1. ถ้า \(\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=11\) แล้ว \(\frac{x^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}+y^{4}}{x^{4}+5x^{2}y^{2}+y^{4}}\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ โจทย์แนวนี้ชอบออก เป็นข้อสอบสอบเข้าพวกโรงเรียนดังๆ แนวทางในการทำ หลักๆ มี 2 วิธี แต่ผมจะเลือกทำให้ดูแค่วิธีเดียวก็พอแล้ว เราจะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้หา กำลังสูงสุดคือกำลัง 4 แต่สิ่งที่โจทย์ให้มา กำลังสูงสุดแค่ 2 ดังนั้นสิ่งที่เราควรที่จะทำคือ เอาสิ่งที่โจทย์ให้มา นำมายกกำลัง 2 เริ่มทำเลยนะคับ

\begin{array}{lcl}\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}&=&11\\x^{2}+y^{2}&=&11xy\quad\cdots (1)\end{array}

ต่อไปนำสมการ \((1)\) มายกกำลังสองทั้งสองข้างเลย ใช้กำลังสองสมบูรณ์ในการยกกำลังสองเลยนะคับจะได้

\begin{array}{lcl}(x^{2}+y^{2})^{2}&=&(11xy)^{2}\\x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}&=&121x^{2}y^{2}\quad\cdots(2)\\x^{4}+y^{4}&=&121x^{2}y^{2}-2x^{2}y^{2}\\x^{4}+y^{4}&=&119x^{2}y^{2}\quad\cdots (3)\end{array}

เก็บพวกสมการที่ \((1),(2)\) และ \((3)\) ไว้ก่อน ต่อไปเรามาดูสิ่งที่โจทย์ให้หา ดูส่วนแรกก่อนนะคับก็คือ

ตัวเศษก่อนจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}+y^{4}&=&x^{4}+y^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}\\&=&x^{4}+y^{4}-3x^{2}y^{2}+xy(x^{2}+y^{2})\\&=&119x^{2}y^{2}-3x^{2}y^{2}+xy(11xy)\\&=&116x^{2}y^{2}+11x^{2}y^{2}\\&=&127x^{2}y^{2}\end{array}

ตัวส่วนจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{4}+5x^{2}y^{2}+y^{4}&=&x^{4}+y^{4}+5x^{2}y^{2}\\&=&119x^{2}y^{2}+5x^{2}y^{2}\\&=&124x^{2}y^{2}\end{array}

ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ

\begin{array}{lcl}\frac{x^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}+y^{4}}{x^{4}+5x^{2}y^{2}+y^{4}}&=&\frac{127x^{2}y^{2}}{124x^{2}y^{2}}\\&=&\frac{127}{124}\end{array}

35. กำหนดให้ \(a^{3n}=5\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริง  และ \(n\) เป็นจำนวนเต็ม แล้ว \(\frac{a^{4n}+a^{7n}+a^{-5n}}{a^{-2n}+a^{n}}\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ  ข้อนี้เราพยายามแยกเลขยกกำลังให้ให้อยู่ในรูป \(a^{3n}\) ให้ได้ เช่น

\(a^{4n}=a^{3n}a^{n}\)

\(a^{7n}=a^{3n}a^{3n}a^{n}\)

\(a^{-5n}=a^{-3n}a^{-3n}a^{n}\)

\(a^{-2n}=a^{-3n}a^{n}\)

ทุกคนน่าจะพอมองเห็นภาพแล้ว เริ่มทำกันเลยครับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{a^{4n}+a^{7n}+a^{-5n}}{a^{-2n}+a^{n}}&=&\frac{a^{3n}a^{n}+a^{3n}a^{3n}a^{n}+a^{-3n}a^{-3n}a^{n}}{a^{-3n}a^{n}+a^{n}}\\&=&\frac{5a^{n}+(5)(5)a^{n}+\frac{1}{5}(\frac{1}{5})a^{n}}{\frac{1}{5}a^{n}+a^{n}}\\&=&\frac{a^{n}(5+25+\frac{1}{25})}{a^{n}(\frac{1}{5}+1)}\\&=&(30+\frac{1}{25})\times \frac{5}{6}\\&=&25+\frac{1}{30}\\&=&\frac{751}{30}\end{array}

การที่จะทำโจทย์เลขยกกำลังได้เราจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับ ทฤษฎีของเลขยกกำลัง ครับซึ่งสามารถหา

อ่านได้ ตามลิงค์นี้ครับ ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกำลัง ทฤษฎีเกี่ยวกับเลขยกกำลังมีทั้งหมด 5 ข้อ น่ะครับ ต้องจำให้ได้ทั้งหมดทั้ง 5 ข้อเลยน่ะครับ เรื่องนี้เป็นเรื่องที่ไม่ยากครับ ต้องหัดทำโจทย์เยอะๆ เวลาเราไปโจทย์โจทย์เราต้องพิจารณาโจทย์ดูว่าจะใช้ทฤษฎีข้อไหนมาช่วยในการทำโจทย์ ต้องเลือกให้ถูกน่ะครับ ถ้าเลือกถูกก็จะแก้โจทย์ได้แบบง่ายๆครับ  ไม่ยากเลย หัดทำไปเรื่อยๆ ครับ มาลองทำโจทย์กันเลย...

บทความนี้ผมตั้งใจเขียนขึ้นมาเพิ่มเติม เพราะเห็นว่าบทความเก่าที่เขียนยังไม่ครอบคลุมเท่าที่ควร ผมก็เลยตั้งใจเขียนขึ้นมาอีกเพราะตอนนี้ไม่ค่อยได้ออกกำลังกายตอนเย็นฝนตกก็เลยพอมีเวลาว่าง สำหรับใครที่อ่านก็ทำความเข้าใจไปด้วยนะครับ อย่างอ่านแค่ผ่านๆ ตรงไหนที่ไม่เข้าใจก็อีเมล์ถามได้   หรือสามารถหาข้อมูลเพิ่มได้ถ้าไม่เข้าใจตรงไหน...เริ่มกันเลยครับ

ปล.สามารถอ่านเกี่ยวกับการทำโจทย์เลขยกกำลัง ม.5 ได้อีกที่ลิงค์นี้ครับ โจทย์เลขยกกำลัง ม.5

ตัวอย่าง กำหนด n เป็นจำนวนเต็มบวก ในแต่ละข้อจงเขียนให้เป็นรูปอย่างง่าย

\(1) \quad \frac{2^{n+4}- 2(2^{n})}{2(2^{n+3})}\)

วิธีทำ การทำข้อนี้ให้พวกเราใช้ ทฤษฎีเลขยกกำลังข้อนี้ จำได้ไหมเอ่ย  คือ \(a^{m+n}=a^{m}a^{n}\)

ดังนั้น \(2^{n+4}=2^{n}2^{4}\)  เข้าใจไหม ถ้าเข้าใจลองแยกตัวอื่นต่อเลย

 จากโจทย์

\(\quad \frac{2^{n+4}- 2(2^{n})}{2(2^{n+3})}\)

\(=\frac{2^{n}2^{4}-2\cdot 2^{n}}{2\cdot 2^{n}\cdot 2^{3}}\)        เห็นตัวร่วมไหมตัวร่วมคือสองกำลังเอ็นดึงตัวร่วมออกมาเลยนะ

\(=\frac{2^{n}(2^{4}-2)}{2\cdot 2^{n}\cdot 2^{3}}\)      มีตัวตัดทอนกันได้คือสองกำลังเอ็นตัดเลยนะ

\(=\frac{2^{4}-2}{2\cdot 2^{3}}\)

\(=\frac{16-2}{2^{4}}\)

\(=\frac{14}{16}\)      ตัดทอน

\(=\frac{7}{8} \quad Ans\)