เวกเตอร์ i , j , k ทุกคนที่เรียนเกี่ยวกับเวกเตอร์น่าจะเคยได้ยินชื่อเวกเตอร์ i  เวกเตอร์ j และ เวกเตอร์ k  หรือถ้าเขียนเป็นสัญลักษณ์คือ

\(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) วันนี้เรามารู้จักว่าพวกมันคืออะไรกันแน่ครับ พวกมันก็คือ

\(\vec{i}\)  คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางไปตามแกน X ทางบวก

\(\vec{j}\) คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางไปตามแกน Y ทางบวก

\(\vec{k}\) คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางไปตามแกน Z ทางบวกครับ ดูรูปประกอบด้านล่างครับ

หรือถ้าเราเขียนให้เวกเตอร์เหล่านี้ให้อยู่ในระบบ  เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก2 มิติก็จะได้

\(\vec{i}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)

\(\vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\)

ถ้าเราเขียนให้เวกเตอร์เหล่านี้ให้อยู่ในระบบเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ มิติก็จะได้

\(\vec{i}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\)

\(\vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\)

\(\vec{k}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)

จะเห็นได้ว่าเราสามารถเขียนเวกเตอร์ใดๆให้อยู่ในรูป \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) ได้ครับ ยกตัวอย่างเช่น

\(\vec{a}=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=3\vec{i}+2\vec{j}\)

\(\vec{b}=\begin{bmatrix}3\\-2\\-5\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=3\vec{i}-2\vec{j}-5\vec{k}\)

พอเข้าใจคอนเซปป์หรือยังครับ จริงๆดูรูปข้างบนน่าจะเข้าใจนะครับไม่ยากต่อไปเราก็จะมาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับพวก เวกเตอร์  i , j ,k บ้างครับ

1. จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูปของ \(\vec{i}\) และ \(\vec{j}\) ในระบบพิกัดฉากสองมิติและเขียนในรูป \(\vec{i},\vec{j}\) และ \(\vec{k}\) ในระบบพิกัดฉากสามมิติ

1) \(\vec{OA}=\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}\) เมื่อ \(O\) เป็นจุดกำเนิดในระบบพิกัดฉาก

วิธีทำ ง่ายครับข้อนี้ ทำเหมือนข้างบนที่ผมได้ยกตัวอย่างให้ดูครับ

\(\vec{OA}=\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}=\vec{i}+4\vec{j}\)

2) \(\vec{CD}\) โดยที่ \(C(-3,4)\) และ  \(D(1,-2)\)

วิธีทำ

\(\vec{CD}=\begin{bmatrix}1-(-3)\\-2-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-6\end{bmatrix}\)

ดังนั้น \(\vec{CD}\) สามารถเขียนให้อยู่ในรูป \(\vec{i},\vec{j}\) คือ

\(\vec{CD}=4\vec{i}-6\vec{j}\)

---

2. จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้

1) \(x\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\8\end{bmatrix}\)

วิธีทำ การแก้สมการก็ทำง่ายๆเหมือนกับการแก้สมการเชิงเส้นธรรมดาครับ จากโจทย์เราจะได้

\[x+3y=7\]

\[2x+4y=8\]

เริ่มแก้ระบบสมการกันเลยครับ กำหนดให้

\begin{array}{lcl}x+3y&=&7\quad \cdots (1)\\2x+4y&=&8\quad \cdots (2)\end{array}

นำ \(2\times (1)\) จะได้

\(2x+6y=14\quad \cdots (3)\)

ต่อไปนำ \((3)-(2)\) จะได้

\begin{array}{lcl}(2x+6y)-(2x+4y)&=&14-8\\2y&=&6\\y&=&3\end{array}

ต่อไปก็หาค่า \(x\) โดยการแทน \(y\) ด้วย \(3\)  ในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}x+3(3)&=&7\\x&=&7-9\\x&=&-2\end{array}

ดังนั้นได้ \(x=-2,y=3\)  ครับง่ายๆ เป็นการแก้ระบบสมการทั่วไปครับ พยายามดูดีๆนะ ไม่ยากเลยครับ