วันนี้เราจะมาพูดถึงวงรีครับ ซึ่งภาษาอังกฤษก็คือ Ellipse วิธีการวาดวงรีจะมีวิธีการวาดง่ายๆดังนี้ ดูรูปประกอบด้านล่างนะครับ
เอาตะปูสองตัวไปตีลงบนกระดาษก่อนแล้วเอาเชือกมาหนึ่งเส้นซึ่งความยาวของเชือกนั้นต้องยาวมากกว่าระยะห่างของตะปู เอาเชือกนั้นผูกไว้กับตะปูทั้งสองดังรูปครับ
ต่อไปก็ดึงเชือกสีแดงไปผูกติดกับจุด C แล้วลากจุด C นี้รอบตะปูตอนลากนี้เชือกต้องตึงนะครับ ก็จะได้วงรีออกมาครับคิดตามด้วยนะ ดังรูป
ซึ่งจากรูปเราจะเห็นว่า AC+CB=k เมื่อ k คือค่าคงที่ค่าหนึ่ง
นี่คือการวาดวงรีครับ วาดแบบนี้แหละ น่าจะพอเข้าใจนะ ต่อไปเราก็มาดูนิยามของวงรีในเชิงเรขาคณิตบ้างครับ
บทนิยาม
วงรีคือเซต ของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งผลบวกของระยะทาง จากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงที่สองจุด บนระนาบมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสองจุดครับ
ส่วนประกอบของวงรี
กำหนดให้ \(F\) และ \(F^{\prime}\) เป็นจุดโฟกัสของวงรี ดังรูป
1. เรียก จุด \(F\) และ \(F^{\prime}\) ว่าจุดโฟกัสของวงรี
2. จุด O เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างโฟกัสทั้งสอง เรียกว่า จุดศูนย์กลางของวงรี
3. จุด \(V\) และ \(V^{\prime}\) เรียนกว่าจุดยอดของวงรี
4. ส่วนของเส้นตรง \(VV^{\prime}\) เรียกว่าแกนเอกของวงรี สังเกตนะครับแกนเอกจะลากผ่านจุดยอดทั้ง 2 จุด
5. \(BB^{\prime}\) คือส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนเอกที่จุดศูนย์กลาง เรียกแกนนี้ว่า แกนโทของวงรี
6. ส่วนของเส้นตรง \(AA^{\prime}\) เป็นส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนเอกที่จุดโฟกัส และมีจุดปลายทั้งสองอยู่บนด้านวงรี เรียกเส้นนี้ว่า เลตัสเรกตัมของวงรี
เมื่อเรารู้จักส่วนประกอบต่างๆหลักของวงรีแล้วต่อไปเราก็มาลงเจาะลึกกันครับ ถ้าเราสังเกตุดูดีๆเราจะเห็นว่า เราสามารถแบ่งวงรี ได้ 2 แบบคือ
1. วงรีตามแนวแกน X ก็คือแกนเอกของวงรีจะอยู่บนแกน X หรือขนานกับแกน X
2. วงรีตามแนวแกน Y ก็คือแกนเอกของวงรีจะอยู่บนแกน Y หรือขนานกับแกน Y
ต่อไปเรามาดูสมการของวงรีบ้างดีกว่าครับ
1. สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0,0) และแกนเอกอยู่บนแกน X
ดูรูปประกอบครับ
จะมีสมการเป็น
\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad , a>b>0\]
เรียก \((a,0)\) และ \((-a,0)\) ว่าจุดยอดของวงรี
เรียก \((c,0)\) และ \((-c,0)\) ว่าจุดโฟกัสของวงรี
แกนเอกอยู่บนแกน X มีความยาวเท่ากับ \(|2a|\)
แกนโทอยู่บนแกน Y มีความยาวเท่ากับ \(|2b|\)
และจะได้ความสัมพันธ์ที่สำคัญของวงรี คือ \(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)
2. สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0,0) และแกนเอกอยู่บนแกน Y
จะมีสมการเป็น
\[\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 \quad , a>b>0\]
เรียก \((a,0)\) และ \((-a,0)\) ว่าจุดยอดของวงรี
เรียก \((c,0)\) และ \((-c,0)\) ว่าจุดโฟกัสของวงรี
แกนเอกอยู่บนแกน X มีความยาวเท่ากับ \(2a\)
แกนโทอยู่บนแกน Y มีความยาวเท่ากับ \(2b\)
และจะได้ความสัมพันธ์ที่สำคัญของวงรี คือ \(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)
ข้อสังเกต
ถ้าเป็นวงรีตามแนวแกน X ค่าของ \(a^{2}\) จะเป็นตัวส่วนของ \(x^{2}\)
ถ้าเป็นวงรีตามแนวแกน Y ค่าของ \(a^{2}\) จะเป็นตัวส่วนของ \(y^{2}\)
อีกอันหนึ่งที่เราควรรู้จักคือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ของวงรี แทนด้วยตัว e มันคืออัตราส่วนของ c ต่อ \(a\) เมื่อ \(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\) หรือ พูดง่ายๆ ก็คือ \(e=\frac{c}{a}\)
มาดูตัวอย่างกันเลยครับค่อยๆทำโจทย์ บอกได้เลยว่าต้องจำสูตรครับ จริงๆคณิตศาสตร์สอนให้เราเข้าใจมากกว่าจำนะแต่บางครั้งสถานการณ์มันบังคับเพราะว่าโจทย์ที่เขาออกสอบคือถ้าไม่จำสูตรเข้าไปก็ทำไม่ได้แน่นอน เอาเป็นว่าเอาตัวให้รอดจากข้อสอบก่อนแล้วกันครับ
แบบฝึกหัด
1. วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1\) จงหาโฟกัส จุดยอด ความยาวของแกนเอกและความยาวแกนโท
วิธีทำ ความจริงแล้วถ้าเราจำสมการวงรีได้ก็ไม่ยากครับ คือเอาสมการมาเทียบกันเลยครับ
จากที่เรารู้ว่า \(a>b>0\) ดังนั้นเราถ้าเราดูคร่าวๆเราจะได้ว่า
\(a^{2}=16 \quad ,a=4\)
\(b^{2}=4 \quad , b=2\)
ดังวงรีนี้เป็นวงที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและเป็นวงรีตามแนวแกน X เพราะ \(a^{2}\) เป็นตัวส่วนของ \(x^{2}\) เราจึงได้ว่า
จุดยอดคือ \((a,0)\) และ \(-a,0\) ซึ่ง \(a\) เราหาไว้แล้วนะ จึงได้ว่าจุดยอดคือ \((4,0)\) และ \((-4,0)\)
ต่อไปก็หาก็หาจุดโฟกัส ในการหาจุดโฟกัสจำเป็นต้องรู้ \(c\) เราสามารถหา c ได้จากความสัมพันธ์นี้ครับ
\begin{array}{lcl}c^{2}&=&a^{2}-b^{2}\\c&=&\sqrt{a^{2}-b^{2}}\\c&=&\sqrt{16-4}\\c&=&\sqrt{12}\end{array}
ดังจุดโฟกัสคือ \((\sqrt{12,0})\) และ \((-\sqrt{12},0)\)
ความยาวแกนเอกคือ \(2a=2(4)=8\) หน่วย
ความยาวแกนโทคือ \(2b=2(2)=4\) หน่วย
2. จงหาจุดยอด โฟกัส ความเยื้องศูนย์กลาง ความยาวของแกนเอกและแกนโท ของวงรีแล้วเขียนกราฟ
1) \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1\)
วิธีทำ เนื่องจาก \(a>b>0\) รู้เลยว่า
\(a^{2}=25\quad ,a=5\)
\(b^{2}=9 \quad ,b=3\)
เนื่องจาก \(a^{2}\) เป็นตัวส่วนของ \(y^{2}\) ดังนั้นข้อนี้เป็นวงรีตามแนวแกน Y และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0)
หาจุดยอดเลย จุดยอดคือ
\((0,a)\) และ \((0,-a)\) นั่นก็คือ \((0,5)\) และ \((0,-5)\) นั่นเอง
ต่อไปหาจุดโฟกัส การที่เราจะจุดโฟกัสได้เราจำเป็นต้องรู้จุด c ซึ่ง
\begin{array}{lcl}c&=&\sqrt{a^{2}-b^{2}}\\c&=&\sqrt{25-9}\\c&=&\sqrt{16}\\c&=&4\end{array}
นั่นคือ จุดโฟกัสคือ
\((0,c)\) และ \((0,-c)\) นั่นก็คือ \((0,4)\) และ \((0,-4)\) นั่นเองครับ
ความยาวแกนเอกเท่ากับ \(2a=2(5)=10\) หน่วย
ความยาวแกนโทเท่ากับ \(2b=2(3)=6\) หน่วย
ความเยื้องศูนย์กลาง คือ
\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)
3) \(9x^{2}+4y^{2}=36\)
วิธีทำ ข้อนีต้องจัดสมการก่อนครับ จัดให้เป็นสมการวงรีให้ได้ คือต้องกำจัดส้มประสิทธ์หน้า \(x^{2}\) กับหน้า \(y^{2}\) นั่นก็คือต้องเอา \(\frac{1}{36}\) คูณเข้า ตัวเลข 36 ก็คือ ค.ร.น. ของ 9 และ 4 นั่นเองครับ เริ่มทำเลขครับ
\begin{array}{lcl}9x^{2}+4y^{2}&=&36\\\frac{1}{36}\left(9x^{2}+4y^{2}\right)&=&\frac{1}{36}\times 36\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}&=&1\end{array}
จะเห็นสมการนี้เป็นสมการวงรีตามแนวแกน Y นั่นเองครับ
\(a^{2}=9 \quad ,a=3\)
\(b^{2}=4 \quad ,b=2\)
เนื่องจาก
\begin{array}{lcl}c&=&\sqrt{a^{2}-b^{2}}\\c&=&\sqrt{9-4}\\c&=&\sqrt{5}\end{array}
เราจะได้ว่า
จุดยอดคือ \((0,3)\) และ \((0,-3)\)
จุดโฟกัสคือ \((0,\sqrt{5})\) และ \((0,-\sqrt{5})\)
ความเยื้องศูนย์กลาง \(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
ความยาวแกนเอกเท่ากับ \(2a=2(3)=6\) หน่วย
ความยาวแกนโทเท่ากับ \(2b=2(2)=4\) หน่วย
ที่กล่าวไปข้างต้นเป็นวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดครับ ต่อไปเราก็มาดูว่าถ้ามันมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(h,k) ใดๆจะมีสมการวงรีเป็นอย่างไร
สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด(h,k)ใดๆ
1. สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด(h,k)ใดๆและแกนเอกอยู่ในแนวนอนจะมีสมการเป็น
\[\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,\quad a>b\]
แกนเอกอยู่บนแกนนอนนะครับ จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h,k) ดูรูปประกอบครับ
สามารถหาจุดยอดได้คือ
\((h-a,k)\quad ,(h+a,k)\)
สามารถหาจุดโฟกัสได้คือ
\((h-c,k)\quad,(h+c,k) \quad \quad ; c^{2}=a^{2}-b^{2}\)
แกนเอกยาว \(2a\)
แกนโทยาว \(2b\)
2. สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด(h,k)ใดๆและแกนเอกอยู่ในแนวตั้งจะมีสมการเป็น
\[\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1,\quad a>b\]
ดูรูปประกอบนะครับ
สามารถหาจุดยอดได้คือ
สามารถหาจุดโฟกัสได้คือ
\((h,k-c)\quad,(h,k+c) \quad \quad ;\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\)
แกนเอกยาว \(2a\)
แกนโทยาว \(2b\)\((h,k-a)\quad ,(h,k+a)\)
เราลองมาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับวงรีที่จุดยอดอยู่ที่จุด(h,k) ใดๆดีกว่าครับ
แบบฝึกหัด
1. จงหาจุดศูนย์กลาง โฟกัสและ จุดยอดของวงรีและหาความยาวของแกนเอกและแกนโทแล้วเขียนกราฟ
1) \(\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1\)
วิธีทำ จะเห็นว่า เนื่องจากเรารู้ว่า \(a>b\) ดังนั้น
\(a^{2}=9 \quad ,\quad b^{2}=4\) นั่นคือ
\(a=3\quad ,b=2\) เนื่องจาก เอกำลังสองเป็นส่วนของ ตัวแปร y ดังนั้นวงรีนี้เป็นวงรีตามแกนตั้ง ดังนั้นถ้าเทียบกับสมการมาตรฐานของวงรีตามแนวแกนตั้งคือ
\[\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1,\quad a>b\]
เราจะได้ว่า
\(h=1,k=2\) นั่นคือวงรีนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (1,2)
จุดยอดของวงรีตามแนวแกนตั้งคือ
\((h,k-a)\quad ,(h,k+a)\)
\((1,2-3)\quad,(1,2+3)\)
นั่นคือจุดยอดของวงรีคือ \((1,-1)\) และ \((1,5)\)
จุดโฟกัสของวังรีตามแนวแกนตั้งคือ
\((h,k-c)\quad,(h,k+c)\)
การหาค่า \(c\) ก็หาได้จากความสัมพันธ์เดิมคือ \(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)
นั่นคือ
\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)
\(c=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}\)
นั่นคือจุดโฟกัสของวงรีคือ
\((1,2-\sqrt{5})\) และ \(1,2+\sqrt{5}\)
ความยาวแกนเอกคือ \(2a=2(3)=6\) หน่วย
ความยาวแกนโทคือ \(2b=2(2)=4\) หน่วย
2) \(\frac{y^{2}}{9}+\frac{(x+5)^{2}}{25}=1\)
วิธีทำ ทำคล้ายๆกับข้อที่ 1 ครับ ข้อนี้
\(a^{2}=25\quad , b^{2}=9\) ดังนั้น
\(a=5\quad , b=3\)
แน่นอนข้อนี้เป็นวงรีตามแนวนอน ลองเทียบกับสมการมาตรฐานมันดูครับก็คือ
\[\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,\quad a>b\]
เราจะได้
\(h=-5 \quad ,k=0\)
นั่นคือวงรีนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-5,0)
จุดยอดวงรีตามแนวแกนนอนคือ
\((h-a,k)\quad ,(h+a,k)\)
\((-5-5,0)\) และ \((-5+5,0)\)
นั่นคือจุดยอดวงรีคือ \((-10,0)\) และ \((0,0)\) ครับ
จุดโฟกัสวงรีตามแนวแกนนอนคือ
ต้องหาค่า \(c\) เหมือนเดิมครับ
\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)
\(c=\sqrt{25-9}\)
\(c=\sqrt{16}\)
\(c=4\)
สามารถหาจุดโฟกัสได้คือ
\((h-c,k)\quad,(h+c,k)\)
\((-5-4,0)\quad ,(-5+4,0)\)
นั่นคือจุดโฟกัสคือ
\((-9,0)\) และ \((-1,0)\)
ความยาวแกนเอกคือ \(2a=2(5)=10\) หน่วย
ความยาวแกนโทคือ \(2b=2(3)=6\) หน่วย
มาทำแบบฝึกหัดต่อกันครับพอดีมีคนถามมาเยอะเกี่ยวกับการทำแบบฝึกหัดวงรีหนังสือ สสวท. ผมจะทำให้ดูแค่บางส่วนสำหรับผู้ที่ทำไม่ได้และไม่มีเงินไปเรียนพิเศษนะครับ เพื่อเป็นการทบทวนความรู้พยายามอ่านทำความเข้าใจนะครับอย่าลอกอย่างเดียว
1. จงหาจุดยอด โฟกัส ความเยื้องศูนย์กลาง ความยาวของแกนเอกและแกนโท ของวงรีแล้วเขียนกราฟ
(1)\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1\)
วิธีทำ จากสมการวงรี \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1\) ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) และมี \(a^{2}=25,b^{2}=9\) ดังนั้น \(C^{2}=25-9=16\) จะได้ \(a=5,b=3\) และ \(c=4\)
จุดยอดของวงรีคือ \((0,\pm5)\) โฟกัสของวงรีคือ \((0,\pm4)\)
ความเยื้องศูนย์กลางคือ \(\frac{4}{5}\) แกนเอกยาว 10 หน่วย
แกนโทยาว 6 หน่วย เขียนกราฟได้ดังนี้
(2) \( \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
วิธีทำ จากสมการวงรี \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\) ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยู่บนแกน \(X\) และมี \(a^{2}=25,b^{2}=16\) ดังนั้น
\(c^{2}=25-16=9\) จะได้ \(a=5,b=4\) และ \(c=3\)
จุดยอดของวงรีคือ \((\pm5,0)\) โฟกัสของวงรีคือ \((\pm3,0)\)
ความเยื้องศูนย์กลางคือ \(\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\) แกนเอกยาว 10 หน่วย
แกนโทยาว 8 หน่วย เขียนกราฟได้ดังนี้
(3)\(9x^{2}+4y^{2}=36\)
วิธีทำ ข้อนี้จัดสมการก่อนครับเพื่อให้รู้ว่าเป็นวงรีแบบไหนครับ
\begin{array}{lcl}9x^{2}+4y^{2}&=&36\\\frac{1}{36}(9x^{2}+4y^{2})&=&\frac{1}{36}\times 36\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}&=&1\end{array}
จากสมการที่ได้สุดท้ายคือ \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\) แสดงว่าวงรีนี้มีแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) ที่มี \(a^{2}=9\) และ \(b^{2}=4\)
ดังนั้น \(c^{2}=9-4=5\) จะได้ \(a=3,b=2\) และ \(c=\sqrt{5}\)
จุดยอดของวงรีคือ \((0,\pm 3)\) โฟกัสของวงรีคือ \((0,\pm\sqrt{5})\)
ความเยื้องศูนย์กลางคือ \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\) แกนเอกยาว 6 หน่วย
แกนโทยาว 4 หน่วย เขียนกราฟได้ดังนี้
(4) \(y^{2}=1-2x^{2}\)
วิธีทำ จัดสมการก่อนครับจะได้
\begin{array}{lcl}y^{2}&=&1-2x^{2}\\y^{2}+2x^{2}&=&1\\\frac{y^{2}}{1}+\frac{x^{2}}{\frac{1}{2}}&=&1\end{array}
จากสมการจะเห็นว่าเป็นวงรีมีแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) ที่มี \(a^{2}=1\) และ \(b^{2}=\frac{1}{2}\)
ดังนั้น \(c^{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) จะได้ \(a=1,b=\frac{1}{\sqrt{2}}\) และ \(c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
จุดยอดของวงรีคือ \((0,\pm 1)\) โฟกัสของวงรีคือ \((0,\pm\frac{\sqrt{2}}{2})\)
ความเยื้องศูนย์กลางคือ \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) แกนเอกยาว 2 หน่วยและแกนโทยาว \(\sqrt{2}\) หน่วย เขียนกราฟได้ดังนี้
2. จงหาสมการของวงรีที่มีกราฟดังแสดงในแต่ละข้อ
1)
วิธีทำ จากกราฟจะเห็นว่าแกนเอกอยู่บนแกน \(X\) จะได้ \(a=5,b=4\) ดังนั้นสมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)
2)
วิธีทำ จากกราฟจะเห็นว่าแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) และจากกราฟจะเห็นว่า \(b=2,c=2\) จะได้ \(a^{2}=b^{2}+c^{2}=4+4=8\)
ดังนั้นสมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}=1\)
3. จงหาสมการของวงรีที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนดให้
1) โฟกัส \((-4,0),(4,0)\) จุดยอด \((-5,0),(5,0)\)
วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(c=4,a=5\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(X\)
จะได้ \(b^{2}=a^{2}-c^{2}=25-16=9\)
ดังนั้น สมการวงรีที่ต้องการคือ \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
2) แกนเอกยาว 4 หน่วย แกนโทยาว 2 หน่วย โฟกัสอยู่บนแกน \(Y\)
วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(a=2,b=1\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\)
ดังนั้น สมการวงรีที่ต้องการคือ \(\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1\)
3) โฟกัส \((0,-2),(0,2)\) แกนโทยาว 6 หน่วย
วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(c=2,b=3\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\)
จะได้ \(a^{2}=b^{2}+c^{2}=9+4=13\)
ดังนั้น สมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{13}=1\)
4) จุดปลายแกนเอก \((-10,0),(10,0)\) ระยะห่างระหว่างโฟกัสเท่ากับ 6 หน่วย
วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(a=10,c=3\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(X\)
จะได้ \(b^{2}=a^{2}-c^{2}=100-9=91\)
ดังนั้น สมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{91}=1\)
5) จุดปลายแกนโท \((0,-3),(0,3)\) ระยะห่างระหว่างโฟกัสเท่ากับ 8 หน่วย
วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(b=3,c=4\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(X\)
จะได้ \(a^{2}=b^{2}+c^{2}=9+16=25\)
ดังนั้น สมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
6) แกนเอกยาว 10 หน่วย โฟกัสอยู่บนแกน \(X\) วงรีผ่านจุด \((\sqrt{5},2)\)
วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(a=5,(x,y)=(\sqrt{5},2)\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(X\)
แทนค่า \(x,y\) และ \(a\) ในสมการมาตรฐานด้วย \(\sqrt{5},2\) และ \(5\) ตามลำดับ จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{(\sqrt{5})^{2}}{25}+\frac{(2)^{2}}{b^{2}}&=&1\\\frac{4}{b^{2}}&=&1-\frac{5}{25}&=&\frac{4}{5}\\b^{2}&=&5\end{array}
ดังนั้นสมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{5}=1\)
7) ความเยื้องศูนย์กลาง \(\frac{1}{9}\) โฟกัส \((0,-2),(0,2)\)
วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(\frac{c}{a}=\frac{1}{9},c=2\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\)
เนื่องจาก \(\frac{2}{a}=\frac{1}{9}\)
จะได้ \(a=18\) ดังนั้น \(b^{2}=a^{2}-c^{2}=324-4=320\)
ดังนั้น สมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{320}+\frac{y^{2}}{324}=1\)
8) ความยเยื้องศูนย์กลาง \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) โฟกัสอยู่บนแกน \(Y\) แกนเอกยาว 4 หน่วย
วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},a=2\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) ดังนั้น \(\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) จะได้ \(c=\sqrt{3}\) ดังนั้น \(b^{2}=a^{2}-c^{2}=4-3=1\)
ดังนั้น สมการวงรีที่ต้องการคือ \(\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1\)
สนับสนุนเว็บไซต์