-
ข้อสอบตรีโกณมิติ
ตัวอย่างข้อสอบเรื่องฟังก์ตรีโกณมิติ สามารถนำไปใช้ฝึกฝนเพื่อตรวจสอบความเข้าใจของตัวเองได้ หรือใช้เป็นสื่อประกอบการสอนได้ สำคัญที่อยากให้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนได้ลองนำไปทำดู ถ้าทำข้อสอบพวกนี้ได้ จะทำข้อสอบในห้องเรียนได้แน่นอนและที่สำคัญยังสามารถขยายความรู้พวกนี้นำไปทำข้อสอบประยุกต์อื่นๆได้ด้วย ลองนำไปทำดูคับ
และสำหรับคนที่ต้องการอ่านเนื้อหาเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่อง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ สามารถหาอ่านได้ตามลิงก์ด้านล่างและค้นหาเพิ่มเติมในเว็บไซต์ได้เลยคับ ผมเขียนไว้เยอะเหมือนกันคับ
- การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ(Trigonometry Function)
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอนที่ 2
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอนที่ 3
- การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5
- พื้นฐานเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติรวมสูตรตรีโกณมิติ
- แบบฝึกหัดตรีโกณมิติการใช้สามเหลี่ยมมุมฉากหาค่าตรีโกณมิติ ม.5
- ข้อสอบเกี่ยวกับการหาค่าตรีโกณมิติ
- สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การแก้สมการตรีโกณมิติ
- เอกลักษณ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติและการพิสูจน์
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- แบบฝึกหัดผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- แบบฝึกหัดโจทย์ผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- โจทย์Pat1 เรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- เฉลย PAT1 เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- รวมสูตรตรีโกณมิติ
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 1
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 2
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 3
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 4
- แบบฝึกหัดพร้อมเฉลย เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตอน 5
- แบบฝึกหัดเอกลักษณ์ตรีโกณมิติและการพิสูจน์
- แผนการจัดการเรียนรู้เรื่องตรีโกณมิติ
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (40)
40. ถ้า \(\arctan x=\arctan\frac{1}{4}-2\arctan\frac{1}{2}\) แล้ว \(\sin(180^{\circ}+\arctan x)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{13}{5\sqrt{17}}\)
- \(\frac{16}{5\sqrt{17}}\)
- \(\frac{-13}{5\sqrt{17}}\)
- \(\frac{-16}{5\sqrt{17}}\)
วิธีทำ
ข้อนี้ถ้าใครหัดทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับผกผันฟังก์ชันตรีโกณมบ่อยๆก็ไม่ยากคับ ส่งที่ต้องใช้ในข้อนี้คือ พวกสูตรผลบวกและผลต่างของมุม
ค่าฟังชันตรีโกณมิติของมุมสองเท่า เช่น
\(\sin (A+B)=\sin A\cos B +\cos A \sin B\)
\(\sin (A-B)=\sin A \cos B - \cos A \sin B\)
\(\sin 2A =2\sin A\cos A\)
\(\cos 2A=\cos^{2} A-\sin^{2} A\)
หาอ่านเพิ่มเติมตามลิงก์นี้คับ
- การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5
- การหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก
- รวมสูตรตรีโกณมิติ
- เฉลย PAT1 เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- โจทย์Pat1 เรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- แบบฝึกหัดโจทย์ผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- แบบฝึกหัดผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- อัตราส่วนตรีโกณมิติ
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง
- สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เริ่มทำกันเลยครับผม
กำหนดให้
\(\arctan\frac{1}{4}=A\) ดังนั้น \(\tan A=\frac{1}{4}\) แล้ววาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากครับ จะได้รูปแบบนี้
จากรูปจะได้
\(\sin A=\frac{1}{\sqrt{17}}\)
\(\cos A=\frac{4}{\sqrt{17}}\)
และกำหนดให้
\(\arctan\frac{1}{2}=B\) ดังนั้น \(\tan B=\frac{1}{2}\) แล้ววาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากครับ จะได้รูปแบบนี้
จากรูปจะได้
\(\sin B=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\cos 2B=\cos^{2}B-\sin^{2}B=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}\)
\(\sin 2B=2\sin B\cos B=2\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{5}\)
จากด้านบนที่เรากำหนดให้ \(arctan\frac{1}{4}=A\) และ \(arctan\frac{1}{2}=B\) จะได้ว่า
\(\arctan x=A-2B\)
ตอนนี้ข้อมูลครับแล้วเราก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\sin (180^{\circ}+\arctan x)&=&\sin 180^{\circ}\cos(\arctan x)+\cos 180^{\circ}\sin(\arctan x)\\\color{red}{hint:}\quad \sin 180^{\circ}=0\\\quad \cos 180^{\circ}=-1\\&=&(-1)\sin(\arctan x)\\&=&(-1)\sin(A-2B)\\&=&(-1)[\sin A\cos 2B-\cos A\sin 2B]\\&=&(-1)[\frac{1}{\sqrt{17}}\frac{3}{5}-\frac{4}{\sqrt{17}}\frac{4}{5}]\\&=&\frac{13}{5\sqrt{17}}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (73)
73. จงหาค่า \(\theta\) จากสมการ \(\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\sqrt{3}\) เมื่อ \(0<\theta <\pi\) (ข้อสอบโควต้า ม.เชียงใหม่)
วิธีทำ ข้อสอบนี้เป็นข้อสอบโควต้า ของ ม.เชียงใหม่ นะคับไม่ยากมากแต่ก็ต้องอาศัยการฝึกฝนครับ มาดูวิธีการทำกันเลย ข้อนี้ถ้าใครไม่เคยฝึกทำ ก็จะไปไม่เป็น ข้อนี้คล้ายกับข้อสอบ Pat 1 เลย บางปีออกประมาณนี้เลยคับ เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}&=&\sqrt{3}\\1-\cos\theta &=&\sqrt{3}\sin\theta\\(1-\cos\theta)^{2}&=&(\sqrt{3}\sin\theta)^{2}\\1^{2}-(2)(1)\cos\theta +\cos^{2}\theta&=&3\sin^{2}\theta\\1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta&=&3(1-\cos^{2}\theta)\\1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta &=&3-3\cos^{2}\theta\\4\cos^{2}\theta-2\cos\theta-2&=&0\\2\cos^{2}\theta-\cos\theta-1 &=&0\\Let\quad x=\cos\theta\\so\\2x^{2}-x-1 &=&0\\(2x+1)(x-1)&=&0\\so\\x=1,\quad x=-\frac{1}{2}\\so\\\cos\theta =1\quad ,\cos\theta =-\frac{1}{2}\end{array}
จากโจทย์กำหนดให้ว่า \(0<\theta <\pi\)
เนื่องจาก \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) ดังนั้น \(\theta =\frac{2\pi}{3}\)
เนื่องจาก \(\cos 0=1\) ดังนั้น \(\theta =0\) แต่ \(0<\theta <\pi\)
ดังนั้นข้อนี้มีค่าคำตอบเดียวคือ \(\theta =\frac{2\pi}{3}\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (74)
74. ถ้า \(0<\theta <\frac{\pi}{4}\) และ \(\tan^{2}\theta -4\tan\theta +1=0\) แล้ว \(\sin 2\theta\) จะมีค่าเท่ากับข้อใด
- 0.25
- 0.50
- 0.75
- 1.00
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบโควต้า ม.เชียงใหม่เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ข้อนี้วิธีการทำก็คือโจทย์ให้หาค่า \(\sin 2\theta\) และให้สมการที่แต่ฟังก์ชัน \(\tan\theta\) มา ดังนั้นเราจะต้องเปลี่ยน \(tan\theta\) ให้เป็น \(\sin 2\theta\) ให้ครับผม เริ่มทำเลย
\begin{array}{lcl}\tan^{2}\theta-4\tan\theta +1&=&0\\\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}-4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1&=&0\\\cos^{2}\theta(\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}-4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1)&=&\cos^{2}\theta\times 0\\\cos^{2}\theta\times \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}-\cos^{2}\theta\times 4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\cos^{2}\theta&=&0\\\sin^{2}\theta-4\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta &=&0\\-4\sin\theta\cos\theta+\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta &=&0\\-4\sin\theta\cos\theta+1&=&0\\4\sin\theta\cos\theta-1&=&0\\2(2\sin\theta\cos\theta)-1&=&0\\2\sin 2\theta -1&=&0\\\sin 2\theta&=&\frac{1}{2}\\\sin 2\theta &=&0.5\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (75)
75. \(\cos(2\arctan(-3))\) มีค่าเท่ากับในข้อใด
- \(-\frac{4}{5}\)
- \(-\frac{3}{5}\)
- \(\frac{4}{5}\)
- \(\frac{3}{5}\)
วิธีทำ ข้อนี้เป็นแบบฝึกหัดตามห้องเรียนทั่วไป ถ้าทำได้ก็จะสามารถต่อยอดไปทำข้ออื่นได้คับ แนวทางการทำก็คือ เราจะต้องหาค่าของ \(\arctan (-3)\) ก่อนคับ
กำหนดให้ \(\arctan (-3)=A\) จึงได้ว่า \(\cos 2\arctan (-3))=\cos 2A\) นั่นคือตอนนี้เรากำลังหาค่าของ \(\cos 2A\) นั่นเองคับ มองให้ออกนะ
จาก \(\arctan (-3)=A\) ดังนั้นเราจะได้ว่า \(\tan A=-3\) เรานำตรงนี้ไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อหาค่าของ \(\cos A\) จะได้รูปประมาณนี้ การวาดรูปไม่ต้องสนใจเครื่องหมายลบ นะ
จากรูปเราใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะได้
\begin{array}{lcl}c^{2}&=&3^{2}+1^{2}\\c^{2}&=&10\\so\\c&=&\sqrt{10}\end{array}
ตอนนี้เราเดินทางมาใกล้คำตอบแล้วครับ สิ่งที่เราหาตอนนี้คือ \(\cos 2A\) นะ ดังนั้นเราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\cos 2A&=&2\cos^{2} A-1\\&=&2\frac{1}{10}-1\\&=&\frac{1}{5}-1\\&=&-\frac{4}{5}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (76)
76. \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2})) +\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))\) เท่ากับค่าในข้อใด
- \(-\frac{4}{5}+\frac{3\pi}{2}\)
- \(\frac{4}{5} +\frac{3\pi}{2}\)
- \(-\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\)
- \(\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องแม่นเรื่องเกี่ยวกับเรนจ์ของฟังก์ชันอาร์ไซน์ ก็คือเรนจ์ของอาร์คไซน์จะอยู่ในช่วง \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) เริ่มทำกันเลยคับ
เราจะหาค่าอันนี้ก่อน \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2}))\)
เนื่องจาก \(\sin \frac{3\pi}{2}=-1\) ดังนั้น \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2}))=\arcsin (-1)\)
เราจะหาค่าของ \(\arcsin (-1)\)
กำหนดให้ \(\arcsin (-1)=\theta \) เมื่อ \(\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
เนื่องจาก \(\sin (-\frac{\pi}{2})=-1\) ดังนั้น \(\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}\)
ต่อไปหาค่าของ \(\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))\)
เรากำหนดให้ \(\arcsin (-\frac{3}{5})=\theta\) เราจะได้ \(\sin\theta=-\frac{3}{5}\) เมื่อ \(\theta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) จาก \(\theta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) และ ไซน์ทีต้ามีค่า ติดลบสามส่วนห้า ทำให้เรารู้ว่า \(\theta\) อยู่ในควอร์ดเรนต์ที่ 2 จึงได้่ว่าค่าของฟังก์ชันคอสต้องเป็นบวก
จาก \(\sin\theta=-\frac{3}{5}\) วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้
จากรูป เราได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\cos (\arcsin (-\frac{3}{5})&=&\cos\theta\\&=&\frac{4}{5}\end{array}
ทำให้เราได้คำตอบคือ
\begin{array}{lcl}\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2})) +\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))&=&-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{5}\\&=&\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (77)
77. ให้ \(A\) เป็นผลบวกของคำตอบของสมการ \(\sin^{2}6x+8\sin^{2}3x=0\) เมื่อ \(0\leq x\leq 2\pi\) จงหาค่าของ \(\frac{A}{\pi}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สูตรมุมสองเท่า ก็คือ \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) ดังนั้น
\(\sin 6x=\sin 2(3x)=2\sin3x\cos 3x\) ประมาณนี้คับ เรามาเริ่มทำกันเลยดีกว่า
\begin{array}{lcl}\sin^{2}6x+8\sin^{2}3x&=&0\\\sin 6x\sin 6x + 8\sin^{2}3x&=&0\\\sin 2(3x)\sin 2(3x)+8\sin^{2}3x&=&0\\(2\sin 3x\cos 3x) (2\sin 3x\cos 3x) +8\sin^{2}3x&=&0\\4\sin^{2}3x\cos^{2}3x+8\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x\cos^{2}3x+2\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x(1-\sin^{2}3x)+2\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x-\sin^{4}3x+2\sin^{2}3x&=&0\\3\sin^{2}3x-\sin^{4}3x&=&0\\\sin^{2}3x(3-\sin^{2}3x)&=&0\\so\\\sin^{2}3x=0\quad or\quad 3-\sin^{2}3x=0\end{array}
พิจารณา \(\sin^{2}3x=0\) เราจะได้ \(\sin 3x=0\)
เนื่องจาก \(\sin 0=0\)
\( \sin\pi=0\)
\(\sin 2\pi=0\)
ทำให้ได้ว่า
\(x=0\)
\(x=\frac{\pi}{3}\)
\(x=\frac{2\pi}{3}\)
พิจาณา \(3-\sin^{2} 3x=0\) เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}3-\sin^{2}3x&=&0\\-\sin^{2}3x&=&-3\\\sin^{2}3x&=&3\\\sin 3x&=&\pm\sqrt{3}\\\sin 3x&=&\pm 1.732\end{array}
เนื่องจาก \(-1\leq \sin\theta\leq 1\) เสมอ ดังนั้นทำให้ได้ว่า \(\sin 3x=\pm 1.732\) ไม่มีคำตอบ
นั่นคือ \(A=0+\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{3\pi}{3}=\pi\)
คำตอบข้อนี้คือ \(\frac{A}{\pi}=\frac{\pi}{\pi}=1\quad\underline{Ans}\)
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (78)
78.ค่าของ \(\cos\left[\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}\right]\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{10}}\)
- \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{10}}\)
- \(\frac{-1}{\sqrt{10}}\)
- \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องระวังเรื่องเครื่องหมาย บวก ลบ คือเราต้องรู้ว่ามุมตกควอร์ดเรนจ์ไหน มาดูวิธีการทำกันครับ
ขั้นตอนที่ 1 กำหนดให้ \(\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})=A\) จะได้ว่า
\(\sin A =-\frac{1}{\sqrt{2}}\) เมื่อ \(A\in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) จากตรงนี้จะเห็นว่ามุม \(A\) ตกควอร์ดเรนจ์ที่ 4 นั่นค่าของ \(\cos A\) เป็นบวก แน่นอน
จาก \(\sin A=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้
ซึ่งจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทำให้เราได้ว่า \(\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ขั้นตอนที่ 2 กำหนดให้ \(\arccos \frac{2}{\sqrt{5}}=B\) จะได้ว่า
\(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\) เมื่อ \(0\leq B\leq \pi\) จากตรงนี้ค่าคอส เป็นบวกทำให้เราได้ว่า มุม \(B\) ตกควอร์ดเรนจ์ที่ 1 นั่นคือค่าของ \(\sin B\) ก็เป็นบวกด้วย
จาก \(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\) จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้
ซึ่งจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้ \(\sin B=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
ต่อไปจะเริ่มกระบวกการหาคำตอบกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}\cos\left[\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}\right]&=&\cos (A-B)\\&=&\cos A\cos B +\sin A\sin B\\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}+(-\frac{1}{\sqrt{2}})\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\\&=&\frac{2}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{10}}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (83)
83. ค่าของ \(\cot^{2}\frac{\pi}{6}-2\cos^{2}\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}cosec^{2}\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}\cos^{2}\frac{\pi}{6}\) เท่ากับข้อใด
- \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\frac{5}{2}\)
- \(2\)
- \(-\frac{1}{2}\)
- \(-\frac{3}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากหาตรงๆได้เลย
\(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ดังนั้น \(\cos^{2}\frac{\pi}{6}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{3}{4}\)
\(cosec \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\) ดังนั้น \(cosec^{2}\frac{\pi}{4}=(\frac{2}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{4}{2}=2\)
\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) ดังนั้น \(\cos^{2}\frac{\pi}{3}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\)
\(\cot\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\) ดังนั้น \(\cot^{2}\frac{\pi}{3}=(\sqrt{3})^{2}=3\)
เมื่อเราหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณได้หมดแล้วก็เอาไปแทนในโจทย์ เพื่อบวก ลบ คูณ หารกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}\cot^{2}\frac{\pi}{6}-2\cos^{2}\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}cosec^{2}\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}\cos^{2}\frac{\pi}{6}&=&3-2(\frac{1}{4})-\frac{1}{2}(2)+\frac{4}{3}(\frac{3}{4})\\&=&3-\frac{1}{2}-1+1\\&=&\frac{5}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (84)
83. กำหนดให้ \(a\) และ \(b\) เป็นคำตอบของสมการ \(x^{2}\sec^{2}\frac{\pi}{3}-3xcosec\frac{\pi}{6}+2\tan\frac{\pi}{4}=0\) จงหาค่าของ \(a+b\)
- \(\frac{3}{2}\)
- \(\frac{1}{3}\)
- \(2\)
- \(-\frac{1}{2}\)
- \(-1\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากหาตรงๆได้เลยแต่ต้องหาเป็นลำดับขั้นไป ก็คือเราไปหาค่าพวกฟังก์ตรีโกณก่อนเลยคับ
\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)
\(cosec\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)
\(\sec\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\) ดังนั้น \(\sec^{2}\frac{\pi}{3}=(2)^{2}=4\)
พอเราได้ค่าตรงนี้ เราก็นำไปแทนค่าในโจทย์เลยคับผม จะได้ดังนััน
\begin{array}{lcl}x^{2}\sec^{2}\frac{\pi}{3}-3xcosec\frac{\pi}{6}+2\tan\frac{\pi}{4}&=&0\\4x^{2}-3x(2)+2(1)&=&0\\2x^{2}-3x+1&=&0\\(2x-1)(x-1)&=&0\\so\\x=\frac{1}{2}\quad ,x=1\end{array}
ดังนั้นตอนนี้เราได้ \(a=\frac{1}{2}\) และ \(b=1\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}a+b&=&\frac{1}{2}+1\\&=&\frac{3}{2}\end{array}
-
ฝึกทำโจทย์คณิตศาสตร์ (85)
85. ค่าของ \(\frac{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}-1}{\tan\theta-\sin\theta\cos\theta}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
- \(\cot\theta\)
- \(2\cot\theta\)
- \(2\)
- \(\frac{1}{\tan^{2}\theta}\)
- \(2\cot^{2}\theta\)
วิธีทำ ข้อนี้สิ่งที่ต้องรู่คือ
\(\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta =1\) ดังนั้น \(sin^{2}\theta =1-\cos^{2}\theta\)
\(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)
\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
เอาละมาเริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\frac{(\sin\theta + \cos\theta )^{2}-1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}&=&\frac{\sin^{2}+2\sin\theta\cos\theta +\cos^{2}\theta -1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta +\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta - 1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta +1-1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\color{red}{\frac{\cos\theta}{\cos\theta}}\times \frac{2\sin\theta\cos\theta}{tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos^{2}\theta}{\sin\theta-\sin\theta\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{\sin\theta(2\cos^{2}\theta)}{\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)}\\&=&\frac{2\cos^{2}\theta}{1-\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{2\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\\&=&2\cot^{2}\theta\quad\underline{Ans}\end{array}