-
ดอกเบี้ยทบต้น
ดอกเบี้ยทบต้น เราได้เรียนดอกเบี้ยคงต้นไปแล้ววันนี้เรามารู้จักความหมายของดอกเบี้ยทบต้นกันดีกว่าครับว่าแตกต่างจากดอกเบี้ยดอกเบี้ยคงต้น สมมติผมไปฝากเงินในธนาคารแห่งหนึ่ง 200 บาท ธนาคารให้ดอกเบี่ยร้อยละ 2 ต่อปี ผ่านไปหนึ่งปีผมก็จะได้ดอกเบี้ยจากเงินฝากนี้จำนวน 4 บาท แสดงว่าตอนนี้ผมมีเงินรวมในบัญชี 204 บาท ในปีถัดไปในการคำนวณหาดอกเบี้ย
ถ้าเป็นดอกเบี้ยแบบคงต้นก็จะนำเงินต้นตอนแรกมาคำนวณหาดอกเบี้ยคือนำเงิน 200 บาทมาคำนวณหาดอกเบี้ยต่อ
ถ้าเป็นดอกเบี้ยแบบทบต้นก็จะนำเงินที่เกิดจากการรวมกับดอกเบี้ยก่อนหน้านั้นก็คือ 206 บาทมาคำนวณหาดอกเบี้ยในปีถัดไปต่อ นี้คือข้อแตกต่างของของดอกเบี้ยแบบคงต้น กับดอกเบี้ยแบบทบต้น
ความหมายของดอกเบี้ยทบต้น
ดอกเบี้ยทบต้น(Compound Interest) คือ ดอกเบี้ยที่กำหนดให้มีการนำเอาดอกเบี้ยที่เกิดขี้นในแต่ละครั้งที่มีการคิดดอกเบี้ยไปรวมกับเงินต้น เพื่อนำมาเป็นเงินต้นของงวดถัดไป โดยสามารถคำนวณได้จากสูตร
\[A=P(1+i)^{n}\]
โดยที่
\(A\) แทนเงินรวมทั้งหมด
\(P\) แทนเงินต้น
\(i\) แทนอัตราดอกเบี้ย
\(n\) แทนจำนวนงวดที่คิดดอกเบี้ยทบต้น
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้นกันครับ
1. สมชายฝากเงินกับธนาคารเป็นเงิน 90000 บาท เป็นเวลา 4 ปี และธนาคารให้ดอกเบี้ยแบบทบต้นต่อปี โดยให้ดอกเบี้ย 1.5% ต่อปี เมื่อสิ้นปีที่ 4 สมชายจะมีเงินรวมทั้งหมดเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า \(P=90000\quad ,n=4\quad i=0.015\)
จากสูตร \(A=P(1+i)^{n}\) แทนค่าลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\&=&90000(1+0.015)^{4}\\&=&90000(1.06)\\&=&95400\end{array}
เมื่อสิ้นปีที่ 4 สมชายมีเงินรวม 95400 บาท
2. สมหญิงฝากเงินกับธนาคารแห่งหนี่งให้ดอกเบี้ย 2% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นต่อปี เมื่อสิ้นปีที่ 3 สมหญิงมีเงินต้นพร้อมดอกเบี้ย 46000 บาท สมหญิงฝากเงินกับธนาคารเท่าไร
วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ถามหาเงินต้นครั้งแรกที่ สมหญิงฝากไว้กับธนาคาร
จากโจทย์ \(A=46000\quad ,n=3\quad i=0.02\)
แทนค่าลงไปในสูตรจะได้
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\46000&=&P(1+0.02)^{3}\\46000&=&P(1.06)\\\frac{46000}{1.06}&=&P\\P&=&43396.23\end{array}
3.สมพรฝากเงินไว้กับธนาคารจำนวน ุ60000 บาท ธนาคารให้ดอกเบี้ย 1.8% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 4 เดือน เมื่อสิ้นปีที่ 2 สมพรมีเงินพร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์ \(P=60000\)
เนื่องจากธนาคารให้ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 4 เดือน ดังนั้น
จะได้ว่าใน 1 ปี ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นจำนวน 3 ครั้ง
จะได้ว่าในเวลา 2 ปี ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นจำนวน 6 ครั้ง
จะได้ว่า
\(n=6\quad i=\frac{0.018}{3}=0.006\)
จากสูตร \(A=P(1+i)^{n}\) แทนค่าลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}A&=&60000(1+0.006)^{6}\\A&=&60000(1.04)\\A&=&62400\end{array}
4. สมควรกู้เงินจากธนาคารจำนวน 200000 บาท เป็นเวลา 4 ปี ถ้าธนาคารคิดดอกเบี้ย 5% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน เมื่อสิ้นปีที่ 4 สมควรต้องชำระเงินรวมทั้งหมดเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ \(P=200000\)
เนื่องจากธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน ดังนั้น
ในระยะเวลา 1 ปีมีการคิดดอกเบี้ยทบต้นจำนวน 4 ครั้ง จะได้ว่า
ในระยะเวลา 4 ปีมีการคิดดอกเบี้ยทบต้นจำวน 16 ครั้ง
จะได้ \(n=16\quad i=\frac{0.05}{4}=0.0125\) จากสูตร
\(A=P(1+i)^{n}\) แทนค่าลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}A&=&200000(1+0.0125)^{16}\\A&=&244000\end{array}
5.ประมาณฝากเงินกับธนาคารจำนวน 4000000 บาท ซึ่งธนาคารให้ดอกเบี้ยแบบทบต้นต่อปี เมื่อสิ้น 10 ปี ประมาณมีเงินต้นพร้อมดอกเบี้ยรวม 4880000 บาท ธนาคารแห่งนี้ให้คิดอัตราดอกเบี้ยร้อยละเท่าไรต่อปี
วิธีทำ จากโจทย์ \(P=4000000\quad ,A=4880000\quad ,n=10\)
แทนค่าลงในสูตร \(A=P(1+i)^{n}\) จะได้
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\4880000&=&4000000(1+i)^{10}\\\frac{4880000}{4000000}&=&(1+i)^{10}\\1.22&=&(1+i)^{10}\\1+i&=&1.02\\i&=&0.02\end{array}
ดังนั้น ประมาณได้ดอกเบี้ย \(0.02\times 100=2\%\) ต่อปี
6. นายเขียว ฝากเงิน 100,000 บาท กับธนาคารโดยธนาคารให้ดอกเบี้ย 12% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยบทต้นทุก 3 เดือน อยากทราบว่าเมื่อสิ้นปี นายเขียว จะได้เงินต้นพร้อมดอกเบี้ยเป็นเงินรวมเท่าใด
วิธีทำ จากโจทย์ ถามเงินเงินรวมทั้งหมดคือค่า \(A\) นั่นเองครับ
จากให้ \(P=100,000\)
คิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน แสดงว่า 1 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 4 ครั้ง นั่นคือ \(n=4\)
จึงได้ว่า \(i=\frac{0.12}{4}=0.03\) บาท
แทนค่าลงไปในสูตรเลยครับผม
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\A&=&100,000(1+0.03)^{4}\\A&=&112,550.88\end{array}
7. สมพรต้องการเก็บเงินเพื่อดาวน์บ้านในอีก 2 ปีข้างหน้าจำนวน 220,000 บาท จึงวางแผนเก็บเงินโดยการฝากเงินกับธนาคารจำนวน 200,000 บาท โดยที่เงินจำนวนนี้ไม่สามารถถอนก่อน 2 ปีได้ และธนาคารจะคิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุกๆ 3 เดือน ในอัตรา 5% ต่อปี เมื่อครบกำหนด 2 ปี สมพรจะได้เงินรวมเพียงพอที่จะดาวน์บ้านหรือไม่
วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้หาเงินรวมนั้นเองครับก็คือหาค่า \(A\) จากโจทย์
\(P=200,000\)
ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน นั่นคือ
ในระยะเวลา 1 ปี คิดดอกเบี้ยทบต้น 4 ครั้ง
ดังนั้นในระยะเวลา 2 ปี จะคิดดอกเบี้ย \(4\times 2=8\) ครั้ง นั่นคือ \(n=8\) นั่นเอง
\(i=\frac{0.05}{4}=0.0125\) เอาไปแทนในสูตรเลยครับ
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\A&=&200,000(1+0.0125)^{8}\\A&=&220,897.22\end{array}
ดังนั้นจำนวนเงิน 220,897.22 บาท เพียงพอในการดาวน์บ้านแน่นอนครับ
8. นายแดง ฝากประจำที่ธนาคารแห่งหนึ่งจำนวน 20,000 บาท โดยธนาคารจะคิดดอกเบี้ยให้ร้อยละ 7 ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นให้ทุกๆ เดือน เป็นเวลา 3 ปี ถามว่า
1) นายแดงจะได้เงินรวมเท่าไร
2) นายแดงได้ดอกเบี้ยทั้งหมดเป็นจำนเงินเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์ ธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้นทุกๆเดือน ดังนั้น
ในระยะเวลา 1 ปี ธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้นจำนวน 12 ครั้ง
ดังนั้นในระยะเวลา 3 ปีธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้นจำนวน \(12\times 3=36\) ครั้ง นั่นคือ \(n=36\)
\(i=\frac{0.07}{12}\)
แทนค่าลงไปในสูตรเลยครับผม
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\A&=&20,000(1+\frac{0.07}{12})^{36}\\A&=&24,658.51\end{array}
ดังนั้นในระยะเวลา 3 ปี นายแดงได้เงินรวม 24,658.51 บาท
นั่นคือ ดอกเบี้ยที่นายแดงจะได้คือ \(24,658.51-20,000=4,658.51\) บาท
9.ฝากเงิน 10000 บาทกับธนาคารแห่งหนึ่งที่ให้อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน จงหาเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 10 ปี โดยที่ไม่มีการฝากและถอนเงินในระหว่างนี้
วิธีทำ จากโจทย์ \(P=10000\) ธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือนดังนั้น 1 ปี คิดดอกเบี้ยให้ 2 ครั้ง จึงได้ว่า 10 ปี คิดดอกเบี้ยให้ \(10\times 2=20\) ครั้ง(งวด)นั่นคือ \(n=20\) นั่นเอง ต่อไปเนื่องจากธนาคารให้ดอกเบี้ยทบต้นทุก 6 เดือนนั่นคืออัตราดอกเบี้ยต่อครั้งหรืต่องวดเท่ากับ \(i=\frac{0.003}{2}=0.015\) ต้องหาร 2 ดัวยนะครับเพราะคิดดอกเบี้ย 2 ครั้งใน 1 ปี เริ่มหาเงินรวมกันเลย
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\&=&10000(1+0.015)^{20}\\&\approx&13,468.55\end{array}
ดังนั้นเมื่อครบ 10 ปี จะมีเงินรวมประมาณ 13,468.55 บาท
ข้อนี้ ลองคิดเทียบดูซิว่าถ้าธนาคารคิดอัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดปีละครั้งเท่านั้นผ่านไป 10 จะได้เงินรวมเท่าไร ก็จะได้ \(P=10000,n=10,i=0.03\) เอาไปแทนค่าในสูตรเลย
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\&=&10000(1+0.03)^{10}\\&\approx&13,439.16\end{array}
ดังนั้น ถ้าให้ดอกเบี้ยปีละครั้งผ่านไป 10 ปี ได้เงินรวม 13,439.16 บาท ต่างกันอยู่ 13,468.55-13,439.16=29.39 บาท ต่างกันไม่เยอะ
10. ฝากเงิน 10000 บาทกับธนาคารแห่งหนึ่ง โดยธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน เมื่อสิ้นปีที่ 3 ธนาคารแจ้งว่ามีเงินอยู่ในบัญชีประมาณ 10,938 บาท จงหาอัตราดอกเบี้ยต่อปีที่ธนาคารกำหนด
วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้ \(i\) และจากโจทย์ \(P=10000,\) ธนาคารคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือนแสดงว่าหนึ่งปีคิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง(งวด) นั่นคือ \(n=3\times 4=12\) หนึ่งปีคิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง นะครับอย่าลืมตรงนี้ ไปหากันต่อเลย จากสูตร
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\10,938&=&10000(1+\frac{i}{4})^{12}\\(1+\frac{i}{4})&=&\sqrt[12]{1.0938}\\i&=&4(\sqrt[12]{1.0938}-1)\\i&\approx&0.029998\end{array}
ดังนั้น ธนาคารให้อัตราดอกเบี้ยเงินฝากประมาณ 3% ต่อปี
11. ฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่งจำนวน 5000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 1.5 ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 3 เดือน จงหาจำนวนเงินในบัญชี เมื่อฝากเงินครบ 3 ปี
วิธีทำ ฝึกทำโจทย์เรื่อยๆนะคับ ก็โจทย์ก็คล้ายๆของเดิมนี่แหละครับ เปลี่ยนแค่ตัวเลยนิดหนี่งจากโจทย์จะได้ \(P=5000,n=3\times 4=12,i=\frac{0.015}{4}\) แทนค่าลงไปในสูตรเลยจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\&=&5000(1+\frac{0.015}{4})^{12}\\&\approx&5229.70\end{array}
ผ่านไป 3 ปีมีเงินในบัญชีประมาณ 5229.70 บาท
12. ธีระฝากเงินจำนวนหนึ่งไว้กับธนาคารแห่งหนึ่ง เมื่อเวลาผ่านไป 10 ปี พบว่ามีเงินในบัญชี 122,079.42 บาท ถ้าธนาคารคงอัตราดอกเบี้ย 2% ต่อปี และคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน จงหาเงินต้นที่ธีระฝากไว้เมื่อ 10 ปีก่อน
วิธีทำ ข้อนี้เกี่ยวของกับเรื่องมูลค่าของเงิน ซึ่งโจทย์กำหนดมูลค่าเงินในอนาคตให้ และให้หาเงินต้นตอนฝากครั้งแรก จริงๆสูตรเกี่ยวกับมูลค่าของเงิน กับสูตรของดอกเบี่ยทบต้นอันเดียวกันแหละครับ เอาละเริ่มทำกันเลย จากโจทย์ได้ว่า \(A=122,079.42,n=4\times 10=40,\quad i=\frac{0.02}{4}\) เอาไปแทนค่าในสูตรเลยครับผมจะได้
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+i)^{n}\\122,079.42&=&P(1+\frac{0.02}{4})^{40}\\P&=&\frac{122.079.42}{(1+\frac{0.02}{4})^{40}}\\P&\approx&100,000\end{array}
ดังนั้นเมื่อ 10 ปีก่อนธีระฝากเงินไว้ประมาณ 10,000 บาท
13.เมื่อ 4 ปีที่แล้ว เก่งเปิดบัญชีและฝากเงินไว้กับสถาบันการเงินแห่งหนึ่ง ซึ่งกำหนดอัตราดอกเบี้ยร้อยละ 1.8 ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยทบต้นทุก 6 เดือน ถ้าตอนนี้เก่งฝากครบ 4 ปี และมีเงินในบัญชีนี้ 37,600 บาท โดยที่เก่งไม่ได้ฝากเงินเพิ่มและไม่ได้ถอนเงินออกมาในช่วง 4 ปีที่ผ่านมา แล้วเก่งได้รับดอกเบี้ยจากการฝากเงินครั้งนี้กี่บาท (A-level 2 มี.ค. 2566/9)
- \(37,600(1-(1.009)^{8})\) บาท
- \(37,600(1-(1.009)^{-4})\) บาท
- \(37,600(1-(1.009)^{-8})\) บาท
- \(37,600(1-(1.003)^{24})\) บาท
- \(37,600(1-(1.009)^{-24})\) บาท
วิธีทำ จากโจทย์ฝากครบ 4 ปีมีเงินรวม 37,600 บาท เราต้องคำนวณหาเงินต้นก่อน แล้วเอามาลบกับเงินรวมก็จะได้ดอกเบี้ย
จากโจทย์สถาบันการเงินให้ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือนดังนั้นใน 1 ปีสถาบันการเงินให้ดอกเบี้ย 2 ครั้ง นั่นคืออัตราดอกเบี้ยที่ได้แต่ละครั้งคือ \(r=\frac{1.8\%}{2}=0.018\div 2=0.009\)
จากโจทย์เราจะเห็นว่า 1 ปีสถาบันการเงินคิดดอกเบี้ยให้เรา 2 ครั้ง ดังนั้นฝาก 4 ปี จึงได้ดอกเบี้ยทั้งหมด 8 ครั้งก็คือ \(n=8\) นั่นเอง
เริ่มทำคำนวณหาเงินต้นกันเลย
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+r)^{n}\\37600&=&P(1+0.009)^{8}\\P&=&37600(1.009)^{-8}\end{array}
ตอนนี้เราได้เงินต้นหรือก็คือก้อนเงินที่เราฝากครั้งแรกคือ \(37600(1.009)^{-8}\) บาท
เราต้องการหาดอกเบี้ย เราก็เอาเงินทั้งหมดที่ได้จากฝาก 4 ปี มาลบ กับเงินต้นหรือว่าเงินที่เราฝากครั้งแรกก็จะได้คำตอบก็คือ
\(37600-37600(1.009)^{-8}=37600(1-(1.009)^{-8})\quad\underline{Ans}\) บาท
14. อัครกู้เงินจากสถาบันการเงินแห่งหนึ่งกำหนดชำระหนี้ทั้งหมดในอีก 3 ปีข้างหน้า มีอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน ถ้าตลอด 3 ปีนี้อัครไม่ได้กู้เงินเพิ่มและไม่มีการชำระเงิน เมื่อครบ 3 ปีมียอดเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยที่ต้องชำระเป็นเงิน 11,940.52 บาท แล้วอัครกู้เงินกี่บาท (o-net มี.ค. 64/9)
- \(11,940.52(1.01)^{-18}\)
- \(11,940.52(1.01)^{-3}\)
- \(11,940.52(1.03)^{-6}\)
- \(11,940.52(1.03)^{2}\)
- \(11,940.52(1.06)^{-6}\)
วิธีทำ จากโจทย์ อัตราดอกเบี้ย 6% โดยให้คิดทุก 6 เดือน ดังนั้นคิดดอกเบี้ยปีละ 2 ครั้งดังนั้นแต่ละครั้งเขาจะได้อัตราดอกเบี้ยอยู่ที่ \(r=\frac{6\%}{2}=\frac{0.06}{2}=0.03\) หนึ่งปีคิดดอกเบี้ย 2 ครั้ง จึงได้ว่า 3 ปีคิดดอกเบี้ย 6 ครั้ง นั่นคือ \(n=6\)
เงินพร้อมดอกเบี้ยคือ \(11,940.52\) บาท ดังนั้นเงินรวมคือ \(A=11,940.52\) ข้อนี้โจทย์ถามหาเงินกู้ ก็คือเงินต้นที่เรากู้เขานั่นเองก็คือ ถามหาค่า \(P\)
จากสูตร \[A=P(1+r)^{n}\]
จะได้
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+r)^{n}\\11,940.52&=&P(1+0.03)^{6}\\11,940.52&=&P(1.03)^{6}\\P&=&\frac{11,940.52}{(1.03)^{6}}\\P&=&11,940.52(1.03)^{-6}\end{array}
15. โต้งกู้เงินจากวินเพื่อการลงทุนจำนวน 200,000 บาท โดยโต้งทำสัญญากับวินว่าจะชำระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดในอีก 2 ปีข้างหน้า และวินกำหนดอัตราดอกเบี้ย 2% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี เมื่อครบ 2 ปีตามสัญญา โต้งขอเลื่อนเวลาชำระออกไปอีก 1 ปี โต้งและวินจึงได้ทำสัญญาฉบับใหม่ โดยกำหนดให้เงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดจาก 2 ปีที่ผ่านมาเป็นยอดเงินกู้ในสัญญาฉบับใหม่นี้ และปรับอัตราดอกเบี้ยใหม่เป็น 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน เมื่อครบกำหนด 1 ปี ตามสัญญาฉบับใหม่ โต้งจะต้องชำระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดกี่บาท [A-level 1 (มี.ค.66/12)]
- \(200,000(1.02)^{2}(1.015)^{2}\)
- \(200,000(1.02)^{2}(1.03)\)
- \(200,000(1.02)^{2}(1.03)^{2}\)
- \(200,000[(1.02)^{2}+(1.015)^{2}]\)
- \(200,000[(1.02)^{2}+(1.03)^{2}]\)
วิธีทำ ข้อนี้คิด 2 รอบโดยรอบแรกก็คือคิดตอนที่กู้เงิน 2 ปี อัตราดอกเบี้ย 2% แบบทบต้นคิดดอกเบี้ยทุกปี ดังนั้น
\(r=\frac{2}{100}=0.02\) และ \(n=2\)
ดังนั้นถ้าโต้งคืนเงินวินเมื่อครบสัญญา 2 ปี เขาต้องคืนเงินเป็นจำนวนเท่ากับ
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+r)^{n}\\A&=&200,000(1+0.02)^{2}\\A&=&200,000(1.02)^{2}\end{array}
แต่จากโจทย์ปรากฎว่าโต้งขอเลื่อนระยะเวลาชำระอีก 1 ปี โดยวินจะคิดดอกเบี้ยใหม่เป็น 3% ต่อปี โดยคิดทุก 6 เดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่คิดแต่ละครั้งคือ \(r=\frac{3\%}{2}=0.015\) และ \(n=2\) ดังนั้น โต้งต้องจ่ายเงินวินทั้งหมดพร้อมดอกเบี้ยเท่ากับ ต้องเอาเงินตอนครบสัญญา 2 ปีมาเป็นเงินต้นนะคับ จะได้คือ
\begin{array}{lcl}A&=&P(1+r)^{n}\\A&=&200,000(1.02)^{2}(1+0.015)^{2}\\A&=&200,000(1.02)^{2}(1.015)^{2}\quad\underline{Ans}\end{array}
อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องดอกเบี้ยและมูลค่าของเงินตามลิงค์ด้านล่างครับ
- มูลค่าของเงินตามเวลา
- ดอกเบี้ยคงต้น vs ดอกเบี้ยทบต้น
- ดอกเบี้ยทบต้น
- ดอกเบี้ยคงต้น
- ค่ารายงวด
- แบบฝึกหัดดอกเบี้ยทบต้น แบบฝึกหัดค่ารายงวด จากหนังสือ สสวท.
-
ดอกเบี้ยทบต้น กับ ดอกเบี้งคงต้น
เปรียบเทียบดอกเบี้ยทบต้น และดอกเบี้ยคงต้น ว่ามีความแตกต่างกันอย่างไร จะได้เห็นข้อแตกต่างกัน
-
แบบฝึกหัดดอกเบี้ยทบต้น แบบฝึกหัดค่ารายงวด
แบบฝึกหัดดอกเบี้ยทบต้น เรื่องนี้จะว่าง่ายก็ง่าย จะว่ายากก็ยากคับ ถ้าเราทำแบบฝึกหัดบ่อยๆ ยังไงก็ไม่ยากขึ้นอยู่กับชั่วโมงบินในการลองทำแบบฝึกหัด ต้องทำเยอะ โจทย์เรื่องดอกเบี้ยนี้ไม่ได้มีแนวในการออกที่มันซับซ้อนเลย จะออกแนวๆเดียวกันหมดเลย ถ้าเราทำบ่อยๆ ทำให้ครบทุกแนวยังไงก็ทำข้อสอบได้บอกเลย ใครที่ต้องการศึกษาแบบละเอียด ผมแนะนำให้ไปอ่านหนังสือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 1 ของสสวท. ฉบับปรับปรุง หน้าที่ 85 เขาเขียนไว้ดีมากแล้ว ส่วนในหัวข้อตรงนี้ ผมจะสรุปให้และทำแบบฝึกหัดให้ดูนะคับ
ดอกเบี้ยทบต้น
ถ้าเราเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น \(P\) บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย \(i\%\)ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี (ปีละครั้ง) แล้วเมื่อสิ้นปีที่ \(n\) จะได้ เงินรวมเท่ากับ
\[P(1+r)^{n}\]
เมื่อ \(r=\frac{i}{100}\)
ถ้าเราเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น \(P\) บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย \(i\%\) ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละ\(k\) ครั้ง แล้วเมื่อฝากเงินครบ \(n\) ปี จะได้ เงินรวมเท่ากับ
\[P\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}\]
เมื่อ \(r=\frac{i}{100}\)
มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต
ถ้าให้ \[ \quad S=P\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}\]
เราเรียก \(S\) ตัวนี้ว่า มูลค่าอนาคตของเงินต้น \(P\)
และในทางกลับกัน จะเรียก \(P\) ว่ามูลค่าปัจจุบันของเงินรวม \(S\)
ซึ่งเราสามารถหา \(P\) ได้จากการจัดรูปสมการ \(S=P\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}\) นี้
\begin{array}{lcl}S&=&P\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}\\P&=&\frac{S}{\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}}\\P&=&S\left(1+\frac{r}{k}\right)^{-kn}\end{array}
สรุป ง่ายๆ เป็นภาษาชาวบ้านก็คือ
- ถ้าเราฝากเงินไว้กับธนาคาร 2000 บาทผ่านไป 10 ปี ได้เงินรวมจากการฝากสิบปีนี้เป็นเงิน 5000 บาท
มูลค่าอนาคต(S) จากการเงินต้น 2000 บาทก็คือ 5000 บาท (S=5000)
มูลค่าปัจจุบัน(P) จากเงินรวม 5000 บาทคือ 2000 บาท(P=2000)
ค่างวด
ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด
เงิมรวมเมื่อสิ้นงวดที่ \(n\) หาได้จาก
\[\frac{R(1+r)\left((1+r)^{n}-1\right)}{r}\]
เมื่อ \(R\) คือ เงินที่รับหรือจ่ายของแต่ละงวด
และ \(r=\frac{i}{100}\)
ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด
เงิมรวมเมื่อสิ้นงวดที่ \(n\) หาได้จาก
\[\frac{R\left((1+r)^{n}-1\right)}{r}\]
เมื่อ \(R\) คือ เงินที่รับหรือจ่ายของแต่ละงวด
และ \(r=\frac{i}{100}\)
ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดกันเลยคับอ่านโจทย์ดีๆ นะ โจทย์ยาวมากๆเลย
1.สมมติว่าเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงหา
1) จำนวนเงิน เมื่อฝากเงินครบ 10 ปี
วิธีทำ ข้อนี้ให้หาเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 10 ปี ผมให้เงินรวมแทนด้วย ตัว \(S\) นะทุกคน
จากสูตร \(S=P\left(1+r)^{n}\right)\)
จากโจทย์ได้ว่า \(P=100,000\quad ,r=\frac{4}{100}=0.04\) แทนค่าลงไปในสูตรเลยคับ
\begin{array}{lcl}S&=&\left(P(1+r)^{n}\right)\\&=&100,000(1+0.004)^{10}\\&\approx & 148,024.43\end{array}
ดังนั้นเงินรวมเมื่อฝากครับ 10 ปีประมาณ 148,024.43 บาท
2) จำนวนปีที่จะทำให้มีเงินเพิ่มขึ้นเป็นอย่างน้อยสามเท่าของเงินต้น
วิธีทำ จำนวนเงินสามเท่าของเงินต้น คือ \(3\times 100,000\) หรือก็คือสามแสนบาท โจทย์ข้อนี้ก็คือถามว่าต้องฝากกี่ปี(n) จึงจะได้เงินอย่างน้อยสามแสนบาทคับ
\begin{array}{lcl}S&=&P(1+r)^{n}\\300,000&=&100,000(1+0.04)^{n}\\3&=&(1+0.04)^{n}\\\log 3&=&\log (1+0.04)^{n}\\\log 3&=&\log (1.04)^{n}\\\log 3&=&n\log (1.04)\\\log 3&=&n\log 1.04\\n&=&\frac{\log 3}{\log 1.04}\\n&\approx&28.01\end{array}
ข้อนี้ต้องเอาเรื่องลอการิทึม มาช่วยนะคับเนื่องจาก \(n\) เป็นเลขชี้กำลังดังนั้นการที่จะเอามันลงมาได้ต้องใช้ log ช่วย
ดังนั้นต้องฝากเงินให้ครบ 29 ปี จะทำให้มีเงินเพิ่มขึ้นอย่างน้อยสามเท่าของเงินต้น
2. ฝากเงินกับธนาคารจำนวน 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย 3% ต่อไปี จงหาจำนวนเงินในบัญชีเมื่อครบปีที่ \(n\) เมื่อ
1) ธนาคารคิดดอกเบี้ยให้ครั้งสุดท้ายครั้งเดียว
วิธีทำข้อนี้ก็คือไม่ว่าจะฝากกี่ปี ก็คิดดอกเบี้ยครั้งสุดท้ายครั้งเดียว ดังนั้นดอกเบี้ยก็คือ
\(100,000\times \frac{3}{100}\) แต่ฝาก \(n\) ปี ดังนั้น
ดอกเบี้ยที่ได้จากการฝากเงินเป็นเวลา \(n\) ปี เท่ากับ \(100,00\times \frac{3}{100}\times n=3000n\) บาท
จึงได้ว่าจำนวนเงินในบัญชีเมื่อครบปีที่ \(n\) เมื่อธนาคารคิดดอกเบี้ยให้ครั้งสุดท้ายครั้งเดียวเท่ากับ
\(100,000+3000n\) บาท
2) ธนาคารนำดอกเบี้ยเข้าบัญชีฝากทุกปี
วิธีทำ ข้อนี้ก็คือธนาคารคิดดอกเบี้ยให้ทุกปี แต่โจทย์ชอบพิมพ์อะไรให้คนอ่านไม่รู้เรื่อง ดังนั้นจำนวนเงินรวมเมื่อฝากครบ \(n\) ปี ก็คือ
\begin{array}{lcl}S&=&P(1+r)^{n}\\S&=&100,000(1+0.03)^{n}\end{array}
ก็คือฝากครบ \(n\) ปี มีเงินรวมทั้งหมด \(100,000(1+0.03)^{n}\) บาท นั่นเอง
3. สมมติว่าเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกไตรมาส (ทุก 3 เดือน) จงหาเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 10 ปี
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ \(P=100,000\) คิดดอกเบี้ยทุก 3 เดือน แสดงว่า
1 ปี คิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง ดังนั้น \(k=4\)
ฝากเงิน 10 ปี ดังนั้น \(n=10\)
\(i=4\) จึงได้ว่า \(r=\frac{i}{100}=\frac{4}{100}=0.04\)
นำไปแทนค่าในสูตรเลยคับ ผมให้ \(S\) คือเงินรวมเมื่อฝากครบ 10 ปีนะคับ
\begin{array}{lcl}S&=&P(1+\frac{r}{k})^{kn}\\S&=&100,000(1+\frac{0.04}{4})^{4(10)}\\S&\approx&148,886.37\end{array}
ดังนั้นเมื่อฝากครบ 10 ปีได้เงินรวมประมาณ 148,886.37 บาท
4. สมมติว่าเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น 100,000 บาท เมื่อฝากเงินครบ 10 ปี มีเงินทั้งสิ้น 141,060 บาท ถ้าธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงหาอัตราดอกเบี้ยต่อปี
วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้หาค่า \(i\) นั่นเองครับ ก็แค่แทนค่าลงในสูตรก็ได้คำตอบแล้วคับ
\begin{array}{lcl}S&=&P(1+r)^{n}\\141,060&=&100,000(1+r)^{10}\\(1+r)^{10}&=&\frac{141,060}{100,000}\\(1+r)^{10}&=&1.4106\\1+r&=&\sqrt[10]{1.4106}\\r&=&\sqrt[10]{1.4106}-1\\r&\approx &0.035\end{array}
เนื่องจาก \(r=\frac{i}{100}\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}r&=&\frac{i}{100}\\0.035&=&\frac{i}{100}\\i&=&0.035\times 100\\i&=&3.5\end{array}
ดังนั้น ธนาคารนี้ให้อัตราดอกเบี้ยประมาณ 3.5% ต่อปี
5. เมื่อต้นปีปัญญาฝากเงิน 100,000 บาท กันธนาคารแห่งหนึ่ง และฝากเงินเพิ่มอีก 100,000 บาท ทุกต้นปี โดยธนาคารกำหนดอัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี และคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงหาเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 15 ปี
วิธีทำ ข้อนี้ใช้ความรู้ ค่างวด เมื่อจ่ายเงินค่างวดทุกต้นงวด ในที่นี้คือฝากทุกต้นปีคับ จะเห็นว่าปัญญาฝากทุกต้นปีครั้งละ 100,000 บาท นั่นคือ \(R=100,000\) บาท
\(r=\frac{i}{100}=\frac{3}{100}=0.03\) และ \(n=15\) นั่นเอง นำไปแทนค่าในสูตร
ผมให้ \(S\) คือเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 15 ปีนะคับจะได้
\begin{array}{lcl}S&=&\frac{R(1+r)((1+r)^{n}-1)}{r}\\&=&\frac{100,000(1+0.03)((1+0.03)^{15}-1)}{0.03}\\&=&\frac{100,000(1.03)[(1.03)^{15}-1]}{0.03}\\&\approx &1,915,688.13\end{array}
ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 15 ปี จะมีเงินรวมประมาณ 1,915,688.13 บาท
6. ราตรีต้องการฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง ซึ่งกำหนดอัตราดอกเบี้ย 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี ถ้าราตรีต้องการให้มีเงินในบัญชี 1,000,000 บาท ในอีก 20 ปีข้างหน้า ราตรีต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อยเท่าใด โดยที่
1) ราตรีไม่ฝากเงินเพิ่มอีก
วิธีทำ ข้อนี้ถามหาเงินต้น หรือก็คือ \(P\) เมื่อกำหนด \(S\) มาให้เท่ากับ 1,000,000 บาท
\(n=20\) และ \(r=\frac{i}{100}=\frac{4}{100}=0.04\)
ข้อนี้เราสามารถใช้สูตรที่เกี่ยวกับเรื่องมูลค่าอนาคตและมูลค่าปัจจุบัน ซึ่งโจทย์ถามหา \(P\) ก็คือหามูค่าปัจจุบันนั่นเอง ซึ่งหาได้จากสูตร
\begin{array}{lcl}P&=&S(1+\frac{r}{k})^{-kn}\\P&=&1,000,000(1+\frac{0.04}{1})^{-1(20)}\\&\approx &456,386.95\end{array}
ดังนั้น ราตรีต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อย 456,386.95 บาท
2) ราตรีฝากเงินเพิ่มอีกปีละ 2000 บาท
วิธีทำ ข้อนี้เดี่ยวต้องแยกกันคิดเป็น 2 ส่วน
ส่วนที่ 1
ปีแรก ราตรีฝากเงินต้นไว้กับธนาคาร \(P\) บาท ดังนั้นเมื่อผ่านไปอีก 20 ปีข้างหน้า ราตรีจะมีเงินรวมจากการฝากนี้เท่ากับ
\[P(1+0.04)^{20}\] บาท เก้บตรงนี้ไว้ก่อน
ส่วนที่ 2
ตอนต้นปีราตรีฝากเงินไว้ \(P\) บาท และฝากเพิ่มอีกปีละ 2000 บาท ตรงฝากเพิ่มปีละ 2000 บาท ตรงนี้แหละเราต้องคิดแบบค่างวด ก็คือฝากหรือว่าจ่ายงวด งวดละ 2000 บาท จ่าย 20 งวดเป็นเงินเท่าไร เราก็ต้องใช้สูตร ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{R(1+r)((1+r)^{n}-1)}{r}&=&\frac{2000(1.04)[(1.04)^{19}-1]}{0.04}\end{array}
ต่อไปราตรีต้องการให้มีเงินในบัญชี 1,000,000 ในอีก 20 ปีข้างหน้า แสดงว่า ส่วนที่ 1 รวมกับ ส่วนที่ 2 ต้องมีค่าเป็น 1,000,000 บาท นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}1,000,000&=&P(1+0.04)^{20}+\frac{2000(1.04)[(1.04)^{19}-1]}{0.04}\\P&\approx &430,119.07\end{array}
ดังนั้น ราตรีต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อย 430,119.07 บาท
7.อนันต์กู้เงินจากวิเชียรจำนวน 2 ยอด โดยยอดแรกต้องชำระ 12,682.42 บาท ในอีก 3 ปี ข้างหน้า ส่วนยอดที่ 2 ต้องชำระ 26,115.36 บาท ในอีก 7 ปีข้างหน้า ถ้าวิเชียร์กำหนดอัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน จงหาจำนวนเงินทั้งหมดที่อนันต์กู้จากวิเชียร
วิธีทำ ข้อนี้คือให้หาเงินต้นที่อนันต์กู้จากวิเชียร หรือถ้ามองเป็นมูลค่าของเงิน ก็คือมูลปัจจุบันที่กู้ตอนเริ่มแรกนั่นแหละคับ
ยอดแรกต้องจ่ายอีก 3 ปี คือ 12,682.42 บาท จากเงินต้นกี่บาท เริ่มคำนวณเลย
ก่อนเริ่มคำนวณ จากโจทย์ได้ว่า \(r=\frac{i}{100}=\frac{8}{100}=0.08\)
คิดดอกเบี้ยทุก 3 เดือน ดังนั้น 1 ปีคิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง จึงได้ \(k=4\)
ดังนั้น \(kn=4(3)=12\)
\begin{array}{lcl}P&=&S(1+\frac{r}{k})^{-kn}\\P&=&12,682.42(1+\frac{0.08}{4})^{-4(3)}\\&\approx &10,000\end{array}
ก็คืออนันต์กู้เงินครั้งแรกจากวิเชียรประมาณ 10,000 บาทนั่นเอง
ยอดที่สอง หาเองนะคับไกด์ให้แล้วว่าทำยังไง
8. สุดาฝากเงิน 2,000 บาท เข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดือน ได้รับอัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน เมื่อสิ้นปีที่ 5 สุดาจะได้เงินรวมเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้ ค่างวด ในการคำนวณ โดยค่างวดที่จ่ายหรือว่ารับทุกต้นงวดนะคับ
จากโจทย์บอกว่าคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน นั่นหมายความว่า 1 ปีคิดดอกเบี้ย 12 ครั้ง ดังนั้น 5 ปีคิดดอกเบี้ยทั้งหมด \(12\times 5=60\) ครั้ง นั่นคือ \(n=60\) นั่นเอง
จากโจทย์ก็จะได้ \(R=2000\) ข้อนี้ต้องระวังการหาค่า \(r\) นะคับเขาคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน ดังนั้นอย่างลืมหารด้วย 12 ด้วยจึงได้ว่า
\(r=\frac{0.03}{12}=0.0025\)
ให้ \(S\) คือเงินรวมที่จะได้เมื่อสิ้นปีที่ 5 จะได้
\begin{array}{lcl}S&=&\frac{R(1+r)((1+r)^{n}-1)}{r}\\&=&\frac{2000(1+0.0025)((1+0.0025)^{60}-1)}{0.0025}\\&\approx &129,616.66\end{array}
นั่นคือ เมื่อสิ้นปีที่ 5 สุดาจะได้เงินรวมประมาณ 129,616.66 บาท
9. ใบเตยซื้อรถยนต์ราคา 700,000 บาท โดยตกลงจ่ายเงินดาวน์ 200,000 บาท และผ่อนชำระส่วนที่เหลือเป็นจำนวนเงินเท่ากันทุกเดือน เป็นเวลา 5 ปี โดยชำระทุกสิ้นเดือน ถ้าอัตราดอกเบี้ย 3 % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือนแล้ว ใบเตยจะต้องผ่อนชำระเดือนละเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้อ่านโจทย์ดีๆนะ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องค่างวดโดยจ่ายค่างวดทุกสิ้นเดือน
ใบเตยเข้าดาวน์รถ 200,000 บาท แสดงว่าตอนนี้ใบเตยต้องจ่ายเงินที่เหลืออีก 500,000 บาท
จากโจทย์ ใบเตยผ่อนชำระทุกสิ้นเดือน เป็นเวลา 5 ปี ดังนัั้นใบผ่อนชำระทั้งหมด \(12\times 5=60\) งวด
อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี ดังนั้นจะได้อัตราดอกเบี้ยต่องวดคือ \(r=\frac{0.03}{12}=0.0025\)
ข้อนี้ให้หาว่าใบเตยต้องผ่อนชำระเดือนละเท่าใด ก็คือให้หาค่า \(R\) นั่นเอง จึงได้สมการคือ
\begin{array}{lcl}50000&=&\frac{R(1+r)^{-1}(1-(1+r)^{-n})}{1-(1+r)^{-1}}\\500000&=&\frac{R(1+0.0025)^{-1}(1-(1+0.0025)^{-60})}{1-(1+0.0025)^{-1}}\\R&=&\frac{500000(1-(1.0025)^{-1})}{(1.0025)^{-1}(1-(1.0025)^{-60})}\\&\approx & 8984.35\end{array}
นั่นคือใบเตยจะต้องผ่อนชำระเดือนละประมาณ 8984.35 บาท