1. ให้ Z เป็นจำนวนเชิงซ้อน จงแสดงว่าข้อต่อไปนี้เป็นจริง
1) \(\overline{iz}=-i\bar{z}\)
วิธีทำ เขาให้เราแสดงว่ามันเท่ากัน เวลา เดี๋ยวผมจะทำให้ดูเป็นตัวอย่างก่อนครับค่อยๆอ่าน ผมจะเริ่มทำจากฝั่งซ้ายของสมการแล้วทำให้ได้เป็นฝั่งขวาให้ได้ อาจจะงงค่อยๆอ่านแล้วกันครับ
ผมกำหนดให้ \(z=x+yi\) ดังนั้น \(\bar{z}=x-yi\) ก็คือ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งนั่นเองครับ ส่วน \(\bar{z}\) ก็คือสังยุคหรือคอนจูเกตของ z คอนจูเกตของ i เขียนแทนด้วย \(\overline{i}\) ซึ่ง \(\overline{i}=-i\) เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\overline{iz}&=&\overline{i}\overline{z}\\&=&-i(x-yi)\\&=&-i\overline{z}\end{array}
เห็นไหมครับทำจากฝั่งซ้ายและแล้วก็ได้ฝั่งขวาครับ
2) \(Re(iz)=-Im(z)\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมเลยครับก่อนอื่นคือ กำหนดให้ \(z=x+yi\) ก่อน ต้องเข้าใจสัญลักษณ์ Re กับ Im ด้วยนะครับว่าคืออะไร หาอ่านได้ที่ลิงค์นี้ครับจำนวนเชิงซ้อน(Complex Number) ดังนั้นเราจะได้ว่า
เรากำหนดให้ \(z=x+yi\) ดังนั้นเราจะได้
\(Re(z)=x\)
\(Im(z)=y\)
\(-Im(z)=-y\)
เริ่มทำกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}iz&=&i(x+yi)\\&=&xi+yi^{2}\\&=&xi+yi^{2}\\&=&xi+y(-1)\\&=&xi-y\\&=&-y+xi\end{array}
ดังนั้น \(Re(iz)=-y\)
เนื่องจาก \(-y=-Im(z)\)
ดังนั้น
\(Re(iz)=-Im(z)\)
2. จงหาจำนวนเชิงซ้อน z ที่สอดคล้องแต่ละสมการในข้อต่อไปนี้
1) \((2-i)z=4+2i\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็คือแก้สมการหาค่า z นั่นเองครับ
\begin{array}{lcl} (2-i)z&=&4+2i\\z&=&\frac{4+2i}{2-i}\\z&=&\frac{4+2i}{2-i}\times \frac{2+i}{2+i}\\z&=&\frac{(4+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\z&=&\frac{8+2i^{2}+4i+4i}{4-i^{2}}\\z&=&\frac{8-2+8i}{5}\\z&=&\frac{6+8i}{5}\end{array}
2) \(z(1+i)=4\)
วิธีทำ ทำเหมือนกันคือย้ายข้างแล้วคูณด้วยสังยุคตัวส่วน
\begin{array}{lcl}z(1+i)&=&4\\z&=&\frac{4}{1+i}\\z&=&\frac{4}{1+i}\times \frac{1-i}{1-i}\\z&=&\frac{4(1-i)}{(1+i)(1-i)}\\z&=&\frac{4-4i}{1-i^{2}}\\z&=&\frac{4-4i}{1-1(-1)}\\z&=&\frac{4-4i}{2}\\z&=&\frac{4}{2}-\frac{4i}{2}\\z&=&2-2i\end{array}
ต่อไปผมจะนำเอาข้อสอบ Pat 1 มาเฉลยให้ได้อ่านกันครับผม ลองๆอ่านดูครับเรื่องนี้ไม่ยากครับออกคล้ายกันทุกปีครับ
โจทย์จำนวนเชิงซ้อนที่สอบออกสอบ pat 1 ก็ประมาณนี้แหละครับ
1. กำหนดให้ \(z\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ \(2|z+1|=|z+4|\) ค่าของ \(|\overline{z}|\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 ต.ค. 55/35)
วิธีทำ ข้อนี้เราต้องกำหนดให้ \(z=a+bi\) เพื่อจะได้แก้สมการง่ายครับ
ดังนั้น
\(\overline{z}=a-bi\)
เริ่มแก้เลยครับ เอา \(z=a+bi\) ไปแทนในสมการ \(2|z+1|=|z+4|\) จะได้
\begin{array}{lcl}2|a+bi+1|&=&|a+bi+4|\\2|(a+1)+bi|&=&|(a+4)+bi|\\2(\sqrt{(a+1)^{2}+b^{2}}&=&\sqrt{(a+4)^{2}+b^{2}}\\\left(2\sqrt{(a+1)^{2}+b^{2}}\right)^{2}&=&\left(\sqrt{(a+4)^{2}+b^{2}}\right)^{2}\\4((a+1)^{2}+b^{2})&=&(a+4)^{2}+b\\4(a^{2}+2a+1+b^{2})&=&a^{2}+8a+16+b^{2}\\4a^{2}+8a+4+4b^{2}&=&a^{2}+8a+16+b^{2}\\4a^{2}-a^{2}+4b^{2}-b^{2}+4-16&=&0\\3a^{2}+3b^{2}-12&=&0\\a^{2}+b^{2}&=&4\end{array}
ดังนั้น
\[a^{2}+b^{2}=4\]
แต่โจทย์ให้เราหา \(|\overline{z}|\)
จาก
\(\overline{z}=a-bi\)
\(|\overline{z}|=\sqrt{a^{2}+(-b)^{2}}\)
\(|\overline{z}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
แต่
\(a^{2}+b^{2}=4\)
ดังนั้น
\(|\overline{z}|=\sqrt{4}\)
\(|\overline{z}|=2\) Ans
2) กำหนดให้ \(z\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ \(z^{4}+1=0\) ค่าของ \(|z+\frac{1}{z}|^{2}\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 ก.ค.52/26)
วิธีทำ ข้อนี้สังเกตวิธีการทำดีๆครับ ไม่ต้องกำหนดให้ \(z=a+bi\) นะพยายามจัดรูปมองดูวิธีการทำดีๆครับ
จาก
\(z^{4}+1=0\)
สมบัติที่ใช้ในข้อนี้คือ \(|z^{n}|=|z|^{n}\)
และ
\begin{array}{lcl}|z+\frac{1}{z}|^{2}&=&|\frac{z^{2}+1}{z}|^{2}\\&=&|\frac{(z^{2}+1)^{2}}{z^{2}}|\\&=&|\frac{z^{4}+2z^{2}+1}{z^{2}}|\\&=&|\frac{z^{4}+1+2z^{2}}{z^{2}}|\\&=&|\frac{0+2z^{2}}{z^{2}}|\\&=&|2|\\&=&2\quad \underline{Ans}\end{array}
3) ให้ \(z_{1},z_{2},z_{3},...\) เป็นลำดับของจำนวนเชิงซ้อนโดยที่
\(z_{1}=0\)
\(z_{n+1}=z^{2}_{n}+i\) สำหรับ \(n=1,2,3,...\) เมื่อ \(i=\sqrt{-1}\)
ค่าสัมบูรณ์ของ \(z_{111}\) เท่ากับเท่าใด Pat 1 มี.ค. 53/16
วิธีทำ ข้อนี้ใช้การสังเกตเอาครับเริ่มทำกันเลย
\(z_{1}=0\)
\(z_{2}=z_{1+1}=z^{2}_{1}+i=0^{2}+i=i\)
\(z_{3}=z_{2+1}=z^{2}_{2}+i=(i)^{2}+i=-1+i\)
\(z_{4}=z_{3+1}=z^{2}_{3}+i=(-1+i)^{2}+i=-i\)
\(z_{5}=z_{4+1}=z^{2}_{4}+i=(-i)^{2}+i=-1+i\)
\(z_{6}=z_{5+1}=z^{2}_{5}+i=(-1+i)^{2}+i=-i\)
เราจะสังเกตเห็นว่า คำตอบจะวนอยู่สองคำตอบคือ \(-i\) กับ \(-1+i\)
ซึ่งถ้าตัวห้อยของ z เป็นเลขคี่จะตอบ \(-1+i\)
ถ้าตัวห้อยของ z เป็นเลขคู่จะตอบ \(-i\)
ดังนั้น
\(z_{111}=-1+i\)
\(|z_{111}|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\)
\(|z_{111}|=\sqrt{2}\)
4) กำหนดให้ \(z\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมการ \(|z|+2\overline{z}-3z=3-45i\) ค่าของ \(|\overline{z}|^{2}\) เท่ากับเท่าใด Pat1(พ.ย.57)/9
วิธีทำ ข้อนี้ต้องกำหนดให้ \(z=a+bi\)
\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(\overline{z}=a-bi\)
เอาค่านี้ไปแทนค่าสมการ \(|z|+2\overline{z}-3z=3-45i\) ครับจะได้
\begin{array}{lcl}\sqrt{a^{2}+b^{2}}+2(a-bi)-3(a+bi)&=&3-45i\\\sqrt{a^{2}+b^{2}}+2a-2bi-3a-3bi&=&3-45i\\\sqrt{a^{2}+b^{2}}+2a-3a+(-2a-3b)i&=&3-45i\end{array}
ดังนั้น
\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+2a-3a=3\) ให้เป็นสมการที่ 1 และ \(-2b-3b=-45\) ให้เป็นสมการที่ 2
แก้สมการที่ 2 ก่อนครับจะได้
\begin{array}{lcl}-5b&=&-45\\b&=&9\end{array}
แทน b ด้วย 9 ในสมการที่ 1 เพื่อหาค่า \(a\) จะได้
\begin{array}{lcl}\sqrt{a^{2}+9^{2}}+2a-3a&=&3\\\sqrt{a^{2}+81}&=&a+3\\\left(\sqrt{a^{2}+81}\right)^{2}&=&(a+3)^{2}\\a^{2}+81&=&(a+3)^{2}\\a^{2}+81&=&a^{2}+6a+9\\6a&=&81-9\\a&=&12\end{array}
ดังนั้น
\(a=12\quad b=9\)
จะได้
\(z=12+9i\)
\(\overline{z}=12-9i\)
\(|\overline{z}|=\sqrt{12^{2}+(-9)^{2}}\)
\(|\overline{z}|=\sqrt{225}\)
\(|\overline{z}|^{2}=225\quad \underline{Ans}\)
5) กำหนดให้ \(z_{1}\quad ,z_{2}\) เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ \(5z_{1}+2z_{2}=5\) และ \(\overline{z_{2}}=1+2i\) แล้วค่าของ \(|5z_{1}^{-1}|\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 มี.ค.53/34)
วิธีทำ โจทย์ให้หาค่าของ \(|5z_{1}^{-1}|\) แสดงว่าเราต้องหาค่าของ \(z_{1}^{-1}\) ให้ได้
ก่อนจะหาค่า \(z_{1}^{-1}\) เราต้องหาค่าของ \(z_{1}\) ก่อน เอาเป็นว่าเรามาเริ่มทำกันเลยครับ
จาก
\(\overline{z_{2}}=1+2i\)
จะได้
\(z_{2}=1-2i\) นำค่านี้ไปแทนในสมการ \(5z_{1}+2z_{2}=5\) เพื่อแก้สมการหาค่า \(z_{1}\) ออกมาครับ
เริ่มแก้กันเลยครับ ค่อยๆอ่านนะ
\begin{array}{lcl}5z_{1}+2z_{2}&=&5\\5z_{1}+2(1-2i)&=&5\\5z_{1}+2-4i&=&5\\5z_{1}&=&5-2+4i\\5z_{1}&=&3+4i\\z_{1}&=&\frac{3+4i}{5}\end{array}
ต่อไปเราก็หาค่าของ \(z_{1}^{-1}\) ครับ สัญลักษณ์นี้ก็คือผกผันการคูณของ \(z_{1}\) นั่นเองครับผม
เริ่มหากันเลยครับ
จาก
\begin{array}{lcl}z_{1}&=&\frac{3+4i}{5}\\\frac{1}{z_{1}^{-1}}&=&\frac{3+4i}{5}\\z_{1}^{-1}&=&\frac{5}{3+4i}\\z_{1}^{-1}&=&\frac{5}{3+4i}\times \frac{3-4i}{3-4i}\\z_{1}^{-1}&=&\frac{15-20i}{25}\\z_{1}^{-1}&=&\frac{3-4i}{5}\end{array}
เอาค่าของ \(z_{1}^{-1}\) ไปแทนค่าใน \(|5z_{1}^{-1}|\) เพื่อหาคำตอบครับจะได้
\begin{array}{lcl}|5z_{1}^{-1}|&=&|5(\frac{3-4i}{5})|\\&=&|3-4i|\\&=&\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}\\&=&\sqrt{25}\\&=&5\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์