึ้นคือแปรผกผันกัน ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลด
ต่อไปเราจะประยุกต์เรื่องของอนุพันธ์ในการหาฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลดครับ ดูต่อด้านล่างเลย
ทฤษฎีบท ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง \(A\subset D_{f}\)
1. ถ้า \(f^{\prime}(x)<0\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \(A\) แล้ว \(f\) เป็นฟังก์ชันลด (decreasing function) บนช่วง \(A\)
2. ถ้า \(f^{\prime}(x)>0\) สำหรับทุก \(x\) ในช่วง \(A\) แล้ว \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่ม (increasing function) บนช่วง \(A\)
อ่าน ทฤษฎีบทแล้ว ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดเพื่อดูว่าฟังก์ชันไหนเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
แบบฝึกหัด
1. จงหาช่วงซึ่งฟังก์ชันที่กำหนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด
1) \(f(x)=3-2x-x^{2}\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=3-2x-x^{2}\)
\(f^{\prime}(x)=-2-2x=-2(1+x)\)
ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้ \(-2(1+x)>0\)
\begin{array}{lcl}-2(1+x)&>&0\\1+x&<&0\\x&<&-1\end{array}
จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=-2(1+x)>0\) เมื่อ \(x<-1\)
ตามทฤษฎีบท จะได้ว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \((-\infty,-1)\)
ซึ่งถ้าเราลองแก้อสมการนี้ \(-2(1+x)<0\)
\begin{array}{lcl}-2(1+x)&<&0\\1+x&>&0\\x&>&-1\end{array}
จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=-2(1+x)<0\) เมื่อ \(x>-1\)
ตามทฤษฏีบท จะได้ว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง \((-1,\infty)\)
ดูภาพประกอบ ผมจะวาดกราฟให้ดูโดยใช้โปรแกรม geogebra นะครับ ดูภาพประกอบจะได้เห็นภาพชัดเจนขึ้น และที่สำคัญอย่าลืม นิยาม ของฟังก์ชันลด ฟังก์ชันเพิ่ม
2) \(f(x)=2x^{2}-x-3\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=2x^{2}-x-3\)
\(f^{\prime}(x)=4x-1\)
ซึ่งจะเห็นได้ว่า
\begin{array}4x-1&>&0\\x&>&\frac{1}{4}\end{array}
จะเห็นได้ว่า \(f^{\prime}(x)=4x-1>0\) เมื่อ \(x>\frac{1}{4}\)
นั่นก็คือ \(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง \((\frac{1}{4},\infty)\)
และอีกอัน
\begin{array}{lcl}4x-1&<&0\\x&<&\frac{1}{4}\end{array}
จะเห็นว่า \(f^{\prime}(x)=4x-1<0\) เมื่อ \(x<\frac{1}{4}\)
นั่นก็คือ \(f\) เป็นฟัง์ชันลดบนช่วง \((-\infty,\frac{1}{4})\)
ดูรูปประกอบด้านล่างครับ
3)\(f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5\)
วิธีทำ จาก
\(f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x+5\)
\(f^{\prime}(x)=6x^{2}+6x-36=6(x^{2}+x-6)=6(x+3)(x-2)\)
จะเห็นได้ว่า
\begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&>&0\end{array}
เมื่อ \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\) สำหรับการแก้สมการนี้ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้นะครับ ช่วงและการแก้อสมการ
ซึ่งจากการแก้อสมการ
\(f^{\prime}(x)>0\) เมื่อ \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\) ดังนั้น
\(f\) เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง \(x\in (-\infty,-3)\cup (2,\infty)\)
อีกอันหนึ่ง
\begin{array}{lcl}6(x+3)(x-2)&<0&\end{array}
เมื่อ \(x\in (-3,2)\) นั่นก็คือ
\(f^{\prime}(x)<0\) เมื่อ \(x\in (-3,2)\) ดังนั้น
\(f\) เป็นฟ้งก์ชันลดในช่วง \(x\in (-3,2)\)