กฎของโลปิตาล
เวลาเราหาลิมิตของฟังก์ชัน \(f(x)\) กล่าวคือ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)\) เมื่อเราเอา \(a\) ไปแทนค่าใน \(f(x)\) แล้วบวก ลบ คูณ หาร ปรากฎว่าได้ผลลัพธ์อยู่ในรูปแบบ \(\frac{0}{0} \quad,\frac{\infty}{\infty},\quad\infty -\infty,\quad 0\cdot \infty,\quad 0^{0}\quad , \quad 1^{\infty},\quad \infty^{0}\)
ถ้าเป็นแบบนี้วิธีการทำต่อไปก็คือใช้กฏโลปิตาล กฎของโลปิตาลก็คือดิฟ ดิฟไปเรื่อยๆจนกว่าจะหาลิมิตฟังก์ชันได้ อ่านมาถึงตรงนี้อาจจะงงๆ เรามาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับ
แบบฝึกหัด กฏโลปิตาล
1. จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้
1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1}\frac{3x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}\)
วิธีทำ ลองเอา \((-1)\) ไปแทนใน \(\frac{3x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{3x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}&=&\frac{3(-1)^{2}+2(-1)-1}{(-1)^{2}-1}\\&=&\frac{0}{0}\end{array}
จะเห็นว่าเมื่อแทนค่าแล้วผลลัพธ์อยู่ในรูปแบบ \(\frac{0}{0}\) ดังนั้นการหาลิมิตข้อนี้ต้องใช้กฏโลปิตาลครับ ก็คือ เอาตัวเศษมาดิฟ และก็เอาตัวส่วนมาดิฟด้วย
เอาตัวเศษมาดิฟก่อนจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{d}{dx}(3x^{2}+2x-1)&=&6x+2\end{array}
เอาตัวส่วนมาดิฟบ้างจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{d}{dx}(x^{2}-1)&=&2x\end{array}
ทีนี้ดิฟเสร็จแล้วก็จะได้ดังนี้
\begin{array}{lcl}\frac{6x+2}{2x}\end{array}
และเมื่อลองแทนค่า \(x\) ด้วย \((-1)\) ดูจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{6x+2}{2x}&=&\frac{6(-1)+2}{2(-1)}\\&=&\frac{-4}{-2}\\&=&2\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1}\frac{3x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1}\frac{6x+2}{2x}\\&=&\frac{6(-1)+2}{2(-1)}\\&=&\frac{-4}{-2}\\&=&2\end{array}
2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4x+4}\)
วิธีทำ ลองเอา \(2\) ไปแทนดูจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4x+4}&=&\frac{(2)^{2}-3(2)+2}{x^{2}-4(2)+4}\\&=&\frac{0}{0}\end{array}
จะเห็นว่าผลลัพธ์อยู่ในรูปของ \(\frac{0}{0}\) ดังนั้นต้องใช้กฏของโลปิตาลในการหาค่าของลิมิตในข้อนี้ครับ
ดิฟตัวเศษก่อนจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+2)&=&2x-3\end{array}
ดิฟตัวส่วนจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{d}{dx}(x^{2}-4x+4)&=&2x-4\end{array}
หลังดิฟเสร็จแล้วจะได้ว่า ดังนี้
\(\frac{2x-3}{2x-4}\) ลองแทนค่า \(x\) ด้วย \(2\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{2x-3}{2x-4}&=&\frac{2(2)-3}{2(2)-4}\\&=&\frac{1}{0}\end{array}
ดังนั้น ลิมิตของฟังก์ชันนี้หาค่าไม่ได้ครับ
3) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-3x+2}{x^{3}-4x^{2}+5x-2}\)
วิธีทำ เมื่อเราแทน \(x\) ด้วย \(1\) ลงไปเราจะเห็นว่า
\begin{array}{lcl}\frac{x^{3}-3x+2}{x^{3}-4x^{2}+5x-2}&=&\frac{1^{3}-3(1)+2}{1^{3}-4(1)^{2}+5(1)-2}\\&=&\frac{0}{0}\end{array}
ดังนั้นข้อนี้ต้องใช้กฏโลปิตาลเลยครับ
ดิฟตัวเศษก่อนจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{d}{dx}(x^{3}-3x+2)&=&3x^{2}-3\end{array}
ดิฟตัวส่วนจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{d}{dx}(x^{3}-4x^{2}+5x-2)&=&3x^{2}-8x+5\end{array}
หลังจากดิฟแล้วจะได้ว่า
\(\frac{3x^{2}-3}{3x^{2}-8x+5}\) และจะเห็นอีกว่าเมื่อแทน \(x\) ด้วย \(1\) ลงไปอีกจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{3x^{2}-3}{3x^{2}-8x+5}&=&\frac{3(1)^{2}-3}{3(1)^{2}-8(1)+5}&=&\frac{0}{0}\end{array}
ยังคงเป็น \(\frac{0}{0}\) อยู่ดังนั้นต้อง ดิฟอีกรอบครับ เริ่มเลย
ดิฟตัวเศษจะได้
\(\frac{d}{dx}3x^{2}-3=6x\)
ดิฟตัวส่วนจะได้
\(\frac{d}{dx}3x^{2}-8x+5=6x-8\)
ดังนั้นหลังจากดิฟแล้วจะได้
\(\frac{6x}{6x-8}\) ลองแทนค่า \(x\) ด้วย \(1\) ลงไปจะได้ว่า
\(\frac{6x}{6x-8}=\frac{6(1)}{6(1)-8}=\frac{6}{-2}=-3\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{3}-3x+2}{x^{3}-4x^{2}+5x-2}&=&-3\end{array}
4) กำหนดให้ \(\mathbb{R}\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดคล้องกับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{\sqrt{1+f(x)}-3}=6\) และ \(1+f(x)\geq 0\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) ถ้าเส้นตรง \(6x-y=4\) ตัดกับกราฟ \(y=f(x)\) ที่ \(x=2\) แล้วค่าของ \(f^{\prime}(2)\) เท่ากับเท่าใด[Pat 1 ต.ค.58/33]
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้กฏโลปิตาล แต่ใช้ไม่เยอะครับ เอาละเรามาลองวิเคราะห์โจทย์และทำไปทีละขั้นตอนกันครับผม ซึ่งโจทย์บอกว่า เส้นตรง \(6x-y=4\) ตัดกราฟ \(y=f(x)\) ที่ \(x=2\) นั่นคือกราฟสองกราฟนี้ตัดกันที่จุดต่อไปนี้
\begin{array}{lcl}6x-y&=&4\\6(2)-y&=&4\\y&=&8\end{array}
นั่นคือ กราฟสองกราฟนี้ตัดกันที่จุด \((2,8)\) นั่นเองครับหรือก็คือ \(f(2)=8\) นั่นเองครับ
ที่นี้เราไปดูต่อครับ จะเห็นว่าลิมิตที่เขาให้หาคือ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{\sqrt{1+f(x)}-3}\)
เมื่อแทนค่า \(x\) ด้วย \(2\) ลงไปในลิมิตนี้จะได้ค่าคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{\sqrt{1+f(x)}-3}&=&\frac{2^{2}+2-6}{\sqrt{2+f(2)}-3}\\&=&\frac{6-6}{\sqrt{1+8}-3}\\&=&\frac{0}{0}\end{array}
นั่นก็คือการที่เราจะต้องใช้กฏโลปิตาลในการแก้โจทย์ข้อนี้ เพื่อหาค่า \(f^{\prime}(2)\) ออกมาให้ได้ครับ
เริ่มใช้กฏโลปิตาลกันเลยนั่นก็คือ หาอนุพันธ์ของตัวเศษก่อน
\(\frac{d}{dx}(x^{2}+x-6)=2x+1\)
ต่อไปก็คือหาหาอนุพันธ์ของตัวส่วน หาอนุพันธ์ของตัวส่วนยากหน่อยเพราะต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
\begin{array}{lcl}\frac{d}{dx}(\sqrt{1+f(x)}-3)&=&\frac{d}{dx}(1+f(x))^{\frac{1}{2}}-3\\&=&\frac{1}{2}(1+f(x))^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(x)\end{array}
เมื่อดิฟหรือใช้กฏโลปิตาลเสร็จแล้วเราก็หาลิมิตต่อครับ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+1}{\frac{1}{2}(1+f(x))^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(x)}&=&\frac{2(2)+1}{\frac{1}{2}(1+f(2))^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5}{\frac{1}{2}(1+8)^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5}{\frac{1}{2}(9)^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5\times (9)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5\times 3}{\frac{1}{2}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{15\times 2}{f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{30}{f^{\prime}(2)}\end{array}
แต่จากโจทย์เราจะเห็นว่าโจทย์กำหนดให้มาว่าลิมิตของข้อนี้มีค่าเท่ากับ \(6\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{30}{f^{\prime}(2)}&=&6\\f^{\prime}(2)&=&\frac{30}{6}\\f^{\prime}(2)&=&5\end{array}
ข้อนี้ตอบ \(5\) นั่นเองครับ
5) ให้ \(\mathbb{R}\) แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) เป็นฟังก์ชันโดยที่ \(f(3)=111\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{xf(x)-333}{x-3}=2013\) แล้วอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(f(x)\) เทียบกับ \(x\) ขณะที่ \(x=3\) เท่ากับเท่าใด [Pat 1 เม.ย.57/42]
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าอ่านโจทย์ดีๆ โจทย์ให้เราหา \(f^{\prime}(3)\) นั่นเองครับ ไปเริ่มหากันเลยครับการเริ่มต้นทำก็คือเริ่มต้นจากลิมิตที่โจทย์กำหนดมาให้นั้นเองครับ ซึ่งเราจะเห็นว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{xf(x)-333}{x-3}&=&\frac{3(111)-333}{3-3}\\&=&\frac{0}{0}\end{array}
นั่นคือข้อนี้ต้องใช้กฏโลปิตาลมาช่วยครับ จะได้ว่า
ดิฟตัวเศษก่อนได้ว่า
\(\frac{d}{dx}(xf(x)-333)=x\cdot f^{\prime}(x)+f(x)(1)\)
ดิฟตัวส่วนจะได้ว่า
\(\frac{d}{dx}(x-3)=1\)
ใช้กฏโลปิตาลได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x\cdot f^{\prime}(x)+f(x)}{1}&=&\frac{3\cdot f^{\prime}(3)+f(3)}{1}\\&=&3\cdot f^{\prime}(3)+111\end{array}
แต่เนื่องจากลิมิตของข้อนี้โจทย์บอกว่ามีค่าเท่ากับ \(2013\) ดังนั้นจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}3\cdot f^{\prime}(3)+111&=&2013\\f^{\prime}(3)&=&\frac{2013-111}{3}\\f^{\prime}(x)&=&634\end{array}
ข้อนี้ตอบ \(634\)
ใครที่อยากลองทำโจทย์แข่งขันเพิ่มเติม ให้ไปศึกษาต่อที่เว็บ rathcenter ได้ครับ
สนับสนุนเว็บไซต์