วันนี้จะกล่างถึงประเภทต่างๆของเมทริกซ์ ซึ่งมีหลายประเภทมากๆจำเป็นต้องเรียนรู้เพื่อเป็นพื้นฐานในการเรียนเนื้อหาในระดับที่สูงๆขึ้นไป เราไปดูกันเลยว่ามี เมทริกซ์อะไรบ้าง

ก่อนที่จะรู้จักประเภทของเมทริกซ์มาดูนิยามของ เมทริกซ์ กันก่อนครับ

Definition  In mathematics , a matrix is a rectangular array of mumber such as

\(\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&5\\6&19\\4&8\end{bmatrix},\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix} \)

ข้างบนเป็นนิยามของเมทริกซ์ในภาษาอังกฤษ ถ้าแปลเป็นภาษาชาวบ้านให้เข้าใจง่ายๆ

เมทริกซ์คือ จำนวนต่างๆที่อยู่ภายในสี่เหลี่ยม เช่น

\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\6&7&8&9&0\end{bmatrix}  หรือ

\begin{pmatrix}1&4\\8&7\end{pmatrix}  

เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์หมด ใช้สัญลักษณ์ \(\underline{0}_{m\times n}\) หรือ \(\underline{0}\) แทนเมทริกซ์ศูนย์   ตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติต่างๆ  เช่น

\(\begin{bmatrix}0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)

เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) หมายถึง เมทริกซ์ที่มีจำนวนสมาชิกในแต่ละแถวและในแต่ละหลักเท่ากัน เช่น

\(\begin{bmatrix}1&3\\4&7\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\) ก็คือมี 2 แถวและ 2 หลัก เท่ากัน

\(\begin{bmatrix}3&1&1\\6&4&1\\9&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)  ก็คือมี 3 แถวและ 3 หลักเท่ากัน

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix)  คือ เมทริกซ์จัตุรัส ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักเป็น 1 นอกนั้นสมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์ทุกตัว เช่น

\(\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(2\times 2\)

\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)

เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangle matrix) แบ่งออกเป็น

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน  เช่น

\(\begin{bmatrix}2&3&4\\0&2&8\\0&0&2\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)

เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง เช่น

\(\begin{bmatrix}2&0&0\\2&3&0\\3&4&3\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)

ไดอาโกนัลเมทริกซ์ (Diagonal matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักไม่เป็นศูนย์  สมาชิกในตำแหน่งอื่นเป็นศูนย์หมด เช่น

\(\begin{bmatrix}3&0\\0&4\end{bmatrix}\)  มีมิติ \(2\times 2\)

\(\begin{bmatrix}2&0&0\\0&4&0\\0&0&8\end{bmatrix}\) มีมิติ \(3\times 3\)

\(\begin{bmatrix}8&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&8&0\\0&0&0&12\end{bmatrix}\) มีมิติ \(4\times 4\)

เมทริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) หมายถึงเมทริกซ์ที่สลับที่ในระหว่างแถวกับหลักที่สมนัยกันแล้วยังคงเป็นเมทริกซ์เดิม เช่น

\(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&3\\3&4\end{bmatrix}\) 

\(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\) เอาแถวสลับเป็นหลักก็จะได้เมทริกซ์เดิม \(\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}\)

ข้อนี้เป็นข้อที่เกี่ยวกับกับ อินเวอร์สของเมทริกซ์ \(2\times \) นะคับผม ดังนั้นขอทบทวนเกี่ยวกับสูตรก่อน ซึ่งสูตรในการหาอินเวอร์เมทริกซ์ \(2\times \) เป็นดังนี้

กำหนดให้ 

\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\end{array}

ยกตัวอย่างเช่น

กำหนดให้ \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) จงหาค่าของ \(A^{-1}\)

วิธีทำ 

จาก

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{ad}{bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{(1)(4)-(2)(3)}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\&=&-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\end{array}

ต่อไปเรามาดูตัวอย่างกันเลยครับผม

32. กำหนด \(A\) และ \(B\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\) โดยมี

\((AB)^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{26}{8}&\frac{15}{8}\\\frac{4}{8}&-\frac{2}{8}\end{bmatrix}\)  และ

\(B=\begin{bmatrix}0&4\\2&3\end{bmatrix}\) จงหา  \(A\)

วิธีทำ 

ข้อนี้เราจะใช้วิธีการมองกลับด้าน  คือ ดูที่สูตรแล้วทำกลับเพื่อหาเมทริกซ์ \(AB\)

จาก

\begin{array}{lcl}(AB)^{-1}&=&\begin{bmatrix}-\frac{26}{8}&\frac{15}{8}\\\frac{4}{8}&-\frac{2}{8}\end{bmatrix}\\(AB)^{-1}&=&-\frac{1}{8}\begin{bmatrix}26&-15\\-4&2\end{bmatrix}\end{array}

จากตรงนี้

\(\begin{bmatrix}26&-15\\-4&2\end{bmatrix}\)

เมื่อเอาไปเทียบกับสูตรทำให้เราได้ว่า

\(AB=\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\)

ผมกำหนดให้  \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)   ดังนั้น

\begin{array}{lcl}AB&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&4\\2&3\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}2b&4a+3b\\2d&4c+3d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}2&15\\4&26\end{bmatrix}\quad\cdots\ (1)\end{array}

จากสมการ \((1)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}2b&=&2\\b&=&1\end{array}

\begin{array}{lcl}4a+3b&=&15\\4a+(3)(1)&=&15\\a&=&\frac{15-3}{4}\\a&=&3\end{array}

\begin{array}{lcl}2d&=&4\\d&=2\end{array}

\begin{array}{lcl}4c+3d&=&26\\4c+(3)(2)&=&26\\4c+6&=&26\\c&=&\frac{26-6}{4}\\c&=&5\end{array}

ดังนั้น

\[A=\begin{bmatrix}3&1\\5&2\end{bmatrix}\quad \underline{Ans}\]

37.  กำหนดให้  \(\begin{bmatrix}1&-1\\-\frac{3}{2}&2\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}1&2\\-1&1\end{bmatrix}\) แล้ว \(det[5(A^{-1}+B^{t})]\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ หา \(A^{-1}\) ก่อนครับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{(2)(1)-(-1)(-\frac{3}{2})}\begin{bmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\\&=&\frac{1}{2}\begin{bmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\end{array}

ต่อไปหา \(B^{t}\) 

\begin{array}{lcl}B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}A^{-1}+B^{t}&=&\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&-\frac{1}{2}\\\frac{11}{4}&\frac{3}{2}\end{bmatrix}\\so\\det(A^{-1}+B^{t})&=&(2)(\frac{3}{2})-(\frac{11}{4})(-\frac{1}{2})\\&=&3+\frac{11}{8}\\&=&\frac{35}{8}\end{array}

ต่อไปก็ไปหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}det[5(A^{-1}+B^{t})]&=&5^{2}det(A^{-1}+B^{t})\\&=&25\times \frac{35}{8}\\&=&\frac{875}{8}\\&=&109.375\end{array}

51.ในการสร้างเมทริกซ์ในรูป \(\begin{bmatrix}x^{2}&x-4\\-x&x-1\end{bmatrix}\) แบบสุ่ม โดยที่ \(x\in \{0,1,2,3,4\}\)  ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐานเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ทุกคนต้องรู้จักคำว่าเมทริกซ์เอกฐานก่อน ว่าคืออะไร

เมทริกซ์เอกฐานคือ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์ หรือก็คือ \(det(A)=0\) นั่นเอง  ดังนั้น ในการทำข้อนี้เราต้องหาค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้มีค่า det เท่ากับ \(0\) จึงได้ว่า 

\begin{array}{lcl}x^{2}(x-1)-(x-4)(-x)&=&0\\x^{3}-x^{2}-(-x^{2}+4x)&=&0\\x^{3}-x^{2}+x^{2}-4x&=&0\\x^{3}-4x&=&0\\x(x^{2}-4)&=&0\\so\\x=0\quad or\quad x^{2}=4\rightarrow x=2,-2\end{array}

จากเงื่อนไขในโจทย์ \(x\) ไม่เป็นจำนวนลบ ดังนั้น ค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์เอกฐานคือ \(x=0,2\) 

นั่นคือความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์เอกฐาน โดยที่ \(x\in\{0,1,2,3,4\}\) คือ \(\frac{2}{5}\quad\underline{Ans}\)