อย่างที่เราทราบกันดีนะคับว่า  \(a^{3}=a\times a\times a\)  ถ้าผมเอา \(a^{4}\) มาคูณเข้ากับ \(a^{3}\)ก็คือ \(a^{4}\times a^{3}\) เราก็จะได้ว่ามี \(a\) คูณกันอยู่ทั้งหมด 7 ตัว นั้นก็คือ \(a^{3}\times a^{4}=a^{(3+4)}=a^{7}\)  จึงได้สมบัติของการคูณเลขยกกำลังคือ

\[a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}\]

ต่อไปเราจะใช้สมบัติการคูณเลขยกำลังนี้ในการทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกฝนกันดูครับ

1. จงหาผลลัพธ์ต่อไปนี้ในรูปของเลขยกกำลัง

1) \(5^{6}\times 5^{7}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}5^{6}\times 5^{7}&=&5^{(6+7)}\\&=&5^{13}\end{array}

2) \(11^{5}\times 11^{9}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}11^{5}\times 11^{9}&=&11^{(5+9)}\\&=&11^{14}\end{array}

3) \((0.3)^{4}\times (0.3)^{8}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(0.3)^{4}\times (0.3)^{8}&=&(0.3)^{(4+8)}\\&=&(0.3)^{12}\end{array}

4)\((\frac{2}{3})^{11}\times (\frac{2}{3})^{12}\times (\frac{2}{3})^{13}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(\frac{2}{3})^{11}\times (\frac{2}{3})^{12}\times (\frac{2}{3})^{13}&=&(\frac{2}{3})^{(11+12+13)}\\&=&(\frac{2}{3})^{36}\end{array}

5)\(x^{2}y^{3}\times x^{4}y^{5}\times x^{6}y^{7}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}y^{3}\times x^{4}y^{5}\times x^{6}y^{7}&=&x^{(2+4+6)}y^{(3+5+7)}\\&=&x^{12}y^{15}\end{array}

6) \( a^{2m}\times a^{5m}\times a^{6m}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}a^{2m}\times a^{5m}\times a^{6m}&=&a^{(2m+5m+6m)}\\&=&a^{13m}\end{array}

7)\(a^{4n+3}\times a^{5n+2}\times a^{3n+4}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}a^{4n+3}\times a^{5n+2}\times a^{3n+4}&=&a^{(4n+5n+3n+3+2+4)}\\&=&a^{12n+9}\end{array}

41. ให้ \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}\)  จงหาค่าของ \(x^{2566}-47x^{2558}+x^{2550}\)

วิธีทำ ข้อนี้เรามาดูสิ่งที่โจทย์ให้หาก่อน จะเห็นว่าเลขชี้กำลัง พวก 2566 ,2550 มันสามารถเขียนในรูปของ 2558 ได้ ซึ่งก็คือ

\(2566=2558+8\)

\(2550=2558-8\)

ดังนั้นเราจัดรูปสิ่งที่โจทย์ให้หาก่อนครับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2566}-47x^{2558}+x^{2550}&=&x^{2558+8}-47x^{2558}+x^{2558-8}\\&=&x^{2558}x^{8}-47x^{2558}+x^{2558}x^{-8}\\&=&x^{2558}(x^{8}-47+x^{-8})\\&=&x^{2558}(x^{8}+\frac{1}{x^{8}}-47)\quad\cdots (1)\end{array}

ซึ่งจากสมการที่ \((1)\) เราจะเห็นตัวละครที่สำคัญในการทำต่อคือ \(x^{8}+\frac{1}{x^{8}}\) ซึ่งตัวนี้หาได้จากการที่เราเอา \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}\) มายกกำลังไปเรื่อยๆจนกว่าจะได้เลขชี้กำลังเป็น 8 คับ เราเริ่มจากการยกกำลังสองก่อนเลย

\begin{array}{lcl}x+\frac{1}{x}&=&\sqrt{5}\\(x+\frac{1}{x})^{2}&=&(\sqrt{5})^{2}\\x^{2}+2x\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}&=&5\\x^{2}+\frac{1}{x^{2}}&=&3\\(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}&=&(3)^{2}\\x^{4}+2x^{2}\frac{1}{x^{2}}+x^{4}&=&9\\x^{4}+\frac{1}{x^{4}}&=&7\\(x^{4}+\frac{1}{x^{4}})^{2}&=&(7)^{2}\\x^{8}+2x^{4}\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{8}}&=&49\\x^{8}+\frac{1}{x^{8}}&=&47\end{array}

จากด้านบนเราจะเห็นว่า \(x^{8}+\frac{1}{x^{8}}=47\) ถ้าเราเอาตรงนี้ไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) เราก็จะเห็นว่าเกิดการลบกันได้ 0 นั่นก็คือ\(47-47=0\) ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ \(0\) นั่นเองครับ