เฉลยแบบฝึกหัดจำนวนเชิงซ้อน

2. ให้ \(z\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ \(\bar{z}+i|z|=12+9i\) เมื่อ \(i^{2}=-1\) ส่วนจินตภาพของ \(z\) เท่ากับเท่าใด

1. \(-\frac{21}{2}\)
2. \(-\frac{7}{2}\)
3. \(-\frac{3}{2}\)
4. \(\frac{3}{2}\)
5. \(\frac{7}{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราต้องกำหนดให้ \(z=a+bi\) จะได้ \(\bar{z}=a-bi\quad ,|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

ต่อไปเราก็แก้สมการธรรมดาคับผมจะได้

\begin{array}{lcl}\bar{z}+|z|i&=&12-9i\\a-bi+(\sqrt{a^{2}+b^{2}})i&=&12+9i\\a+(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-b)i&=&12+9i\end{array}

ดังนั้น

\(a=12\) และ \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-b=9\)  ตอนนี้เรารู้ค่าของ \(a\) แล้ว เราก็หาค่าของ \(b\) ต่อเลยคับ ก็คือแก้สมการนี้ \(\sqrt{a^{2}+b^{2}})-b=9\) เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\sqrt{a^{2}+b^{2}} -b&=&9\\\sqrt{12^{2}+b^{2}} -b&=&9\\\sqrt{144+b^{2}}&=&9+b\\(\sqrt{144+b^{2}})^{2}&=&(9+b)^{2}\\144+b^{2}&=&81+18b+b^{2}\\\frac{144-81}{18}&=&b\\b&=&\frac{63}{18}\\b&=&\frac{7}{2}\end{array}

นั่นคือ ตอนนี้ \(a=12\quad b=\frac{7}{2}\) นั้นคือ จำนวนเชิงซ้อน \(z\) มีค่าเท่ากับ \(z=12+\frac{7}{2}i\) ดังนั้นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน \(z\) คือ \(\frac{7}{2}\)

3. ถ้าจำนวนเชิงซ้อน \(3-i\) เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ \(x^{2}+ax+b=0\) โดยที่ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด

1. 2
2. 4
3. 7
4. 8
5. 10

วิธีทำ  เนื่องจาก \(3-i\) เป็นคำตอบของสมการนี้ ดังนั้นเราจะได้อีกคำตอบหนึ่งของสมการนี้คือ \(3+i\) พูดง่ายๆก็คือ ถ้าเรามีจำนวนเชิงซ้อนเป็นคำตอบแล้ว คอนจูเกตของมันก็จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามนั้นด้วยคับ

ผมอยากให้ดูตรงนี้ก่อนคับ ถ้าเราต้องการแก้สมการ \(x^{2}+5x+6=0\) เราก็จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2}+5x+6&=&0\\(x+3)(x+2)&=&0\end{array}

นั่นคือคำตอบของสมการนี้คือ \(x=-3,\quad x=-2\)

ให้ทุกคนมองกลับด้านนะคับ ก็คือ ถ้าเรามีคำตอบของสมการคือ \(x=-3\) กับ \(x=-2\) เราจะได้ว่า คำตอบนี้มันมาจากสมการ \((x-(-3))(x-(-2))=(x+3)(x+2)=x^{2}+5x+6\)คับ ดังนั้นข้อนี้เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(x-(3-i))(x-(3+i))&=&x^{2}+ax+b\\x^{2}-(3-i)x-(3+i)x+(3-i)(3+i)&=&x^{2}+ax+b\\x^{2}+(-3+i-3-i)x+10&=&x^{2}+ax+b\\x^{2}-6x+10&=&x^{2}+ax+b\quad\cdots (1)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) เราใช้วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์เอาคับ เราจะได้ว่า

\(a=-6\) และ \(b=10\) ดังนั้น

\(a+b=-6+10=4\quad\underline{Ans}\)

4. ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริง และ \((x+2i)(1+i)-(3-i)=3+yi-xi\) แล้วจงหาค่า ของ \(x\) และ \(y\)

วิธีทำ ข้อนี้เราต้องจัดสมการก่อนนะคับผม ก็คือจัดส่วนจริง กับ ส่วนจินตภาพ แยกกันออกมาคับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(x+2i)(1+i)-(3-i)&=&3+yi-xi\\x+xi+2i+2i^{2}-(3-i)&=&3+yi-xi\\x+xi+2i-2-3+i&=&3+yi-xi\\x-5+xi+3i&=&3+yi-xi\\(x-5)+(x+3)i&=&3+(y-x)i\quad\cdots (1)\end{array}

จะเห็นว่าสมการที่ \((1)\) เราแยกส่วนจริงกับส่วนจินตภาพออกมาเป็นส่วนๆแล้ว นะคับ ดังนั้นเราจะได้ว่า

\(x-5=3\) และ \(x+3=y-x\)

จากที่ \(x-5=3\) จะได้ \(x=8\)  ต่อไปเรานำ \(x=8\) ไปแทนในนี้ \(x+3=y-x\) จะได้

\begin{array}{lcl}x+3&=&y-x\\8+3&=&y-8\\11&=&y-8\\y&=&11+8\\y&=&19\end{array}

ดังนั้น \(x=8\) และ \(y=19\)

5. จงหาค่า \(a\) และ \(b\) ที่ทำให้สมการนี้ \((a+i)^{2}=8+bi\) เป็นจริง

วิธีทำ ข้อนี้จัดสมการก่อนเหมือนเดิมคับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(a+i)^{2}&=&8+bi\\a^{2}+2ai+i^{2}&=&8+bi\\a^{2}+2ai-1&=&8+bi\\a^{2}-1+2ai&=&8+bi\end{array}

ดังนั้น

\(a^{2}-1=8\)  และ \(2a=b\) ต่อไปก็แก้สมการเพื่อหาค่าของ \(a,b\) เลยคับ

เริ่มแก้สมการเลยคับ

\begin{array}{lcl}a^{2}-1&=&8\\a^{2}&=&8+1\\a^{2}&=&9\\a&=&\pm 3\end{array}

ต่อไปหาค่า \(b\) บ้างคับ

ถ้า \(a=3\) จะได้

\begin{array}{lcl}2a&=b\\2(3)&=&b\\b&=&6\end{array}

ถ้า \(a=-3\) จะได้

\begin{array}{lcl}2a&=&b\\2(-3)&=&b\\b&=&-6\end{array}

ดังนั้นคำตอบจะมี 2 ชุดคือ

\(a=3,b=6\)

\(a=-3,b=-6\)

6. ถ้า \((1+bi)^{3}=-107+ki \) เมื่อ \(b,k\) เป็นจำนวนจริงและ \(i=\sqrt{-1}\) แล้วค่าของ \(|k|\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 ต.ค.53/48)

วิธีทำ ข้อนี้ก็ต้องจัดรูปโดยการเอา \((1+bi)\) มายกกำลังสามก่อนคับ เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl} (1+bi)^{3}&=&-107+ki\\(1+bi)(1+bi)(1+bi)&=&-107+ki\\(1-b^{2}+2bi)(1+bi)&=&-107+ki\\1+bi-b^{2}-b^{3}i+2bi+2b^{2}i^{2}&=&-107+ki\\1-b^{2}-2b^{2}+(b-b^{3}-2b)i&=&-107+ki\quad\cdots (1)\end{array}
จากสมการที่ \((1)\) เราจะได้ว่า

\(1-b^{2}-2b^{2}=-107\quad\cdots (3)\)  และ

\(b-b^{3}+2b=k\quad\cdots (4)\)

เรามาแก้สมการที่ \((3)\) ก่อนเพื่อหาค่าของ \(b\) จะได้

\begin{array}{lcl}1-b^{2}-2b^{2}&=&-107\\1-b^{2}&=&-107\\3b^{2}-1&=&107\\b^{2}&=&\frac{108}{3}\\b^{2}&=&36\\b&=&\pm 6\end{array}

ตอนไปแทน \(b=6\) ในสมการที่ \((4)\) จะได้

\begin{array}{lcl}b-b^{3}+2b&=&k\\-b^{3}+3b&=&k\\b^{3}-3b&=&k\\(6)^{3}-3(6)&=&k\\216-18&=&k\\k&=&198\\so\\|k|&=&198\end{array}

แทน \(b=-6\) บ้างจะได้

\begin{array}{lcl}(-6)^{3}-3(-6)&=&k\\-216+18&=&k\\k&=&-198\\so\\|k|&=&|-198|\\k&=&198\end{array}

ข้อนี้ \(|k|=198\underline{Ans}\)

7. กำหนดให้ \(z^{-1}=3-2i\) จงหาค่าของ \(\bar{z}\)

วิธีทำ  ข้อนี้เป็นแบบฝึกหัดตามห้องเรียนทั่วไป ทำไปเรื่อยๆ ไม่ต้องไปคิดเยอะคับ

\begin{array}{lcl}z^{-1}&=&3-2i\\\frac{1}{z}&=&3-2i\\z&=&\frac{1}{3-2i}\\z&=&\frac{1\times (3+2i)}{(3-2i)\times (3+2i)}\\z&=&\frac{3+2i}{3^{2}+2^{2}}\\z&=&\frac{3+2i}{9+4}\\z&=&\frac{3+2i}{13}\end{array}

เนื่องจาก \(z=\frac{3}{13}+\frac{2}{13}i\) ดังนั้น \(\bar{z}=\frac{3}{13}-\frac{2}{13}i\)