สำหรับบทความนี้เราจะทำโจทย์เกี่ยวกับการดิฟทั้งหลาย ที่ต้องอาศัยวิธีการในการดิฟต่างๆนาๆ เช่น ใช้ดิฟผลคูณ ใช้ดิฟผลหาร ใช้กฎลูกโซ่ดิฟไส้ในหรือการดิฟฟังก์ชันประกอบมีชื่อเรียกหลายชื่อแล้วแต่คนจะเรียก เรามาดูโจทย์เกี่ยวกับการดิฟดีกว่า เอาง่ายๆนะครับ ไม่ยาก แต่ดูวิธีการในการทำเอาไว้ครับ เมื่อเจอโจทย์ที่อื่นจะได้ทำได้ครับ
1. ให้ \(u\) และ \(v\) เป็นฟังก์ชันของ \(x\) โดยที่ \(v(x)=3x^{2}-5x\) ถ้า \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) และ \(u(2)=-9,u^{\prime} (2)=4\) แล้วค่าของ \(f^{\prime} (2)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ เริ่มทำเลยนะครับ ค่อยๆอ่านดีๆนะ
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\frac{v(x)\cdot u^{\prime} (x)-u(x)\cdot v^{\prime} (x)}{((v(x))^{2}}\\f^{\prime} (2)&=&\frac{v(2)\cdot u^{\prime} (2) - u(2)\cdot v^{\prime} (2)}{(v(2))^{2}}\\f^{\prime}(2)&=&\frac{(2)\cdot (4)-(-9)\cdot 7}{2^{2}}\\f^{\prime}(2)&=&\frac{71}{4}\quad\underline{Ans}\end{array}
มาดูคำอธิบาบการหาค่าแต่ละก้อนด้านล่างกัน
\(v(x)=3x^{2}-5x\)
\(v(2)=3(2)^{2}-(5)(2)=(3)(4)-10=12-10=2\)
\(v(x)=3x^{2}-5x\)
\(v^{\prime}(x)=6x-5\)
\(v^{\prime}(2)=6(2)-5=7\)
2. ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และ \(f(1)=-2,\quad f^{\prime}(1)=10\) ถ้า \(g(x)=\frac{f(x)}{x^{2}+1}\) แล้วค่าของ \(g^{\prime}(1)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ เริ่มทำเลยนะครับผม
\begin{array}{lcl}g^{\prime}(x)&=&\frac{(x^{2}+1)\cdot f^{\prime}(x)-f(x)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}\\g^{\prime}(1)&=&\frac{(1^{2}+1)\cdot (10)-(-2)\cdot (2)}{4}\\g^{\prime}(1)&=&\frac{20+4}{4}\\g^{\prime}(1)&=&6\end{array}
3. ให้ \(f(x)=x^{3}-x^{2}+g(x)\) และ \(f^{\prime}(x)=f(2)=2\) จงหาค่าของ \(\left(\frac{g}{f}\right)^{\prime}(2)\)
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ว่า
\(\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{f(x)-x^{3}+x^{2}}{x^{3}-x^{2}+g(x)}\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\left(\frac{g}{f}\right)^{\prime}(x)&=&\frac{[x^{3}-x^{2}+g(x)]\cdot [f^{\prime}(x)-3x^{2}+2x]-[f(x)-x^{3}+x^{2}]\cdot [3x^{2}-2x+g^{\prime}(x)]}{[x^{3}-x^{2}+g(x)]^{2}}\\\left(\frac{g}{f}\right)^{\prime}(2)&=&\frac{[8-4-2]\cdot [2-12+4]-[2-12+4]-[2-8+4]\cdot[12-4-6]}{(8-4-2)^{2}}\\\left(\frac{g}{f}\right)^{\prime}(2)&=&\frac{-12+4}{4}=-2\quad\underline{Ans}\end{array}
คำอธิบายเพิ่มเติม
เนื่องจาก
\begin{array}{lcl}f(x)=x^{3}-x^{2}+g(x)\\so\\g(x)&=&f(x)-x^{3}+x^{2}\\so\\g^{\prime}(x)&=&f^{\prime}(x)-3x^{2}+2x\\so\\g^{\prime}(2)&=&2-12+4\\&=&-6\end{array}
เนื่องจาก
\(g(x)=f(x)-x^{3}+x^{2}\)
\(g(2)=f(2)-2^{3}+2^{2}=2-8+4=-2\)
4. กำหนด \(f\) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ \(F(x)=\sqrt{(f(x))^{3}+15}\) ถ้า \(F(1)=f^{\prime}(1)=4\) แล้ว \(F^{\prime}(1)\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}F(x)&=&\sqrt{(f(x))^{3}+15}\\F(x)&=&\left((f(x))^{3}+15\right)^{\frac{1}{2}}\\F^{\prime}(x)&=&\frac{1}{2}\left((f(x))^{3}+15\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 3(f(x))^{2}\cdot f^{\prime}(x)\\F^{\prime}(1)&=&\frac{1}{2}\left((f(1))^{3}+15\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 3(f(1))^{2}\cdot f^{\prime}(1)\\F^{\prime}(1)&=&\frac{1}{2}\left(1+15\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot (3)(1)(4)\\F^{\prime}(1)&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{16}}\cdot 12\\F^{\prime}(1)&=&\frac{3}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}
อธิบายเพิ่มเติม
จาก
\begin{array}{lcl}F(x)&=&\sqrt{(f(x))^{3}+15}\\F(1)&=&\sqrt{(f(1))^{3}+15}\\4&=&\sqrt{(f(x))^{3}+15}\\4^{2}&=&(f(1))^{3}+15\\(f(1))^{3}&=&1\\so\\(f(1))^{2}&=&1 \end{array}
5. ให้ \(u\) และ \(v\) เป็นฟังก์ชันของ \(x\) โดยที่ \(v(x)=x^{2}-2x\) ถ้า \(f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\) และ \(u(3)=-9,u^{\prime}(3)=3\) แล้วจงหาค่าของ \(f^{\prime}(3)\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\\f^{\prime}(x)&=&\frac{v(x)\cdot u^{\prime}(x)-u(x)\cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}\\f^{\prime}(3)&=&\frac{v(3)\cdot u^{\prime}(3)-u(3)\cdot v^{\prime}(3)}{(v(3))^{2}}\\f^{\prime}(3)&=&\frac{(3)\cdot (3)-(-9)\cdot 4}{9}=\frac{9+36}{9}=5\quad\underline{Ans}\end{array}
อธิบายเพิ่มเติม
จาก
\(v(x)=x^{2}-2x\)
\(v(3)=3^{2}-2(3)=3\)
\((v(3))^{2}=3^{2}=9\)
\(v^{\prime}(x)=2x-2\)
\(v^{\prime}(3)=2(3)-2=4\)
สนับสนุนเว็บไซต์