ค้นหา

อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมที่ได้จากจากลำดับเรขาคณิตเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต  และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย   วันนี้ผมจะพาทุกคนฝึกทำโจทย์อนุกรมเรขาคณิตกันครับ การทำโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิตไม่ยากครับแต่ต้องใช้สูตรให้เป็นครับ สำหรับสูตรในการทำโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิตจะมี 2 สูตรด้วยกันครับ  เราลองไปดูกันเลยครับ

สูตรในการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ

\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r} \quad   เมื่อ   \quad r\neq 1 \)     สูตรนี้ใช้ได้ตลอด

หรือ

\(S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\quad   เมื่อ   \quad r\neq 1 \)         สูตรนี้ใช้เมื่อรู้พจน์สุดท้าย

 ตัวอย่าง จงหาผลบวกแปดพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1+2+4+8+...

จากโจทย์ จะได้   \(a_{1}=1 \quad  r=2\)

จากสูตร   \(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\)   แทนค่าสิ่งที่โจทย์ให้มาลงในสูตรเลย

\(S_{8}=\frac{1(2)^{8}-1}{2-1}\)

\(S_{8}=\frac{2^{8}-1}{1}\)

\(S_{8}=255\)

ตัวอย่าง จงหาผลบวก 9 พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต 2+6+18+54+...

จากโจทย์ \(a_{1}=2 \quad   และ  \quad r=3 \)

จาก \(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\)

\(S_{9}=\frac{2(1-3^{8})}{1-3}\)

\(S_{9}=\frac{2(1-6561)}{-2}\)

\(S_{9}=\frac{-13120}{-2}\)

\(S_{9}=6560\)

 ตัวอย่าง  จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้

1)  \(1+2+4+...+128\)

วิธีทำ   จะเห็นว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตมีค่า    \(r=\frac{4}{2}=2\)

เนื่องจากเรารู้พจน์สุดท้ายดังนั้น เราเลือกใช้สูตรนี้ในการหาคำตอบ      \(S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\)

แทนค่าลงไปเลยนะ   ***ไม่จำเป็นต้องรู้ก็ได้ครับ

\(S_{n}=\frac{1-128(2)}{1-2}\)

\(S_{n}=\frac{1-256}{-1}\)

\(S_{n}=255\)

2)  \(3-6+12-24+...+192\)

วิธีทำ  จะเห็นว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตมีค่า  \(r=\frac{-6}{3}=-2\)     เนื่องจากรู้พจน์สุดท้ายดังนั้นใช้สูตรนี้ครับ    \(S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\)

\(S_{n}=\frac{3-192(-2)}{1-(-2)}\)

\(S_{n}=\frac{3+384}{3}\)

\(S_{n}=\frac{387}{3}\)

\(S_{n}=129\)

ตัวอย่าง  ลำดับชุดหนึ่งมี    \(a_{n}=(-2)^{n}\)     จงหาค่าของ  \(S_{9}\)

วิธีทำ  เนื่องจากโจทย์ข้อนี้เราไม่รู้ว่าเป็นลำดับอะไร เราก็ลองแทนค่า n=1 ,n=2,n=3  ดูก่อน จะได้ดังนี้

\(a_{1}=(-2)^{1}=-2\)

\(a_{2}=(-2)^{2}=4\)

\(a_{3}=(-2)^{3}=-8\)

\(a_{4}=(-2)^{4}=16\)

จะเห็นว่าลำดับที่เราได้คือ  \(-2,4,-8,16,...\)        เป็นลำดับเรขาคณิต  มีค่า  \(r=\frac{4}{-2}=-2\)

ดังนั้นนี้อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิต โจทย์ให้หา   \(S_{9}\)   แสดงว่า  n=9   ใช้สูตรนี้เลยครับ

\(S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\)         ต้องรู้ค่าของ  \(a_{9}\)  ด้วยนะ ถึงใช้สูตรนี้ได้ ไปหากันเลยครับ

จาก  \(a_{n}=(-2)^{n}\)

\(a_{9}=(-2)^{9}\)

\(a_{9}=-512\)0

จะได้

\(S_{9}=\frac{-2-[(-512)(-2)]}{1-(-2)}\)

\(S_{9}=\frac{-2-1024}{3}\)

\(S_{9}=\frac{-1026}{3}\)

\(S_{9}=-342\)

ตัวอย่าง  ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มี  \(a_{3}=24\)   และ  \(a_{6}=-192\)  จงหาค่าของ   \(S_{5}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ผมจะใช้สูตรที่สองแล้วกันครับ ขี้เกียจหาพจน์สุดท้ายครับ คือใช้สูตรนี้ครับ

\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\)     ซึ่งการที่เราจะใช้สูตรนี้ได้เราต้องรู้  \(a_{1}\)   และ  \(r\)

ก็หาได้ครับหาไม่ยากอยู่แล้ว ลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิตฉะนั้นพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ

\(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\)       ต้องจำให้ได้นะทุกคน

\(a_{3}=a_{1}r^{3-1}\)

\(24=a_{1}r^{2}\)       ให้สมการนี้เป็นสมการที่ 1

\(a_{6}=a_{1}r^{6-1}\)

\(a_{6}=a_{1}r^{5}\)

\(-192=a_{1}r^{5}\)    ให้เป็นสมการที่ 2

จะเห็นว่าสมการที่ 1  และสมการที่ 2  มีค่า \(a_{1}\)   เหมือนกันที่จำมาหารกันจะตัดกันได้ก็จะหาค่า  \(r\)    ดังนั้นจับมาหารกันเลยครับ  นำสมการที่  2   มาหารด้วย สมการที่ 1  จะได้คือ

\(\frac{-192}{24}=\frac{a_{1}r^{5}}{a_{1}r^{2}}\)

\(-8=r^{3}\)

\(r^{3}=-8\)

\(r^{3}=(-2)^{3}\)

ดังนั้น   \(r=-2\)

ต่อไปหา  \(a_{1}\)   จากสมการที่ 1  คือจากสมการนี้

\(24=a_{1}r^{2}\)       แทนค่าของ r=-2  ลงไปเลยจะได้ว่า

\(24=a_{1}(-2)^{2}\)

\(a_{1}=\frac{24}{4}\)

\(a_{1}=6\)

ตอนนี้เราได้  \(a_{1}=6,r=-2\)  แทนค่าลงไปในสูตรเลยครับเพื่อหาค่าของ  \(S_{5}\)

จากสูตร

\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\) 

\(S_{5}=\frac{6(1-(-2)^{5})}{1-(-2)}\)

\(S_{5}=\frac{6(1-(-32))}{3}\)

\(S_{5}=\frac{6\times 33}{3}\)

\(S_{5}=2\times 33\)

\(S_{5}=66\)         ได้คำตอบแล้วเย่

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com