วงรี

บทนิยาม

 วงรีคือเซต ของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งผลบวกของระยะทาง จากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุดคงที่สองจุด บนระนาบมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ทั้งสองจุดครับ

ส่วนประกอบของวงรี

กำหนดให้ \(F\)  และ  \(F^{\prime}\)  เป็นจุดโฟกัสของวงรี  ดังรูป

1. เรียก จุด \(F\) และ \(F^{\prime}\)  ว่าจุดโฟกัสของวงรี

2. จุด O เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างโฟกัสทั้งสอง เรียกว่า จุดศูนย์กลางของวงรี

3. จุด \(V\)  และ \(V^{\prime}\)  เรียนกว่าจุดยอดของวงรี

4. ส่วนของเส้นตรง \(VV^{\prime}\)  เรียกว่าแกนเอกของวงรีสังเกตนะครับแกนเอกจะลากผ่านจุดยอดทั้ง 2 จุด

5. \(BB^{\prime}\) คือส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนเอกที่จุดศูนย์กลาง เรียกแกนนี้ว่า แกนโทของวงรี

6. ส่วนของเส้นตรง  \(AA^{\prime}\) เป็นส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนเอกที่จุดโฟกัส และมีจุดปลายทั้งสองอยู่บนด้านวงรี เรียกเส้นนี้ว่า เลตัสเรกตัมของวงรี

เมื่อเรารู้จักส่วนประกอบต่างๆหลักของวงรีแล้วต่อไปเราก็มาลงเจาะลึกกันครับ ถ้าเราสังเกตุดูดีๆเราจะเห็นว่า เราสามารถแบ่งวงรี ได้ 2 แบบคือ

1. วงรีตามแนวแกน X  ก็คือแกนเอกของวงรีจะอยู่บนแกน X หรือขนานกับแกน X  

2. วงรีตามแนวแกน Y  ก็คือแกนเอกของวงรีจะอยู่บนแกน Y หรือขนานกับแกน Y  

ต่อไปเรามาดูสมการของวงรีบ้างดีกว่าครับ

1.  สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0,0) และแกนเอกอยู่บนแกน X  

ดูรูปประกอบครับ

จะมีสมการเป็น

\[\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad  , a>b>0\]

เรียก  \((a,0)\)  และ  \((-a,0)\)  ว่าจุดยอดของวงรี

เรียก  \((c,0)\)  และ \((-c,0)\)   ว่าจุดโฟกัสของวงรี

แกนเอกอยู่บนแกน X  มีความยาวเท่ากับ \(|2a|\)

แกนโทอยู่บนแกน Y  มีความยาวเท่ากับ \(|2b|\)

และจะได้ความสัมพันธ์ที่สำคัญของวงรี คือ  \(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)

2.  สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0,0) และแกนเอกอยู่บนแกน Y

จะมีสมการเป็น

\[\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1 \quad  , a>b>0\]

เรียก  \((a,0)\)  และ  \((-a,0)\)  ว่าจุดยอดของวงรี

เรียก  \((c,0)\)  และ \((-c,0)\)   ว่าจุดโฟกัสของวงรี

แกนเอกอยู่บนแกน X  มีความยาวเท่ากับ \(2a\)

แกนโทอยู่บนแกน Y  มีความยาวเท่ากับ \(2b\)

และจะได้ความสัมพันธ์ที่สำคัญของวงรี คือ  \(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)

ข้อสังเกต

ถ้าเป็นวงรีตามแนวแกน X   ค่าของ \(a^{2}\)  จะเป็นตัวส่วนของ \(x^{2}\)

ถ้าเป็นวงรีตามแนวแกน Y  ค่าของ  \(a^{2}\)  จะเป็นตัวส่วนของ  \(y^{2}\)

อีกอันหนึ่งที่เราควรรู้จักคือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ของวงรี แทนด้วยตัว  e  มันคืออัตราส่วนของ c ต่อ \(a\)   เมื่อ \(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)  หรือ พูดง่ายๆ ก็คือ  \(e=\frac{c}{a}\)

มาดูตัวอย่างกันเลยครับค่อยๆทำโจทย์ บอกได้เลยว่าต้องจำสูตรครับ จริงๆคณิตศาสตร์สอนให้เราเข้าใจมากกว่าจำนะแต่บางครั้งสถานการณ์มันบังคับเพราะว่าโจทย์ที่เขาออกสอบคือถ้าไม่จำสูตรเข้าไปก็ทำไม่ได้แน่นอน เอาเป็นว่าเอาตัวให้รอดจากข้อสอบก่อนแล้วกันครับ

แบบฝึกหัด

1. วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น \(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1\)  จงหาโฟกัส จุดยอด ความยาวของแกนเอกและความยาวแกนโท 

วิธีทำ  ความจริงแล้วถ้าเราจำสมการวงรีได้ก็ไม่ยากครับ คือเอาสมการมาเทียบกันเลยครับ

จากที่เรารู้ว่า  \(a>b>0\)  ดังนั้นเราถ้าเราดูคร่าวๆเราจะได้ว่า

\(a^{2}=16 \quad ,a=4\)  

\(b^{2}=4 \quad , b=2\)  

ดังวงรีนี้เป็นวงที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและเป็นวงรีตามแนวแกน X  เพราะ \(a^{2}\)  เป็นตัวส่วนของ \(x^{2}\) เราจึงได้ว่า

จุดยอดคือ \((a,0)\) และ  \(-a,0\)  ซึ่ง \(a\) เราหาไว้แล้วนะ จึงได้ว่าจุดยอดคือ \((4,0)\)  และ \((-4,0)\)

ต่อไปก็หาก็หาจุดโฟกัส  ในการหาจุดโฟกัสจำเป็นต้องรู้  \(c\) เราสามารถหา c ได้จากความสัมพันธ์นี้ครับ

\begin{array}{lcl}c^{2}&=&a^{2}-b^{2}\\c&=&\sqrt{a^{2}-b^{2}}\\c&=&\sqrt{16-4}\\c&=&\sqrt{12}\end{array}

ดังจุดโฟกัสคือ  \((\sqrt{12,0})\)  และ  \((-\sqrt{12},0)\)

ความยาวแกนเอกคือ \(2a=2(4)=8\)  หน่วย

ความยาวแกนโทคือ \(2b=2(2)=4\)  หน่วย

2. จงหาจุดยอด  โฟกัส  ความเยื้องศูนย์กลาง  ความยาวของแกนเอกและแกนโท ของวงรีแล้วเขียนกราฟ

1)  \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1\)

วิธีทำ  เนื่องจาก \(a>b>0\)  รู้เลยว่า

\(a^{2}=25\quad ,a=5\)

\(b^{2}=9 \quad ,b=3\)

เนื่องจาก \(a^{2}\) เป็นตัวส่วนของ \(y^{2}\) ดังนั้นข้อนี้เป็นวงรีตามแนวแกน Y  และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0)

หาจุดยอดเลย  จุดยอดคือ

\((0,a)\)  และ  \((0,-a)\) นั่นก็คือ \((0,5)\)  และ \((0,-5)\)  นั่นเอง

ต่อไปหาจุดโฟกัส  การที่เราจะจุดโฟกัสได้เราจำเป็นต้องรู้จุด c  ซึ่ง

\begin{array}{lcl}c&=&\sqrt{a^{2}-b^{2}}\\c&=&\sqrt{25-9}\\c&=&\sqrt{16}\\c&=&4\end{array}

นั่นคือ จุดโฟกัสคือ

\((0,c)\)  และ \((0,-c)\)  นั่นก็คือ \((0,4)\)  และ \((0,-4)\)  นั่นเองครับ

ความยาวแกนเอกเท่ากับ \(2a=2(5)=10\)  หน่วย

ความยาวแกนโทเท่ากับ \(2b=2(3)=6\)  หน่วย

ความเยื้องศูนย์กลาง คือ

\(e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\)

3)  \(9x^{2}+4y^{2}=36\)

วิธีทำ  ข้อนีต้องจัดสมการก่อนครับ จัดให้เป็นสมการวงรีให้ได้ คือต้องกำจัดส้มประสิทธ์หน้า \(x^{2}\)  กับหน้า \(y^{2}\)  นั่นก็คือต้องเอา \(\frac{1}{36}\)  คูณเข้า  ตัวเลข 36 ก็คือ ค.ร.น.  ของ 9 และ 4  นั่นเองครับ  เริ่มทำเลขครับ

\begin{array}{lcl}9x^{2}+4y^{2}&=&36\\\frac{1}{36}\left(9x^{2}+4y^{2}\right)&=&\frac{1}{36}\times 36\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}&=&1\end{array}

จะเห็นสมการนี้เป็นสมการวงรีตามแนวแกน Y นั่นเองครับ

\(a^{2}=9 \quad ,a=3\)

\(b^{2}=4 \quad ,b=2\)

เนื่องจาก

\begin{array}{lcl}c&=&\sqrt{a^{2}-b^{2}}\\c&=&\sqrt{9-4}\\c&=&\sqrt{5}\end{array}

เราจะได้ว่า

จุดยอดคือ \((0,3)\)  และ  \((0,-3)\)

จุดโฟกัสคือ  \((0,\sqrt{5})\) และ  \((0,-\sqrt{5})\)

ความเยื้องศูนย์กลาง  \(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)

ความยาวแกนเอกเท่ากับ \(2a=2(3)=6\)   หน่วย

ความยาวแกนโทเท่ากับ  \(2b=2(2)=4\)  หน่วย

ที่กล่าวไปข้างต้นเป็นวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดครับ  ต่อไปเราก็มาดูว่าถ้ามันมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(h,k) ใดๆจะมีสมการวงรีเป็นอย่างไร

สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด(h,k)ใดๆ

1. สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด(h,k)ใดๆและแกนเอกอยู่ในแนวนอนจะมีสมการเป็น

\[\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,\quad a>b\]

แกนเอกอยู่บนแกนนอนนะครับ จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h,k) ดูรูปประกอบครับ

สามารถหาจุดยอดได้คือ

\((h-a,k)\quad ,(h+a,k)\)

สามารถหาจุดโฟกัสได้คือ

\((h-c,k)\quad,(h+c,k) \quad \quad ; c^{2}=a^{2}-b^{2}\)

แกนเอกยาว \(2a\)

แกนโทยาว \(2b\)

2. สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด(h,k)ใดๆและแกนเอกอยู่ในแนวตั้งจะมีสมการเป็น

\[\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1,\quad a>b\]

ดูรูปประกอบนะครับ

สามารถหาจุดยอดได้คือ

สามารถหาจุดโฟกัสได้คือ

\((h,k-c)\quad,(h,k+c) \quad \quad ;\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\)

แกนเอกยาว \(2a\)

แกนโทยาว \(2b\)\((h,k-a)\quad ,(h,k+a)\)

เราลองมาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับวงรีที่จุดยอดอยู่ที่จุด(h,k) ใดๆดีกว่าครับ

แบบฝึกหัด

1. จงหาจุดศูนย์กลาง โฟกัสและ จุดยอดของวงรีและหาความยาวของแกนเอกและแกนโทแล้วเขียนกราฟ

1)  \(\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}=1\)

วิธีทำ จะเห็นว่า เนื่องจากเรารู้ว่า \(a>b\)  ดังนั้น

\(a^{2}=9 \quad ,\quad b^{2}=4\) นั่นคือ

\(a=3\quad ,b=2\)  เนื่องจาก เอกำลังสองเป็นส่วนของ ตัวแปร y ดังนั้นวงรีนี้เป็นวงรีตามแกนตั้ง ดังนั้นถ้าเทียบกับสมการมาตรฐานของวงรีตามแนวแกนตั้งคือ

\[\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1,\quad a>b\]

เราจะได้ว่า

\(h=1,k=2\)  นั่นคือวงรีนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (1,2)

จุดยอดของวงรีตามแนวแกนตั้งคือ

\((h,k-a)\quad ,(h,k+a)\)

\((1,2-3)\quad,(1,2+3)\)

นั่นคือจุดยอดของวงรีคือ \((1,-1)\)  และ \((1,5)\)

จุดโฟกัสของวังรีตามแนวแกนตั้งคือ

\((h,k-c)\quad,(h,k+c)\)

การหาค่า \(c\) ก็หาได้จากความสัมพันธ์เดิมคือ \(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)

นั่นคือ

\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)

\(c=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}\)

นั่นคือจุดโฟกัสของวงรีคือ

\((1,2-\sqrt{5})\) และ \(1,2+\sqrt{5}\)

ความยาวแกนเอกคือ \(2a=2(3)=6\)  หน่วย

ความยาวแกนโทคือ \(2b=2(2)=4\)  หน่วย

2)  \(\frac{y^{2}}{9}+\frac{(x+5)^{2}}{25}=1\)

วิธีทำ ทำคล้ายๆกับข้อที่ 1 ครับ ข้อนี้

\(a^{2}=25\quad , b^{2}=9\)    ดังนั้น

\(a=5\quad , b=3\)

แน่นอนข้อนี้เป็นวงรีตามแนวนอน ลองเทียบกับสมการมาตรฐานมันดูครับก็คือ

\[\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,\quad a>b\]

เราจะได้

\(h=-5 \quad ,k=0\)

นั่นคือวงรีนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-5,0)

จุดยอดวงรีตามแนวแกนนอนคือ

\((h-a,k)\quad ,(h+a,k)\)

\((-5-5,0)\)  และ \((-5+5,0)\)

นั่นคือจุดยอดวงรีคือ \((-10,0)\)  และ  \((0,0)\)  ครับ

จุดโฟกัสวงรีตามแนวแกนนอนคือ

ต้องหาค่า \(c\)  เหมือนเดิมครับ

\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)

\(c=\sqrt{25-9}\)

\(c=\sqrt{16}\)

\(c=4\)

สามารถหาจุดโฟกัสได้คือ

\((h-c,k)\quad,(h+c,k)\)

\((-5-4,0)\quad ,(-5+4,0)\)

นั่นคือจุดโฟกัสคือ

\((-9,0)\)  และ  \((-1,0)\)

ความยาวแกนเอกคือ \(2a=2(5)=10\)   หน่วย

ความยาวแกนโทคือ \(2b=2(3)=6\)  หน่วย

มาทำแบบฝึกหัดต่อกันครับพอดีมีคนถามมาเยอะเกี่ยวกับการทำแบบฝึกหัดวงรีหนังสือ สสวท. ผมจะทำให้ดูแค่บางส่วนสำหรับผู้ที่ทำไม่ได้และไม่มีเงินไปเรียนพิเศษนะครับ เพื่อเป็นการทบทวนความรู้พยายามอ่านทำความเข้าใจนะครับอย่าลอกอย่างเดียว

1. จงหาจุดยอด โฟกัส ความเยื้องศูนย์กลาง ความยาวของแกนเอกและแกนโท ของวงรีแล้วเขียนกราฟ

(1)\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1\)

วิธีทำ  จากสมการวงรี \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1\) ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) และมี \(a^{2}=25,b^{2}=9\) ดังนั้น \(C^{2}=25-9=16\) จะได้ \(a=5,b=3\) และ \(c=4\)

จุดยอดของวงรีคือ \((0,\pm5)\)   โฟกัสของวงรีคือ \((0,\pm4)\)

ความเยื้องศูนย์กลางคือ \(\frac{4}{5}\) แกนเอกยาว 10 หน่วย

แกนโทยาว 6 หน่วย  เขียนกราฟได้ดังนี้

 (2) \( \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)

วิธีทำ จากสมการวงรี \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\) ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยู่บนแกน \(X\) และมี \(a^{2}=25,b^{2}=16\) ดังนั้น

\(c^{2}=25-16=9\) จะได้ \(a=5,b=4\) และ \(c=3\)

จุดยอดของวงรีคือ \((\pm5,0)\)   โฟกัสของวงรีคือ \((\pm3,0)\)

ความเยื้องศูนย์กลางคือ \(\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)  แกนเอกยาว 10 หน่วย

แกนโทยาว 8 หน่วย   เขียนกราฟได้ดังนี้

(3)\(9x^{2}+4y^{2}=36\)

วิธีทำ ข้อนี้จัดสมการก่อนครับเพื่อให้รู้ว่าเป็นวงรีแบบไหนครับ

\begin{array}{lcl}9x^{2}+4y^{2}&=&36\\\frac{1}{36}(9x^{2}+4y^{2})&=&\frac{1}{36}\times 36\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}&=&1\end{array}

จากสมการที่ได้สุดท้ายคือ \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\) แสดงว่าวงรีนี้มีแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) ที่มี \(a^{2}=9\) และ \(b^{2}=4\)

ดังนั้น \(c^{2}=9-4=5\)  จะได้ \(a=3,b=2\) และ \(c=\sqrt{5}\)

จุดยอดของวงรีคือ \((0,\pm 3)\)   โฟกัสของวงรีคือ \((0,\pm\sqrt{5})\)

ความเยื้องศูนย์กลางคือ \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)  แกนเอกยาว 6 หน่วย

แกนโทยาว 4 หน่วย   เขียนกราฟได้ดังนี้

(4) \(y^{2}=1-2x^{2}\)

วิธีทำ จัดสมการก่อนครับจะได้

\begin{array}{lcl}y^{2}&=&1-2x^{2}\\y^{2}+2x^{2}&=&1\\\frac{y^{2}}{1}+\frac{x^{2}}{\frac{1}{2}}&=&1\end{array}

จากสมการจะเห็นว่าเป็นวงรีมีแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) ที่มี \(a^{2}=1\) และ \(b^{2}=\frac{1}{2}\)

ดังนั้น \(c^{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) จะได้ \(a=1,b=\frac{1}{\sqrt{2}}\) และ \(c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

จุดยอดของวงรีคือ \((0,\pm 1)\)  โฟกัสของวงรีคือ \((0,\pm\frac{\sqrt{2}}{2})\)

ความเยื้องศูนย์กลางคือ \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) แกนเอกยาว 2 หน่วยและแกนโทยาว \(\sqrt{2}\) หน่วย เขียนกราฟได้ดังนี้

2. จงหาสมการของวงรีที่มีกราฟดังแสดงในแต่ละข้อ

1)

วิธีทำ จากกราฟจะเห็นว่าแกนเอกอยู่บนแกน \(X\) จะได้ \(a=5,b=4\) ดังนั้นสมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)

2)

วิธีทำ  จากกราฟจะเห็นว่าแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) และจากกราฟจะเห็นว่า \(b=2,c=2\) จะได้ \(a^{2}=b^{2}+c^{2}=4+4=8\)

ดังนั้นสมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}=1\)

3. จงหาสมการของวงรีที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนดให้

1) โฟกัส \((-4,0),(4,0)\) จุดยอด \((-5,0),(5,0)\)

วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(c=4,a=5\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(X\)

จะได้ \(b^{2}=a^{2}-c^{2}=25-16=9\)

ดังนั้น สมการวงรีที่ต้องการคือ \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)

2) แกนเอกยาว 4 หน่วย แกนโทยาว 2 หน่วย โฟกัสอยู่บนแกน \(Y\)

วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(a=2,b=1\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\)

ดังนั้น สมการวงรีที่ต้องการคือ \(\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1\)

3) โฟกัส \((0,-2),(0,2)\) แกนโทยาว 6 หน่วย

วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(c=2,b=3\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\)

จะได้ \(a^{2}=b^{2}+c^{2}=9+4=13\)

ดังนั้น สมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{13}=1\)

4) จุดปลายแกนเอก \((-10,0),(10,0)\) ระยะห่างระหว่างโฟกัสเท่ากับ 6 หน่วย

วิธีทำ  จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(a=10,c=3\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(X\)

จะได้ \(b^{2}=a^{2}-c^{2}=100-9=91\)

ดังนั้น สมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{91}=1\)

5) จุดปลายแกนโท \((0,-3),(0,3)\) ระยะห่างระหว่างโฟกัสเท่ากับ 8 หน่วย

วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(b=3,c=4\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(X\)

จะได้ \(a^{2}=b^{2}+c^{2}=9+16=25\)

ดังนั้น สมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)

6) แกนเอกยาว 10 หน่วย โฟกัสอยู่บนแกน \(X\) วงรีผ่านจุด \((\sqrt{5},2)\)

วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(a=5,(x,y)=(\sqrt{5},2)\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(X\)

แทนค่า \(x,y\) และ \(a\) ในสมการมาตรฐานด้วย \(\sqrt{5},2\) และ \(5\) ตามลำดับ จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{(\sqrt{5})^{2}}{25}+\frac{(2)^{2}}{b^{2}}&=&1\\\frac{4}{b^{2}}&=&1-\frac{5}{25}&=&\frac{4}{5}\\b^{2}&=&5\end{array}

ดังนั้นสมการวงรีคือ  \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{5}=1\)

7) ความเยื้องศูนย์กลาง \(\frac{1}{9}\) โฟกัส \((0,-2),(0,2)\)

วิธีทำ  จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(\frac{c}{a}=\frac{1}{9},c=2\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\)

เนื่องจาก \(\frac{2}{a}=\frac{1}{9}\)

จะได้ \(a=18\) ดังนั้น \(b^{2}=a^{2}-c^{2}=324-4=320\)

ดังนั้น สมการวงรีคือ \(\frac{x^{2}}{320}+\frac{y^{2}}{324}=1\)

8) ความยเยื้องศูนย์กลาง \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)  โฟกัสอยู่บนแกน \(Y\) แกนเอกยาว 4 หน่วย

วิธีทำ จากเงื่อนไขจะได้ว่า \(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},a=2\) และแกนเอกอยู่บนแกน \(Y\) ดังนั้น \(\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)  จะได้ \(c=\sqrt{3}\) ดังนั้น \(b^{2}=a^{2}-c^{2}=4-3=1\)

ดังนั้น สมการวงรีที่ต้องการคือ \(\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{4}=1\)