-
ข้อสอบคณิตศาสตร์เรื่องตรีโกณมิติ
ข้อสอบคณิตศาสตร์เรื่องตรีโกณมิติ
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (45)
45. กำหนดให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงโดยที่ \(\sin x+\cos x=\frac{4}{3}\)
ถ้า \((1+\tan^{2} x)\cot x=\frac{a}{b}\) เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนเต็มโดยที่ ห.ร.ม. ของ \(a\) และ \(b\) เท่ากับ \(1\) แล้ว \(a^{2}+b^{2}\) เท่ากับเท่าใด [Pat 1 มี.ค.56 ข้อ 28]
วิธีทำ ข้อนี้ใครที่ไม่เคยฝึกทำโจทย์เลย บอกเลยว่าเริ่มต้นไม่เป็นแน่นอน ฉะนั้นควรฝึกทำโจทย์เยอะๆจะได้เริ่มต้นถูกนะคับ เริ่มต้นวิธีการทำคือ เอาสมการนีั \(\sin x+\cos x=\frac{3}{4}\) มายกกำลังสองครับจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\sin x+\cos x&=&\frac{4}{3}\\(\sin x+\cos x)^{2}&=&(\frac{4}{3})^{2}\\\sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x&=&\frac{16}{9}\\\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}\\1+2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}\\2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}-1\\2\sin x\cos x&=&\frac{7}{9}\\\sin x\cos x&=&\frac{7}{18}\quad\cdots (1)\end{array}
ก่อนจะทำต่อ เราต้องรู้สูตรพวกนี้ก่อนคับ
\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\)
\(\sec^{2}x-tan^{2}x=1\)
\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)
\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\)
ต่อไปเราก็เริ่มหาค่าของ \(a\) และ \(b\) ซึ่งก็เริ่มหาจากสมการนี้ \((1+\tan^{2} x)\cot x=\frac{a}{b}\) เริ่มเลยคับ
\begin{array}{lcl}(1+\tan^{2}x)\cot x&=&\frac{a}{b}\\(1+\sec^{2}-1)\cot x&=&\frac{a}{b}\\(\frac{1}{\cos^{2}x})\frac{\cos x}{\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\frac{1}{\cos^{2}}\frac{\cos x}{\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\frac{1}{\cos x\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\sin x\cos x&=&\frac{b}{a}\\ from \quad (1)\\ \frac{7}{18}&=&\frac{b}{a}\\so\\b=7\quad and\quad a=18\\a^{2}=324\quad b^{2}=49\\a^{2}+b^{2}&=&324+49\\&=&373\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (46)
46. ถ้า \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) สำหรับบาง \(x>0\) แล้วค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ (Pat 1 พ.ย.57 ข้อ 29)
วิธีทำ ข้อนี้เรานำสมการ \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) มาแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(\sin^{2}x\) แสดงว่าตรงไหนที่เป็นค่า \(\cos x\) เราต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของ \(\sin x\) ให้หมดครับ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า
\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\) ดังนั้น
\(\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\) ครับผม
เริ่มแก้สมการกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(\cos^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(1-\sin^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\end{array}
เพื่อความสะดวกในการแก้สมการ ผมจะกำหนดให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้นเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{A^{2}}{5}+\frac{(1-A)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{A^{2}}{5}+\frac{1-2A+A^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{7A^{2}+5(1-2A+A^{2})}{35}&=&\frac{1}{12}\\7A^{2}+5-10A+5A^{2}&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5-\frac{35}{12}&=&0\\144A^{2}-120A+60-35&=&0\\144A^{2}-120A+25&=&0\\(12A-5)(12A-5)&=&0\\so\\A&=&\frac{5}{12}\end{array}
จากที่เราให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้น
\[\color{red}{\sin^{2}x}=\color{red}{\frac{5}{12}}\]
ต่อไปโจทย์ให้เราหาค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) แต่ก่อนจะหาเราต้องทำการจัดรูปก่อนคับโดยใช้สูตรพวกมุมสองเท่า สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือ
\(\sin 2x=2\sin x\cos x\) และ
\(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\)
ดังนั้นจากที่โจทย์ให้หาเราจะได้ว่า
พิจารณา \(\sin^{2}(2x)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\sin^{2}(2x)&=&(\sin 2x)^{2}\\&=&(2\sin x\cos x)^{2}\\&=&2^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x\\&=&4\sin^{2}x(1-\sin^{2}x)\\&=&4\times \frac{5}{12}\times (1-\frac{5}{12})\\&=&2\times \frac{5}{12}\times \frac{7}{12}\\&=&\frac{35}{36}\end{array}
ดังนั้น \(\sin^{2}(2x)=\frac{35}{36}\)
พิจารณา \(\cos^{2}(2x)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\cos^{2}(2x)&=&(\cos 2x)^{2}\\&=&(\cos^{2}x-sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-\sin^{2}x-\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2(\frac{5}{12}))^{2}\\&=&(1-\frac{10}{12})^{2}\\&=&\frac{1}{36}\end{array}
ต่อไปเราเอาค่าที่เราหาด้านบนไปแทนในนี้ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}&=&\frac{35}{36}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{36}\times\frac{1}{7}\\&=&\frac{25}{126}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (47)
47.ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ \(3\sin(x-y)=2\sin(x+y)\) แล้ว \((\tan^{3}x)(\cot^{3}y)\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 มี.ค.57 ข้อ 23)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมากสามารถเก็บคะแนนได้แบบสบายๆ โดยใช้ความรู้ของพวกฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง ต้องจำสูตรพวกนี้ให้ได้เช่น
\[\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\]
\[\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\]
เรามาเริ่มทำกันเลยครับเริ่มจากสมการที่โจทย์ให้มาเลย
\begin{array}{lcl}3\sin(x-y)&=&2\sin(x+y)\\3\left[\sin x\cos y-\cos x\sin y\right]&=&2\left[\sin x\cos y+\cos x\sin y\right]\\3\sin x\cos y-3\cos x\sin y&=&2\sin x\cos y+2\cos x\sin y\\3\sin x\cos y-2\sin x\cos y&=&2\cos x\sin y+3\cos x\sin y\\\sin x\cos y&=&5\cos x\sin y\\\frac{\color{red}{\sin x}\color{green}{\cos y}}{\color{red}{\cos x}\color{green}{\sin y}}&=&5\\\color{red}{\tan x}\color{green}{\cot y}&=&5\\so\\\left[\tan x\cot y\right]^{3}&=&5^{3}\\\tan^{3}x\cot^{3}y&=&125\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (48)
48. ถ้า \(1-\cos 20^{\circ}=\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 ต.ค.52 ข้อ 5(2))
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้สูตรผลบวกและผลต่างของตรีโกณมิติ ก็คือ
\[\cot (A+B)=\frac{\cot B\cot A-1}{\cot B+\cot A}\]
\[\cot (A-B)=\frac{\cot B\cot A+1}{\cot B-\cot A}\]
อีกอย่างที่ต้องรู้ก็คือ \(\cot 45^{\circ}=1\)
เริ่มทำจากตรงนี้ก่อน
\begin{array}{lcl}\cot (25^{\circ}+20^{\circ})&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\1&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\quad\cdots (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ ต่อไปเราก็มาเริ่มหาคำตอบกันเลย
\begin{array}{lcl}1-\cos 20^{\circ}&=&\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\\(1-\cot 20^{\circ})(1-\cot 25^{\circ})&=&x\\1-\cot 20^{\circ}-\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1-\left(\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}\right)+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\ from\quad (1)\quad \cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\\1-[\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1]+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1-\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1&=&x\\x&=&2\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (49)
49. ค่าของ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 2^{\circ})\cdots (1+\tan 43^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54 ข้อ 30)
วิธีทำ ข้อนี้บอกเลยว่าข้อสอบเขาเล่นเกี่ยวกับเรื่องนี้ครับ คือ \(\tan (A+B)\) ฉะนั้นใครจำสูตรของ \(\tan (A+B)\) ได้ ก็จะทำได้ครับซึ่งสูตรของเขาคือ
\[\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\]
ที่นี้วิธีการทำข้อนี้ลองจับเอาคู่นี้คูณกันดูครับ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) จะได้
\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}
ตัวหนังสือที่แดงๆด้านบน มันจะเท่ากับ \(1\) ทำไมนั่นเหรอ ลองไปดูอันนี้คับ
พิจารณา
\begin{array}{lcl}\tan (1^{\circ}+44^{\circ})&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}&=&\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}\\1&=&\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\&=&1+1\\&=&2\end{array}
ทำนองเดียวกันถ้าเราจับคู่อื่นคูณกันบ้าง ก็จะได้ค่าเท่ากับ \(2\) เหมือนกันเช่น
\((1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ})=2\)
\((1+\tan 3^{\circ})(1+\tan 42^{\circ})=2\) ซึ่งจะมีแบบนี้ทั้งหมด \(22\) คู่
ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ \(2^{22}\) นั่นเอง
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (50)
50. ถ้า \(\cos 5\theta=a\cos^{5}\theta+b\cos^{3}\theta+c\cos\theta\) เมื่อ \(\theta\) เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วค่าของ \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 เม.ย. 57 ข้อ 33)
วิธีทำ ข้อนี้ให้พวกเราเอา \(\cos 5\theta\) มีจัดรูปให้ได้เหมือนกับฝั่งขวาของสมการ เราก็จะได้ว่า \(a,b,c\) เป็นเท่าไร มาดูวิธีการทำกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\cos 5\theta &=&\cos (4\theta +\theta)\\&=&\cos 4\theta\cos\theta-\sin 4\theta \sin\theta\\&=&\cos 2(2\theta )\cos\theta -[\sin 2(2\theta )\sin\theta ]\\&=&(2\cos^{2}2\theta -1)\cos\theta -[2\sin 2\theta\cos 2\theta\sin\theta ]\\&=&[2(2\cos^{2}\theta -1)^{2}-1)]\cos\theta -[(2)(2)\sin\theta\cos\theta(2\cos^{2}\theta -1)\sin\theta ]\\&=&[2(4\cos^{4}\theta -4\cos^{2}\theta +1)-1]\cos\theta -[4\sin^{2} \cos\theta (2\cos^{2}\theta -1)]\\&=&[8\cos^{4}\theta -8\cos^{2}\theta +2-1]\cos\theta - [\sin^{2}\theta (8\cos^{3}\theta -4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta - [(1-\cos^{2}\theta )(8\cos^{3}\theta - 4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -[8\cos^{3}\theta +4\cos^{3}\theta -8\cos^{5}\theta -4\cos\theta ]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -8\cos^{3}\theta -4\cos^{3}\theta +8\cos^{5}\theta +4\cos\theta\\&=&16\cos^{5}\theta -20\cos^{3}\theta + 5\cos\theta\end{array}
จาก ด้านบนจะเห็นว่า \(a=16,\quad b=(-20),\quad c=5\) ดังนั้น
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=16^{2}+(-20)^{2}+(5)^{2}=681\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (73)
73. จงหาค่า \(\theta\) จากสมการ \(\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\sqrt{3}\) เมื่อ \(0<\theta <\pi\) (ข้อสอบโควต้า ม.เชียงใหม่)
วิธีทำ ข้อสอบนี้เป็นข้อสอบโควต้า ของ ม.เชียงใหม่ นะคับไม่ยากมากแต่ก็ต้องอาศัยการฝึกฝนครับ มาดูวิธีการทำกันเลย ข้อนี้ถ้าใครไม่เคยฝึกทำ ก็จะไปไม่เป็น ข้อนี้คล้ายกับข้อสอบ Pat 1 เลย บางปีออกประมาณนี้เลยคับ เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}&=&\sqrt{3}\\1-\cos\theta &=&\sqrt{3}\sin\theta\\(1-\cos\theta)^{2}&=&(\sqrt{3}\sin\theta)^{2}\\1^{2}-(2)(1)\cos\theta +\cos^{2}\theta&=&3\sin^{2}\theta\\1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta&=&3(1-\cos^{2}\theta)\\1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta &=&3-3\cos^{2}\theta\\4\cos^{2}\theta-2\cos\theta-2&=&0\\2\cos^{2}\theta-\cos\theta-1 &=&0\\Let\quad x=\cos\theta\\so\\2x^{2}-x-1 &=&0\\(2x+1)(x-1)&=&0\\so\\x=1,\quad x=-\frac{1}{2}\\so\\\cos\theta =1\quad ,\cos\theta =-\frac{1}{2}\end{array}
จากโจทย์กำหนดให้ว่า \(0<\theta <\pi\)
เนื่องจาก \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) ดังนั้น \(\theta =\frac{2\pi}{3}\)
เนื่องจาก \(\cos 0=1\) ดังนั้น \(\theta =0\) แต่ \(0<\theta <\pi\)
ดังนั้นข้อนี้มีค่าคำตอบเดียวคือ \(\theta =\frac{2\pi}{3}\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (74)
74. ถ้า \(0<\theta <\frac{\pi}{4}\) และ \(\tan^{2}\theta -4\tan\theta +1=0\) แล้ว \(\sin 2\theta\) จะมีค่าเท่ากับข้อใด
- 0.25
- 0.50
- 0.75
- 1.00
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบโควต้า ม.เชียงใหม่เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ข้อนี้วิธีการทำก็คือโจทย์ให้หาค่า \(\sin 2\theta\) และให้สมการที่แต่ฟังก์ชัน \(\tan\theta\) มา ดังนั้นเราจะต้องเปลี่ยน \(tan\theta\) ให้เป็น \(\sin 2\theta\) ให้ครับผม เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\tan^{2}\theta-4\tan\theta +1&=&0\\\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}-4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1&=&0\\\cos^{2}\theta(\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}-4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1)&=&\cos^{2}\theta\times 0\\\cos^{2}\theta\times \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}-\cos^{2}\theta\times 4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\cos^{2}\theta&=&0\\\sin^{2}\theta-4\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta &=&0\\-4\sin\theta\cos\theta+\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta &=&0\\-4\sin\theta\cos\theta+1&=&0\\4\sin\theta\cos\theta-1&=&0\\2(2\sin\theta\cos\theta)-1&=&0\\2\sin 2\theta -1&=&0\\\sin 2\theta&=&\frac{1}{2}\\\sin 2\theta &=&0.5\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (75)
75. \(\cos(2\arctan(-3))\) มีค่าเท่ากับในข้อใด
- \(-\frac{4}{5}\)
- \(-\frac{3}{5}\)
- \(\frac{4}{5}\)
- \(\frac{3}{5}\)
วิธีทำ ข้อนี้เป็นแบบฝึกหัดตามห้องเรียนทั่วไป ถ้าทำได้ก็จะสามารถต่อยอดไปทำข้ออื่นได้คับ แนวทางการทำก็คือ เราจะต้องหาค่าของ \(\arctan (-3)\) ก่อนคับ
กำหนดให้ \(\arctan (-3)=A\) จึงได้ว่า \(\cos 2\arctan (-3))=\cos 2A\) นั่นคือตอนนี้เรากำลังหาค่าของ \(\cos 2A\) นั่นเองคับ มองให้ออกนะ
จาก \(\arctan (-3)=A\) ดังนั้นเราจะได้ว่า \(\tan A=-3\) เรานำตรงนี้ไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อหาค่าของ \(\cos A\) จะได้รูปประมาณนี้ การวาดรูปไม่ต้องสนใจเครื่องหมายลบ นะ
จากรูปเราใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะได้
\begin{array}{lcl}c^{2}&=&3^{2}+1^{2}\\c^{2}&=&10\\so\\c&=&\sqrt{10}\end{array}
ตอนนี้เราเดินทางมาใกล้คำตอบแล้วครับ สิ่งที่เราหาตอนนี้คือ \(\cos 2A\) นะ ดังนั้นเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\cos 2A&=&2\cos^{2} A-1\\&=&2\frac{1}{10}-1\\&=&\frac{1}{5}-1\\&=&-\frac{4}{5}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (76)
76. \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2})) +\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))\) เท่ากับค่าในข้อใด
- \(-\frac{4}{5}+\frac{3\pi}{2}\)
- \(\frac{4}{5} +\frac{3\pi}{2}\)
- \(-\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\)
- \(\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องแม่นเรื่องเกี่ยวกับเรนจ์ของฟังก์ชันอาร์ไซน์ ก็คือเรนจ์ของอาร์คไซน์จะอยู่ในช่วง \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) เริ่มทำกันเลยคับ
เราจะหาค่าอันนี้ก่อน \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2}))\)
เนื่องจาก \(\sin \frac{3\pi}{2}=-1\) ดังนั้น \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2}))=\arcsin (-1)\)
เราจะหาค่าของ \(\arcsin (-1)\)
กำหนดให้ \(\arcsin (-1)=\theta \) เมื่อ \(\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
เนื่องจาก \(\sin (-\frac{\pi}{2})=-1\) ดังนั้น \(\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}\)
ต่อไปหาค่าของ \(\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))\)
เรากำหนดให้ \(\arcsin (-\frac{3}{5})=\theta\) เราจะได้ \(\sin\theta=-\frac{3}{5}\) เมื่อ \(\theta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) จาก \(\theta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) และ ไซน์ทีต้ามีค่า ติดลบสามส่วนห้า ทำให้เรารู้ว่า \(\theta\) อยู่ในควอร์ดเรนต์ที่ 2 จึงได้่ว่าค่าของฟังก์ชันคอสต้องเป็นบวก
จาก \(\sin\theta=-\frac{3}{5}\) วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้
จากรูป เราได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\cos (\arcsin (-\frac{3}{5})&=&\cos\theta\\&=&\frac{4}{5}\end{array}
ทำให้เราได้คำตอบคือ
\begin{array}{lcl}\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2})) +\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))&=&-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{5}\\&=&\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (77)
77. ให้ \(A\) เป็นผลบวกของคำตอบของสมการ \(\sin^{2}6x+8\sin^{2}3x=0\) เมื่อ \(0\leq x\leq 2\pi\) จงหาค่าของ \(\frac{A}{\pi}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สูตรมุมสองเท่า ก็คือ \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) ดังนั้น
\(\sin 6x=\sin 2(3x)=2\sin3x\cos 3x\) ประมาณนี้คับ เรามาเริ่มทำกันเลยดีกว่า
\begin{array}{lcl}\sin^{2}6x+8\sin^{2}3x&=&0\\\sin 6x\sin 6x + 8\sin^{2}3x&=&0\\\sin 2(3x)\sin 2(3x)+8\sin^{2}3x&=&0\\(2\sin 3x\cos 3x) (2\sin 3x\cos 3x) +8\sin^{2}3x&=&0\\4\sin^{2}3x\cos^{2}3x+8\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x\cos^{2}3x+2\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x(1-\sin^{2}3x)+2\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x-\sin^{4}3x+2\sin^{2}3x&=&0\\3\sin^{2}3x-\sin^{4}3x&=&0\\\sin^{2}3x(3-\sin^{2}3x)&=&0\\so\\\sin^{2}3x=0\quad or\quad 3-\sin^{2}3x=0\end{array}
พิจารณา \(\sin^{2}3x=0\) เราจะได้ \(\sin 3x=0\)
เนื่องจาก \(\sin 0=0\)
\( \sin\pi=0\)
\(\sin 2\pi=0\)
ทำให้ได้ว่า
\(x=0\)
\(x=\frac{\pi}{3}\)
\(x=\frac{2\pi}{3}\)
พิจาณา \(3-\sin^{2} 3x=0\) เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}3-\sin^{2}3x&=&0\\-\sin^{2}3x&=&-3\\\sin^{2}3x&=&3\\\sin 3x&=&\pm\sqrt{3}\\\sin 3x&=&\pm 1.732\end{array}
เนื่องจาก \(-1\leq \sin\theta\leq 1\) เสมอ ดังนั้นทำให้ได้ว่า \(\sin 3x=\pm 1.732\) ไม่มีคำตอบ
นั่นคือ \(A=0+\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{3\pi}{3}=\pi\)
คำตอบข้อนี้คือ \(\frac{A}{\pi}=\frac{\pi}{\pi}=1\quad\underline{Ans}\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (78)
78.ค่าของ \(\cos\left[\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}\right]\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{10}}\)
- \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{10}}\)
- \(\frac{-1}{\sqrt{10}}\)
- \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องระวังเรื่องเครื่องหมาย บวก ลบ คือเราต้องรู้ว่ามุมตกควอร์ดเรนจ์ไหน มาดูวิธีการทำกันครับ
ขั้นตอนที่ 1 กำหนดให้ \(\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})=A\) จะได้ว่า
\(\sin A =-\frac{1}{\sqrt{2}}\) เมื่อ \(A\in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) จากตรงนี้จะเห็นว่ามุม \(A\) ตกควอร์ดเรนจ์ที่ 4 นั่นค่าของ \(\cos A\) เป็นบวก แน่นอน
จาก \(\sin A=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้
ซึ่งจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทำให้เราได้ว่า \(\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ขั้นตอนที่ 2 กำหนดให้ \(\arccos \frac{2}{\sqrt{5}}=B\) จะได้ว่า
\(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\) เมื่อ \(0\leq B\leq \pi\) จากตรงนี้ค่าคอส เป็นบวกทำให้เราได้ว่า มุม \(B\) ตกควอร์ดเรนจ์ที่ 1 นั่นคือค่าของ \(\sin B\) ก็เป็นบวกด้วย
จาก \(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\) จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้
ซึ่งจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้ \(\sin B=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
ต่อไปจะเริ่มกระบวกการหาคำตอบกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}\cos\left[\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}\right]&=&\cos (A-B)\\&=&\cos A\cos B +\sin A\sin B\\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}+(-\frac{1}{\sqrt{2}})\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\\&=&\frac{2}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{10}}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (83)
83. ค่าของ \(\cot^{2}\frac{\pi}{6}-2\cos^{2}\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}cosec^{2}\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}\cos^{2}\frac{\pi}{6}\) เท่ากับข้อใด
- \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\frac{5}{2}\)
- \(2\)
- \(-\frac{1}{2}\)
- \(-\frac{3}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากหาตรงๆได้เลย
\(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ดังนั้น \(\cos^{2}\frac{\pi}{6}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{3}{4}\)
\(cosec \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\) ดังนั้น \(cosec^{2}\frac{\pi}{4}=(\frac{2}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{4}{2}=2\)
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) ดังนั้น \(\cos^{2}\frac{\pi}{3}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\)
\(\cot\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\) ดังนั้น \(\cot^{2}\frac{\pi}{3}=(\sqrt{3})^{2}=3\)
เมื่อเราหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณได้หมดแล้วก็เอาไปแทนในโจทย์ เพื่อบวก ลบ คูณ หารกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}\cot^{2}\frac{\pi}{6}-2\cos^{2}\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}cosec^{2}\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}\cos^{2}\frac{\pi}{6}&=&3-2(\frac{1}{4})-\frac{1}{2}(2)+\frac{4}{3}(\frac{3}{4})\\&=&3-\frac{1}{2}-1+1\\&=&\frac{5}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (84)
83. กำหนดให้ \(a\) และ \(b\) เป็นคำตอบของสมการ \(x^{2}\sec^{2}\frac{\pi}{3}-3xcosec\frac{\pi}{6}+2\tan\frac{\pi}{4}=0\) จงหาค่าของ \(a+b\)
- \(\frac{3}{2}\)
- \(\frac{1}{3}\)
- \(2\)
- \(-\frac{1}{2}\)
- \(-1\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากหาตรงๆได้เลยแต่ต้องหาเป็นลำดับขั้นไป ก็คือเราไปหาค่าพวกฟังก์ตรีโกณก่อนเลยคับ
\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)
\(cosec\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)
\(\sec\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\) ดังนั้น \(\sec^{2}\frac{\pi}{3}=(2)^{2}=4\)
พอเราได้ค่าตรงนี้ เราก็นำไปแทนค่าในโจทย์เลยคับผม จะได้ดังนััน
\begin{array}{lcl}x^{2}\sec^{2}\frac{\pi}{3}-3xcosec\frac{\pi}{6}+2\tan\frac{\pi}{4}&=&0\\4x^{2}-3x(2)+2(1)&=&0\\2x^{2}-3x+1&=&0\\(2x-1)(x-1)&=&0\\so\\x=\frac{1}{2}\quad ,x=1\end{array}
ดังนั้นตอนนี้เราได้ \(a=\frac{1}{2}\) และ \(b=1\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}a+b&=&\frac{1}{2}+1\\&=&\frac{3}{2}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (85)
85. ค่าของ \(\frac{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}-1}{\tan\theta-\sin\theta\cos\theta}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
- \(\cot\theta\)
- \(2\cot\theta\)
- \(2\)
- \(\frac{1}{\tan^{2}\theta}\)
- \(2\cot^{2}\theta\)
วิธีทำ ข้อนี้สิ่งที่ต้องรู่คือ
\(\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta =1\) ดังนั้น \(sin^{2}\theta =1-\cos^{2}\theta\)
\(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)
\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
เอาละมาเริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\frac{(\sin\theta + \cos\theta )^{2}-1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}&=&\frac{\sin^{2}+2\sin\theta\cos\theta +\cos^{2}\theta -1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta +\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta - 1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta +1-1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\color{red}{\frac{\cos\theta}{\cos\theta}}\times \frac{2\sin\theta\cos\theta}{tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos^{2}\theta}{\sin\theta-\sin\theta\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{\sin\theta(2\cos^{2}\theta)}{\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)}\\&=&\frac{2\cos^{2}\theta}{1-\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{2\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\\&=&2\cot^{2}\theta\quad\underline{Ans}\end{array}
-
เฉลย PAT1 เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. ถ้า \(cos\theta-sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{3}\) แล้วค่าของ \(sin2\theta\) เท่ากับเท่าใด (pat 1 มี.ค 52/11)
วิธีทำ โจทย์ให้หาค่านี้คับ \(sin2\theta\) ซึ่งเป็นมุมสองเท่าถ้าใครจำสูตรของมุมสองเท่าได้สบายเลยครับข้อนี้ซึ่งถ้าเราจำสูตรได้จะได้ว่า
\[sin2\theta=2sin\theta cos\theta\]
ดังนั้นข้อนี้ก็คือให้เราหาค่าของ \(2sin\theta cos\theta\) นั่นเองครับ
เริ่มจากสิ่งที่โจทย์ให้มาคือ \(cos\theta-sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{3}\) แล้วทำไงต่อ ถ้าเจออย่างนี้ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างดูเลยคับจะได้
\begin{array}{lcl}(cos\theta-sin\theta)^{2}&=&(\frac{\sqrt{5}}{3})^{2}\\cos^{2}\theta-2sin\theta cos\theta+sin^{2}\theta&=&\frac{5}{9}\\ cos^{2}\theta+sin^{2}\theta-2sin\theta cos\theta&=&\frac{9}{5}\\-2sin\theta cos\theta&=&\frac{9}{5}-1\\-2sin\theta cos\theta&=&-\frac{4}{9}\\2sin\theta cos\theta&=&\frac{4}{9}\end{array}
อย่าลืมเอกลักษณ์ตรีโกรมิตินะคับว่า \(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\)
ดังนั้นข้อนี้ก็เลยตอบ \(\frac{4}{9}\) นั่นเอง
2. กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เท่ากับ \(60^{\circ}\) , \(BC=\sqrt{6}\) และ \(AC=1\) ค่าของ \(cos(2B)\) เท่ากับเท่าใด (pat 1 มี.ค.52/12)
วิธีทำ ยังไงข้อนี้ก็ต้องวาดรูปดูก่อนครับ เป็นสามเหลี่ยมใดๆที่มีมุม A,B,C ดังนี้
จากรูปสามเหลี่ยมที่เขาให้มา ข้อนี้รู้เลยว่าต้องใช้กฎของไซน์หาคำตอบ ใครที่ยังไม่รู้ว่ากฎของไซน์ เป็นอย่างไรก็ไปอ่านตามลิงก่อน จากรูปและกฎของไซน์เราก็จะได้ว่า
\(\frac{sinA}{\sqrt{6}}=\frac{sinB}{1}\) ต่อไปก็แก้สมการเพื่อหาค่าของ \(sinB\) ออกมาก็จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{sinA}{\sqrt{6}}&=&\frac{sinB}{1}\\\frac{sin 60^{\circ}}{\sqrt{6}}&=&\frac{sinB}{1}\\sinB&=&\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{array}
เก็บค่าของ \(sinB\) เอาไว้ก่อนครับ ต่อไปเราก็ไปดูว่าโจทย์ให้เราหาอะไร โจทย์ให้เราหาค่าของ \(cos2B\) ซึ่งเป็นมุมสองเท่าอีกแล้ว จำเป็นต้องจำสูตรสูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ได้นะครับ ซึ่งมุมสองเท่าของฟังก์ชันคอสก็จะมีหลายสูตรเลือกมาใช้ให้ถูกแล้วกันก็จะมีดังนี้
\begin{array}{lcl}cos2B&=&cos^{2}B-sin^{2}B\\&=&2cos^{2}B-1\\&=&1-2sin^{2}B\end{array}
ดังนั้นจากสิ่งที่เรามีอยู่คือ \(sinB=\frac{1}{2\sqrt{2}}\) เราต้องใช้สูตรนี้นั่นเอง
\begin{array}{lcl}cos2B&=&1-2sin^{2}B\\&=&1-2(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{2}\\&=&1-2(\frac{1}{8})\\&=&1-\frac{2}{8}\\&=&\frac{3}{4}\end{array}
3. ให้ \(-1\leq x\leq 1\) เป็นจำนวนจริงซึ่ง \(arccosx-arcsinx=\frac{\pi}{2552}\) แล้วค่าของ \(sin\frac{\pi}{2552}\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(2x\)
- \(1-2x^{2}\)
- \(2x^{2}-1\)
- \(-2x\)
วิธีทำ จาก \(arccos x-arcsin x=\frac{\pi}{2552}\) เราจะ take ฟังก์ชันไซน์เข้าไปทั้งสองข้างนะ จะได้
\(sin(arccos x- arcsin x)=sin(\frac{\pi}{2552})\)
และเพื่อความง่ายผมจะแทนค่าด้วยตัวแปรดังต่อไปนี้ คือ
ให้
\(arccos x=A\rightarrow cosA=x\)
\(arcsin x=B\rightarrow sinB=x\)
เราจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}sin(A-B)&=&sin(\frac{\pi}{2552})\\sinAcosB-cosAsinB&=&sin\frac{\pi}{2552}\\(\sqrt{1^{2}-x^{2}})(\sqrt{1^{2}-x^{2}})-(x)(x)&=&sin(\frac{\pi}{2552})\\sin(\frac{\pi}{2552})&=&1^{2}-x^{2}-x^{2}\\sin(\frac{\pi}{2552})&=&1-2x^{2}\end{array}
4. ค่าของ \(\left(\frac{sin30^{\circ}}{sin10^{\circ}}-\frac{cos30^{\circ}}{cos10^{\circ}}\right)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (Pat1 ก.ค.52/11)
- -1
- 1
- 2
- -2
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องคิดไรมากสิ่งที่ทำได้คือ การคูณไขว้ ดังนั้นจับคูณไขว้ก่อนเลยคับจะได้
\[\frac{sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\]
จากที่เราคูณไขว้กันข้างบน ถ้ามองดูดีๆ เราจะเห็นว่ามันเข้ากับสูตรนี้ใช่ไหม
\(sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB\) ดังนั้น
\(sin(30^{\circ}-10^{\circ})=sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ}\)
และสำหรับตัวส่วนสิ่งที่เราต้องมองให้เห็นคือ สูตรของมุมสองเท่าคือ
\(2sinAcosA=sin2A\) ดังนั้น
\(2sin10^{\circ}cos10^{\circ}=sin2(10^{\circ})=sin20^{\circ}\)
ทำต่อเลยนะอย่างไรก็ทำความเข้าใจ ไม่ได้ก็ถามได้ครับ
\begin{array}{lcl}\frac{sin30^{\circ}cos10^{\circ}-cos30^{\circ}sin10^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}&=&\frac{sin(30^{\circ}-10^{\circ})}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\\&=&\frac{sin20^{\circ}}{sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\\&=&\frac{2sin20^{\circ}}{2sin10^{\circ}cos10^{\circ}}\\&=&\frac{2sin20^{\circ}}{sin20^{\circ}}\\&=&2\end{array}
5. ถ้า \((sin\theta +cos\theta)^{2}=\frac{3}{2}\) เมื่อ \(0 \leq \theta\leq\frac{\pi}{4}\) แล้ว \(arccos(tan3\theta)\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ แน่นอนการทำข้อนี้ต้องยกกำลังสองดูก่อนคับ
\begin{array}{lcl}(sin\theta +cos\theta)^{2}&=&\frac{3}{2}\\sin^{2}\theta+2sin\theta cos\theta+cos^{2}\theta&=&\frac{3}{2}\\2sin\theta cos\theta&=&\frac{3}{2}-1\\sin2\theta&=&\frac{1}{2}\end{array}
เนื่องจาก \(0 \leq \theta\leq\frac{\pi}{4}\)
ดังนั้น \(0\leq 2\theta\leq\frac{\pi}{2}\) [เอา 2 คูณเข้า]
จากสมการข้างบนเรารู้ว่า \(sin2\theta=\frac{1}{2}\) และ \(2\theta\) ต้องอยู่ในช่วง \(0\leq 2\theta\leq\frac{\pi}{2}\)
จาก \(sin2(15^{\circ})=\frac{1}{2}\) ดั้งนั้น \(\theta=15^{\circ}\)
โจทย์ให้เรา หาค่าของ \(arccos(tan3\theta)\) เราก็เอา \(\theta=15^{\circ}\) แทนค่าลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}arccos(tan3\theta )&=&arccos(tan3(15^{\circ}))\\&=&arccos(tan45^{\circ})\\&=&arccos(1)\\&=&0^{\circ}\end{array}
6. ถ้า \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) สำหรับบาง \(x>0\) แล้วค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ (Pat 1 พ.ย.57 ข้อ 29)
วิธีทำ ข้อนี้เรานำสมการ \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) มาแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(\sin^{2}x\) แสดงว่าตรงไหนที่เป็นค่า \(\cos x\) เราต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของ \(\sin x\) ให้หมดครับ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า
\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\) ดังนั้น
\(\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\) ครับผม
เริ่มแก้สมการกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(\cos^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(1-\sin^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\end{array}
เพื่อความสะดวกในการแก้สมการ ผมจะกำหนดให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้นเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{A^{2}}{5}+\frac{(1-A)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{A^{2}}{5}+\frac{1-2A+A^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{7A^{2}+5(1-2A+A^{2})}{35}&=&\frac{1}{12}\\7A^{2}+5-10A+5A^{2}&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5-\frac{35}{12}&=&0\\144A^{2}-120A+60-35&=&0\\144A^{2}-120A+25&=&0\\(12A-5)(12A-5)&=&0\\so\\A&=&\frac{5}{12}\end{array}
จากที่เราให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้น
\[\color{red}{\sin^{2}x}=\color{red}{\frac{5}{12}}\]
ต่อไปโจทย์ให้เราหาค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) แต่ก่อนจะหาเราต้องทำการจัดรูปก่อนคับโดยใช้สูตรพวกมุมสองเท่า สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือ
\(\sin 2x=2\sin x\cos x\) และ
\(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\)
ดังนั้นจากที่โจทย์ให้หาเราจะได้ว่า
พิจารณา \(\sin^{2}(2x)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\sin^{2}(2x)&=&(\sin 2x)^{2}\\&=&(2\sin x\cos x)^{2}\\&=&2^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x\\&=&4\sin^{2}x(1-\sin^{2}x)\\&=&4\times \frac{5}{12}\times (1-\frac{5}{12})\\&=&2\times \frac{5}{12}\times \frac{7}{12}\\&=&\frac{35}{36}\end{array}
ดังนั้น \(\sin^{2}(2x)=\frac{35}{36}\)
พิจารณา \(\cos^{2}(2x)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\cos^{2}(2x)&=&(\cos 2x)^{2}\\&=&(\cos^{2}x-sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-\sin^{2}x-\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2(\frac{5}{12}))^{2}\\&=&(1-\frac{10}{12})^{2}\\&=&\frac{1}{36}\end{array}
ต่อไปเราเอาค่าที่เราหาด้านบนไปแทนในนี้ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}&=&\frac{35}{36}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{36}\times\frac{1}{7}\\&=&\frac{25}{126}\quad\underline{Ans}\end{array}
7. กำหนดให้ \(x\) เป็นจำนวนจริงโดยที่ \(\sin x+\cos x=\frac{4}{3}\)
ถ้า \((1+\tan^{2} x)\cot x=\frac{a}{b}\) เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนเต็มโดยที่ ห.ร.ม. ของ \(a\) และ \(b\) เท่ากับ \(1\) แล้ว \(a^{2}+b^{2}\) เท่ากับเท่าใด [Pat 1 มี.ค.56 ข้อ 28]
วิธีทำ ข้อนี้ใครที่ไม่เคยฝึกทำโจทย์เลย บอกเลยว่าเริ่มต้นไม่เป็นแน่นอน ฉะนั้นควรฝึกทำโจทย์เยอะๆจะได้เริ่มต้นถูกนะคับ เริ่มต้นวิธีการทำคือ เอาสมการนีั \(\sin x+\cos x=\frac{3}{4}\) มายกกำลังสองครับจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\sin x+\cos x&=&\frac{4}{3}\\(\sin x+\cos x)^{2}&=&(\frac{4}{3})^{2}\\\sin^{2}x+2\sin x\cos x+\cos^{2}x&=&\frac{16}{9}\\\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}\\1+2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}\\2\sin x\cos x&=&\frac{16}{9}-1\\2\sin x\cos x&=&\frac{7}{9}\\\sin x\cos x&=&\frac{7}{18}\quad\cdots (1)\end{array}
ก่อนจะทำต่อ เราต้องรู้สูตรพวกนี้ก่อนคับ
\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\)
\(\sec^{2}x-tan^{2}x=1\)
\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)
\(\sec x=\frac{1}{\cos x}\)
ต่อไปเราก็เริ่มหาค่าของ \(a\) และ \(b\) ซึ่งก็เริ่มหาจากสมการนี้ \((1+\tan^{2} x)\cot x=\frac{a}{b}\) เริ่มเลยคับ
\begin{array}{lcl}(1+\tan^{2}x)\cot x&=&\frac{a}{b}\\(1+\sec^{2}-1)\cot x&=&\frac{a}{b}\\(\frac{1}{\cos^{2}x})\frac{\cos x}{\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\frac{1}{\cos^{2}}\frac{\cos x}{\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\frac{1}{\cos x\sin x}&=&\frac{a}{b}\\\sin x\cos x&=&\frac{b}{a}\\ from \quad (1)\\ \frac{7}{18}&=&\frac{b}{a}\\so\\b=7\quad and\quad a=18\\a^{2}=324\quad b^{2}=49\\a^{2}+b^{2}&=&324+49\\&=&373\quad\underline{Ans}\end{array}
8.ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ \(3\sin(x-y)=2\sin(x+y)\) แล้ว \((\tan^{3}x)(\cot^{3}y)\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 มี.ค.57 ข้อ 23)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมากสามารถเก็บคะแนนได้แบบสบายๆ โดยใช้ความรู้ของพวกฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง ต้องจำสูตรพวกนี้ให้ได้เช่น
\[\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\]
\[\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\]
เรามาเริ่มทำกันเลยครับเริ่มจากสมการที่โจทย์ให้มาเลย
\begin{array}{lcl}3\sin(x-y)&=&2\sin(x+y)\\3\left[\sin x\cos y-\cos x\sin y\right]&=&2\left[\sin x\cos y+\cos x\sin y\right]\\3\sin x\cos y-3\cos x\sin y&=&2\sin x\cos y+2\cos x\sin y\\3\sin x\cos y-2\sin x\cos y&=&2\cos x\sin y+3\cos x\sin y\\\sin x\cos y&=&5\cos x\sin y\\\frac{\color{red}{\sin x}\color{green}{\cos y}}{\color{red}{\cos x}\color{green}{\sin y}}&=&5\\\color{red}{\tan x}\color{green}{\cot y}&=&5\\so\\\left[\tan x\cot y\right]^{3}&=&5^{3}\\\tan^{3}x\cot^{3}y&=&125\quad\underline{Ans}\end{array}
ดูคลิปประกอบครับ
-
แบบทดสอบตรีโกณมิติ
แบบทดสอบเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ลองๆเอาไปทำดูครับ ไม่ยาก ง่ายๆครับผม ใครที่เรียนแล้วลองเอาแบบฝึกหัดนี้ไปฝึกทำดูเพื่อตรวจสอบความเข้าใจของตัวเองครับผม ว่างๆดาวน์โหลดไปได้เลยครับ แบบฝึกหัดเรื่องฟังก์ชันตรีโกณนี้ ก่อนที่จะทำแบบฝึกหัดเรืองฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ ควรศึกษาหัวข้อเหล่านี้ก่อนครับ เพื่อความเข้าใจก่อน แล้วค่อยลงมือทำครับผม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(Trigonometry Function)
การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก
การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5
พื้นฐานเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เอกสารประกอบการสอนเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง
แบบฝึกหัดเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สูตรมุมครึ่งเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติและการพิสูจน์
แบบฝึกหัดผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เอกสารประกอบการเรียนการสอนเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ข้อสอบคณิตโควต้า ม.เชียงใหม่เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
แบบฝึกหัดโจทย์ผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
โจทย์Pat1 เรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เฉลย PAT1 เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 1
แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 2
แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 3
แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 4
แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 5
-
ใบความรู้และแบบฝึกหัดตรีโกณมิติ
ใบความรู้และแบบฝึกหัดเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ลองๆเอาไปทำดูครับ ไม่ยาก ง่ายๆครับผม ใครที่เรียนแล้วลองเอาแบบฝึกหัดนี้ไปฝึกทำดูเพื่อตรวจสอบความเข้าใจของตัวเองครับผม ว่างๆดาวน์โหลดไปได้เลยครับ แบบฝึกหัดเรื่องฟังก์ชันตรีโกณนี้ ก่อนที่จะทำแบบฝึกหัดเรืองฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ ควรศึกษาหัวข้อเหล่านี้ก่อนครับ เพื่อความเข้าใจก่อน แล้วค่อยลงมือทำครับผม
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(Trigonometry Function)
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอนที่ 2
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอนที่ 3
- การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก
- การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5
- พื้นฐานเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- เอกสารประกอบการสอนเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง
- แบบฝึกหัดเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- สูตรมุมครึ่งเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติและการพิสูจน์
- แบบฝึกหัดผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- เอกสารประกอบการเรียนการสอนเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- ข้อสอบคณิตโควต้า ม.เชียงใหม่เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- แบบฝึกหัดโจทย์ผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- โจทย์Pat1 เรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- เฉลย PAT1 เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 1
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 2
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 3
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 4
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 5