เฉลยคณิต A-level เรื่องความน่าจะเป็น

3. \(\displaystyle\sum_{r=0}^{6}(-1)^{r}\binom{6}{r}7^{6-r}5^{r}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ลองกระจายดูก่อนคับ 

เอาที่โจทย์ให้มาไปกระจายดูเลย\(\displaystyle\sum_{r=0}^{6}(-1)^{r}\binom{6}{r}7^{6-r}5^{r}\)

จะได้แบบนี้

\(=(-1)^{0}\binom{6}{0}7^{6-0}5^{0}+(-1)^{1}\binom{6}{1}7^{6-1}5^{1}+(-1)^{2}\binom{6}{2}7^{6-2}5^{2}+\cdots +(-1)^{6}\binom{6}{6}7^{6-6}5^{6}\)

\(=\binom{6}{0}7^{6}-\binom{6}{1}7^{5}5^{1}+\binom{6}{2}7^{4}5^{2}-\binom{6}{3}7^{3}5^{3}+\cdots +\binom{6}{6}5^{6}\)

ซึ่งมันไปตรงกับสูตรทฤษฎีบททวินาม ไปอ่านดูตามลิงก์นะคับ นั่นก็คือ

\(\binom{6}{0}7^{6}-\binom{6}{1}7^{5}5^{1}+\binom{6}{2}7^{4}5^{2}-\binom{6}{3}7^{3}5^{3}+\cdots +\binom{6}{6}5^{6}=(7-5)^{6}=2^{6}=64\)

4. กำหนดให้ \(S=\{1,2,3,\cdots ,10\}\) และ \(M=\{(x,y)|x,y\in S\}\) ถ้าสุ่มหยิบ \((x,y)\) จาก \(M\) มาหนึ่งตัวแล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้ \((x,y)\) ซึ่ง \(x^{2}+y^{2}<25\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{13}{100}\)
2. \(\frac{15}{100}\)
3. \(\frac{17}{100}\)
4. \(\frac{19}{100}\)
5. \(\frac{21}{100}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราหาสมาชิกทั้งหมดในเซต \(M\) จะได้เท่ากับ \(10\times 10=100\) ตัว หน้าตาคร่าวของเซต \(M\) ก็จะประมาณนี้

\(M=\{(1,1),(1,2),(1,3),\cdots ,(10,10)\}\) ต่อไปเราก็ไปหาว่าคู่ไหนบ้างที่ยกกำลังสองแล้วรวมกันมีค่าน้อยกว่า 25 ซึ่งก็จะมี

\((1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2)\) ก็คือคู่อันดับพวกนี้ ยกกำลังสองแล้วบวกกันได้ค่าน้อยกว่า 25 

อย่างเช่น \((3,2)\to 3^{2}+2^{2}=9+4=13<25\) ซึ่งนับแล้วแบบนี้มีทั้งหมด 13 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบสมาชิกใน \(M\) แล้วได้คู่อันดับที่ยกกำลังสองแล้วบวกกันมีค่าน้อยกว่า 25 เท่ากับ \(\frac{13}{100}\) นั่นเอง

5.นักเรียนห้องหนึ่งมีจำนวน 30 คน สอบวิชาคณิตศาสตร์ได้เกรด A   5 คน ได้เกรดB  15 คน และได้เกรดC  10 คน ถ้าสุ่มนักเรียน 3 คน จากห้องนี้แล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนอย่างน้อย 1 คนที่ได้เกรด A เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{44}{203}\)
2. \(\frac{55}{203}\)
3. \(\frac{66}{203}\)
4. \(\frac{77}{203}\)
5. \(\frac{88}{203}\)

วิธีทำ ข้อนี้ถ้าทำแบบตรงๆ ยาก ดังนั้นเราก็แบบนี้คือ เอา 1 ลบออกด้วยความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียน 3 คนแล้วไม่ใครได้เกรด A สักคนเลย

มีนักเรียนอยู่ 30 คน จำนวนวิธีในการสุ่มนักเรียนมา 3 คนเท่ากับ \(\binom{30}{3}\) วิธี

มีนักเรียนอยู่ 25 คนที่ไม่ได้เกรดA จำนวนวิธีสุ่มนักเรียนมา 3 คนซึ่งสามคนนั้นไม่ได้เกรดAเลยเท่ากับ \(\binom{25}{3}\) วิธี

ดังนั้น

ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วสามคนนั้นไม่ได้เกรดA เลยเท่ากับ \(\frac{\binom{25}{3}}{\binom{30}{3}}=\frac{25\times 24\times 23}{30\times 29\times 28}=\frac{115}{203}\)

ตอนนี้ใกล้ได้คำตอบแล้ว

ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วได้เกรด A อย่างน้อย 1 คน จะเท่ากับ 1 ลบออกด้วย ความน่าจะเป็นจะที่สุ่มนักเรียนมา 3 คนแล้วไม่ได้เกรด A เลยก็คือ

\(1-\frac{115}{203}=\frac{88}{203}\quad\underline{Ans}\)

6.ต้องการสร้างจำนวนที่มี 7 หลัก จากเลขโดด 7 ตัว คือ 1,2,3,3,4,5,6 โดยให้เลข 3 สองตัวติดกัน จะสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน

วิธีทำ  ข้อนี้หลักการทำ คือ เอาเลข 3 ที่มีสองตัวมามัดรวมกันเป็นหนึ่งมัด จะได้ว่ามีตัวเลขทั้งหมด 6 ตัว ก็คือนำตัวเลข 6 ตัวนี้มาการเรียงสับเปลี่ยนกันเพื่อให้ได้เลข 7 หลัก ซึงจะทำได้ทั้งหมด \(6!=720\) วิธี นั่นก็คือจะสร้างเลข 7 หลักที่มีเลข 3 สองตัวติดกันทั้งหมด \(720\) จำนวน

7. ในการกระจาย \(\left(x^{2}+\frac{2}{x^{3}})^{10}\right)\) โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่าพจน์ค่าคงตัวมีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ   เราก็ใช้ทฤษฎีบททวินามกระจายพจน์นี้  พอเรากระจายไปเรื่อยๆ เราก็จะเจอพจน์ๆหนึ่งที่มีรูปแบบ แบบนี้

\(\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}\) 

ต่อไปเราจะเห็นว่าการที่ไอ้ก้อนนี้ \(\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}\) มันจะเป็นค่าคงตัว เลขชี้กำลังของ \(x\) มันต้องเป็น \(0\) ถูกต้องไหม

เราเอาไอก้อนนี้   \(\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}\) มาจัดรูปนิดหน่อย จะได้

\begin{array}{lcl}\binom{10}{r}(x^{2})^{10-r}(2x^{-3})^{r}&=&\binom{10}{r}x^{(20-2r)}2^{r}x^{-3r}\\&=&\binom{10}{r}x^{(20-5r)}2^{r}\end{array}

ต่อไปเราจะได้ว่า เลขชี้กำลังของ \(x\) จะเป็น \(0\) ก็ต่อเมื่อ  \(20-5r=0\) นั่นก็คือถ้าเราแก้สมการจะได้ค่า \(r=4\)  ดังนั้นจะได้ว่า \(r=4\) จึงจะทำให้พจน์ที่ได้เป็นค่าคงตัว เราก็หาต่อเลยว่าค่าคงตัวที่ว่านั้นคือเลขอะไร เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\binom{10}{r}x^{20-5r}2^{r}&=&\binom{10}{4}x^{20-(5)(4)}2^{4}\\&=&210\cdot x^{0}\cdot 16\\&=&210\times 16\\&=&3360\end{array}

พจน์ค่าคงตัวที่ว่านั้นก็คือเลขนี้ครับ \(3360\) นั่นเอง