ข้อนี้เป็นข้อที่เกี่ยวกับกับ อินเวอร์สของเมทริกซ์ \(2\times \) นะคับผม ดังนั้นขอทบทวนเกี่ยวกับสูตรก่อน ซึ่งสูตรในการหาอินเวอร์เมทริกซ์ \(2\times \) เป็นดังนี้
กำหนดให้
\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\end{array}
ยกตัวอย่างเช่น
กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) จงหาค่าของ \(A^{-1}\)
วิธีทำ
จาก
\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{ad}{bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{(1)(4)-(2)(3)}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\&=&-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\end{array}
ต่อไปเรามาดูตัวอย่างกันเลยครับผม
32. กำหนด \(A\) และ \(B\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) โดยมี
\((AB)^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{26}{8}&\frac{15}{8}\\\frac{4}{8}&-\frac{2}{8}\end{bmatrix}\) และ
\(B=\begin{bmatrix}0&4\\2&3\end{bmatrix}\) จงหา \(A\)
วิธีทำ
ข้อนี้เราจะใช้วิธีการมองกลับด้าน คือ ดูที่สูตรแล้วทำกลับเพื่อหาเมทริกซ์ \(AB\)
จาก
\begin{array}{lcl}(AB)^{-1}&=&\begin{bmatrix}-\frac{26}{8}&\frac{15}{8}\\\frac{4}{8}&-\frac{2}{8}\end{bmatrix}\\(AB)^{-1}&=&-\frac{1}{8}\begin{bmatrix}26&-15\\-4&2\end{bmatrix}\end{array}
จากตรงนี้
\(\begin{bmatrix}26&-15\\-4&2\end{bmatrix}\)
เมื่อเอาไปเทียบกับสูตรทำให้เราได้ว่า
\(AB=\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\)
ผมกำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&4\\2&3\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}2b&4a+3b\\2d&4c+3d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\quad\cdots\ (1)\end{array}
จากสมการ \((1)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}2b&=&2\\b&=&1\end{array}
\begin{array}{lcl}4a+3b&=&15\\4a+(3)(1)&=&15\\a&=&\frac{15-3}{4}\\a&=&3\end{array}
\begin{array}{lcl}2d&=&4\\d&=2\end{array}
\begin{array}{lcl}4c+3d&=&26\\4c+(3)(2)&=&26\\4c+6&=&26\\c&=&\frac{26-6}{4}\\c&=&5\end{array}
ดังนั้น
\[A=\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}\quad \underline{Ans}\]