ข้อนี้เป็นข้อที่เกี่ยวกับกับ อินเวอร์สของเมทริกซ์ \(2\times \) นะคับผม ดังนั้นขอทบทวนเกี่ยวกับสูตรก่อน ซึ่งสูตรในการหาอินเวอร์เมทริกซ์ \(2\times \) เป็นดังนี้

กำหนดให้ 

\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\end{array}

ยกตัวอย่างเช่น

กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) จงหาค่าของ \(A^{-1}\)

วิธีทำ 

จาก

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{ad}{bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{(1)(4)-(2)(3)}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\&=&-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\end{array}

ต่อไปเรามาดูตัวอย่างกันเลยครับผม

32. กำหนด \(A\) และ \(B\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) โดยมี

\((AB)^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{26}{8}&\frac{15}{8}\\\frac{4}{8}&-\frac{2}{8}\end{bmatrix}\)  และ

\(B=\begin{bmatrix}0&4\\2&3\end{bmatrix}\) จงหา  \(A\)

วิธีทำ 

ข้อนี้เราจะใช้วิธีการมองกลับด้าน  คือ ดูที่สูตรแล้วทำกลับเพื่อหาเมทริกซ์ \(AB\)

จาก

\begin{array}{lcl}(AB)^{-1}&=&\begin{bmatrix}-\frac{26}{8}&\frac{15}{8}\\\frac{4}{8}&-\frac{2}{8}\end{bmatrix}\\(AB)^{-1}&=&-\frac{1}{8}\begin{bmatrix}26&-15\\-4&2\end{bmatrix}\end{array}

จากตรงนี้

\(\begin{bmatrix}26&-15\\-4&2\end{bmatrix}\)

เมื่อเอาไปเทียบกับสูตรทำให้เราได้ว่า

\(AB=\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\)

ผมกำหนดให้  \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)   ดังนั้น

\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&4\\2&3\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}2b&4a+3b\\2d&4c+3d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\quad\cdots\ (1)\end{array}

จากสมการ \((1)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}2b&=&2\\b&=&1\end{array}

\begin{array}{lcl}4a+3b&=&15\\4a+(3)(1)&=&15\\a&=&\frac{15-3}{4}\\a&=&3\end{array}

\begin{array}{lcl}2d&=&4\\d&=2\end{array}

\begin{array}{lcl}4c+3d&=&26\\4c+(3)(2)&=&26\\4c+6&=&26\\c&=&\frac{26-6}{4}\\c&=&5\end{array}

ดังนั้น

\[A=\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}\quad \underline{Ans}\]