บทความนี้เป็นบทความเกี่ยวกับแบบฝึกหัดการวัดการกระจายสัมพัทธ์นะครับ ผมจะเฉลยโจทย์ให้สำหรับฝึกอ่านทบทวน ครับ สำหรับใครที่ยังตามไม่ทันในห้องเรียนจะได้มีอะไรอ่านทบทวน สำหรับคนที่ได้แล้วก็พยายามหาโจทย์มาทำเพิ่มเติมจากที่อื่นครับ ซึ่งการวัดการจายสัมพัทธ์เอาไว้วัดการกระจายข้อมูลที่มีมากกว่า 1 ชุด การวัดการกระจายสัมพัทธ์ที่นิยมใช้มี 4 ชนิด ได้แก่
1. สัมประสิทธิ์ของพิสัย(Coefficient of range) หาได้จาก
\[C.R.=\frac{X_{max}-X_{min}}{X_{max}+X_{min}}\]
2. สัมประะสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Coefficient of quartile deviation) หาได้จาก
\[C.Q.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\]
3. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(Coefficient of mean deviation) หาได้จาก
\[C.M.=\frac{M.D.}{\bar{x}}\]
4.สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน(Coefficient of variation) หาได้จาก
\[C.V.=\frac{S.D.}{\bar{x}}\]
ซึ่งเรื่อง การวัดการกระจายสัมพัทธ์ ผมได้เขียนไว้บางแล้วใครที่อยากอ่านเพิ่มเติมก็ไปตามลิงค์เลยคับผม บทความนี้จะเขียนแยกนะคับและยังพวกใบงานแบบฝึกหัดให้ลองดาวน์โหลดเอาไปฝึกทำดูได้ด้วยครับ ลองๆเอาไปฝึกทำดูคับผม
ใบความรู้เรื่องการวัดการกระจายสัมพัทธ์
เอาละมาเริ่มทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการวัดการกระจายสัมพัทธ์กันเลยครับผม
1. ตารางที่กำหนดให้เป็นตารางคะแนนสอบ 2 ครั้ง ของนักเรียน 5 คน
| คะแนนสอบครั้งที่ 1 | 3 | 5 | 10 | 6 | 8 |
| คะแนนสอบครั้งที่ 2 | 52 | 50 | 55 | 48 | 51 |
จงใช้สัมประสิทธิ์ของพิสัยเปรียบเทียบคะแนนของนักเรียนว่า การสอบครั้งใดดีกว่ากัน
วิธีทำ
สัมประสิทธิ์ของพิสัยของคะแนนสอบครั้งที่ 1 หาได้จาก
\begin{array}{lcl}\frac{X_{max}-X_{min}}{X_{max}+X_{min}}&=&\frac{10-3}{10+3}\\&=&\frac{7}{13}\\&=&0.54\end{array}
สัมประสิทธิ์ของพิสัยของคะแนนสอบครั้งที่ 2 หาได้จาก
\begin{array}{lcl}\frac{X_{max}-X_{min}}{X_{max}+X_{min}}&=&\frac{55-48}{55+48}\\&=&\frac{7}{103}\\&=&0.07\end{array}
ซึ่งเราจะได้ว่าคะแนนสอบครั้งที่ 1 มีการกระจายมากกว่า คะแนนสอบครั้งที่ 2 ดังนั้นคะแนนการสอบครั้งที่ 2 ดีกว่าครั้งที่ 1
2. ถ้าสัมประสิทธิ์ของพิสัยของข้อมูลชุดหนึ่งเท่ากับ 1 และข้อมูลมีพิสัยเท่ากับ 3 จงหาค่าของข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดและค่าน้อยที่สุด
วิธีทำ จากโจทย์ พิสัยเท่ากับ 3 นั่นหมายความว่า
\(X_{max}-X_{min}=3\quad\cdots (1)\)
สัมประสิทธิ์ของพิสัยข้อมูลเท่ากับ 1 นั่นหมายความว่า
\(\frac{X_{max}-X_{min}}{X_{max}+X_{min}}=1\) จัดสมการนิดหนึ่งเอาค่าใน สมการที่ \((1)\) มาแทนหน่อยหนึ่งและจัดรูปสมการให้สวยงามจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{3}{X_{max}+X_{min}}&=&1\\X_{max}+X_{min}&=&3\quad\cdots (2)\end{array}
จากสมการที่ \((1)\) และสมการที่ \((2)\) ที่เราสองสมการนี้มาบวกกันเราก็จะได้
\begin{array}{lcl}2X_{max}&=&6\\X_{max}&=&\frac{6}{2}\\X_{max}&=&3\end{array}
นั่นหมายความว่า ค่ามากที่สุดคือ \(3\) จึงได้ตามมาว่า ค่าน้อยสุดคือ \(0\) นั่นเองครับผม
\(X_{max}=3\)
\(X_{min}=0\)
3. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ \(\frac{2}{3}\) และส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์มีค่าเท่ากับ 2 จงหาค่าของควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลนี้
วิธีทำ อย่าลืมสูตรส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์(Q.D.)นะครับ จากโจทย์เราได้ว่า
\begin{array}{lcl}Q.D.&=&\frac{Q_3-Q_1}{2}\\2&=&\frac{Q_3-Q_1}{2}\\Q_3-Q_1&=&4\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์บอกอีกว่า สัมประสิทธิ์ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ \(\frac{2}{3}\) นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}C.Q.&=&\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\\frac{2}{3}&=&\frac{4}{Q_{3}+Q_{1}}\\Q_{3}+Q_{1}&=&6\quad \cdots (2)\end{array}
พอมาถึงตรงนี้เราจะเห็นสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ถ้านำสองสมการนี้มาบวก เราก็จะได้คำตอบเลยใช่ไหม เอาละเริ่มทำต่อเลย
นำสมการ \((1)+(2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}2Q_{3}&=&10\\Q_{3}&=&5\end{array}
นั่นคือ ควอร์ไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 5
4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ครั้งหนึ่ง ปรากฎว่า สีชังได้คะแนนอยู่ในตำแหน่ง \(P_{25}\) ส่วนแปดริ้วได้คะแนนอยู่ในตำแหน่ง \(P_{75}\) ถ้าในการสอบครั้งนี้มีส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ 24 คะแนน และสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนคอวร์ไทล์เท่ากับ 0.20 แล้ว สีชังและแปดริ้วจะสอบได้คะแนนคนละเท่าใด
วิธีทำ เริ่มทำจากสิ่งที่โจทย์ให้มาเลยคับ โจทย์บอกมาว่า
\begin{array}{lcl}Q.D.&=&\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}\\24&=&\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}\\Q_{3}-Q_{1}&=&48\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์บอกอีกว่า
\begin{array}{lcl}C.Q.=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\0.20&=&\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\0.20&=&\frac{48}{Q_{3}+Q_{1}}\\Q_{3}+Q_{1}&=&\frac{48}{0.2}\\Q_{3}+Q_{1}&=&240\quad\cdots (2)\end{array}
ต่อไปลองจับสมการที่ \((1)+(2)\) ดูครับจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}2Q_{3}&=&288\\Q_{3}&=&144\end{array}
ต่อไปหาค่า \(Q_{1}\) จาก
\begin{array}{lcl}Q_{3}+Q_{1}&=&240\\144+Q_{1}&=&240\\Q_{1}&=&240-144\\Q_{1}&=&96\end{array}
จากพวกเรื่องQuartile (ควอร์ไทล์)และ Percentile(เปอร์เซนไทล์) ที่เราเรียนมาเรารู้ว่า
\(P_{25}=Q_{1}\) และ \(P_{75}=Q_{3}\)
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\(P_{25}=96\) นั่นคือสีชังสอบได้ 96 คะแนน
\(P_{75}=144\) นั่นคือแปดริ้วสอบได้ 144 คะแนน
5. จากการวิเครมะห์ข้อมูลชุดหนึ่งซึ่งมี 300 จำนวน มี \(\displaystyle\sum_{i=1}^{300} x_{i}=19500\) และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{300} x_{i}^{2}=1,282,200\) จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ สูตรการหา สัมประสิทธิ์ของการแปรผันคือ
\(C.V.=\frac{S.D.}{\bar{x}}\)
ดังนั้นเราจะต้องหาค่าของ \(S.D.\) และ \(\bar{x}\) ออกมาให้ได้ครับ
อย่าลืมนะครับว่า สูตรในการหาค่าของ \(S.D.\) มี 2 สูตรนะคับ คือ
\(S.D.=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n}}\quad\cdots (1)\)
\(S.D.=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum x_{i}^{2}}{n}-\bar{x}^{2}}\quad\cdots (2)\)
จากสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้ ทำให้ต้องเลือกใช้สูตรที่ \((2)\) ครับผม นั่นคือเราจะได้ว่า
\(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{300}x_{i}^{2}}{n}=\frac{1,282,200}{300}=4274\)
\(\bar{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{300}x_{i}}{n}=\frac{19500}{300}=65\)
นั่นคือ
\(\bar{x}^{2}=65\times 65=4225\)
เราเอาค่าที่เราหามาทั้งหมดด้านบน ไปแทนค่าเพื่อหาค่า \(S.D.\) ออกมาครับจะได้ดังนี้
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum x_{i}^{2}}{n}-\bar{x}^{2}}\\&=&\sqrt{4274-4225}\\&=&\sqrt{49}\\&=&7\end{array}
จากตรงนี้ เราได้ค่า \(S.D.\) และค่าของ \(\bar{x}\) แล้ว ต่อไปเราก็หาสัมประสิทธิ์การแปรผันได้ว่าครับผม
\begin{array}{lcl}C.V.&=&\frac{S.D.}{\bar{x}}\\&=&\frac{7}{65}\\&=&0.11\quad \underline{Ans}\end{array}
6. นักเรียน 2 คน มีน้ำหนักเฉลี่ยเท่ากับ 60 กิโลกรัม และสัมประสิทธิ์ของพิสัยของน้ำหนักเท่ากับ 0.2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ำหนักนักเรียนสองคนนี้เป็นเท่าใด
วิธีทำ จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้คือมีนักเรียนสองคน คนที่มีน้ำหนักมากสุดให้มีน้ำเป็น \(X_{max}\)
คนที่มีน้ำหนักน้อยให้มีน้ำหนักเป็น \(X_{min}\) ดังนั้น น้ำหนังเฉลี่ยสองคนเท่ากับ 60 กิโลกรัม เราจึงได้สมการเป็น
\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{X_{max}+X_{min}}{2}\\60&=&\frac{X_{max}+X_{min}}{2}\\120&=&X_{max}+X_{min}\quad \cdots (1)\end{array}
จากสัมประสิทธิ์ของพิสัยน้ำหนักเท่ากับ 0.2 เราจะได้ว่าสมการคือ
\begin{array}{lcl}0.2&=&\frac{X_{max}-X_{min}}{X_{max}+X_{min}}\\0.2&=&\frac{X_{max}-X_{min}}{120}\\X_{max}-X_{min}&=&24\quad \cdots (2)\end{array}
จากสมการ (1) และ (2) นำสมการทั้งสองมาบวกกันก็จะได้
\begin{array}{lcl}2X_{max}&=&144\\X_{max}&=&72\end{array}
เนื่องจาก \(X_{max}+X_{min}=120\) และ \(X_{max}=72\) ดังนั้น \(X_{min}=48\)
โจทย์ให้เราหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ำหนักนักเรียนสองคนนี้
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n}}\\S.D.&=&\sqrt{\frac{(72-60)^{2}+(48-60)^{2}}{2}}\\S.D.&=&\sqrt{\frac{12^{2}+(-12)^{2}}{2}}\\S.D.&=&12\end{array}
7. จากการวัดความยาวของใบมะม่วง 10 ใบ ได้ผลการคำนวณดังนี้ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=60\) และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-5)^{2}=46\) จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันความยาวของใบมะม่วง
วิธีทำ จากที่โจทย์กำหนดให้คือ
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=60\]
ดังนั้นเราจะได้ความยาวเฉลี่ยของใบไม้คือ
\[\bar{x}=\frac{60}{10}=6\]
แต่โจทย์ให้เราหาสัมประสิทธิ์การแปรผัน ก็คือหา
\[C.V.=\frac{S.D.}{\bar{x}}\]
ดังนั้น เราต้องหาค่า \(S.D.\) ให้ได้ครับผม เริ่มหากันเลย แต่เริ่มจากตรงนี้นะคับ ค่อยๆอ่านตาม
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-5)^{2}&=&46\\\displaystyle\sum(x_{i}^{2}-10x_{i}+25)&=&46\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}-10\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}25&=&46\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-10(60)+(25)(10)&=&46\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}&=&46+600-250\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}&=&396\end{array}
จากที่เราทำมาทั้งหมด เราได้ ค่าของ \(\overline{x}=6\) และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=396\) เรานำค่าตรงนี้ไปหาค่าของ \(S.D.\) ได้คับผม
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\overline{x})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{396}{10}-(6)^{2}}\\&\approx & 1.9\end{array}
ดังนั้นสัมประสิทธิ์การแปรผันของความยาวใบมะม่วงคือ
\begin{array}{lcl}C.V.&=&\frac{S.D.}{\bar{x}}\\&=&\frac{1.9}{6}\\&=&0.32\quad\underline{Ans}\end{array}
8. ในการสอบแข่งขันชิงทุนการศึกษา มีผู้เข้าสอบ 1000 คน เป็นชาย 600 คน หญิง 400 คน คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนชายและหญิงเท่ากันคือ 50 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบนักเรียนชายและหญิงเท่ากับ 1.5 และ 1 คะแนน ตามลำดับ จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนทั้่งหมด
วิธีทำ ส่งที่โจทย์ให้หาค่า ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันหรือก็คือ \(C.V.=\frac{S.D.}{\overline{x}}\)
เราต้องหาส่วนเบี่ยงมาตรฐานของคะแนนสอบของนักเรียนชายและหญิงออกมาให้ได้ ซึ่งการหาตรงนี้เราสามารถหาได้จากความแปรรวมรวมได้ ซึ่งความแปรรวมในกรณีที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลเท่ากันหาได้จากสูตร
\[S.D.^{2}_{\text{รวม}}=\frac{(N_{1}\times S.D._{1}^{2})+(S.D._{2}^{2}\times N_{2})}{N_{1}+N_{2}}\]
ต่อไปเราก็หาความแปรปรวนรวมของคะแนนสอบนักเรียนชายและนักเรียนหญิงกันเลยครับ ได้ว่า
\begin{array}{lcl}S.D.^{2}_{\text{รวม}}&=&\frac{(N_{1}\times S.D._{1}^{2})+(S.D._{2}^{2}\times N_{2})}{N_{1}+N_{2}}\\&=&\frac{(600\times 1.5^{2})+(400\times 1^{2})}{600+400}\\&=&\frac{1750}{1000}\\&=&1.75\end{array}
ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\(S.D.=\sqrt{1.75}\)
ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนทั้งหมดคือ
\begin{array}{lcl}C.V.&=&\frac{S.D.}{\overline{x}}\\&=&\frac{\sqrt{1.75}}{50}\end{array}
9. ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ \(\frac{2}{3}\) และพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (interquartile range) เท่ากับ 48 จงหาค่ากึ่งควอร์ไทล์ \((\frac{Q_{1}+Q_{3})\) ของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ
\(\text{พิสัยระหว่างควอร์ไทล์} =\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}48&=&\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}\\Q_{3}-Q_{1}&=&96\quad\cdots (1)\end{array}
ต่อไปโจทย์บอกว่า ค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์เท่ากับ \(\frac{2}{3}\) นั่นคือ
\begin{array}{lcl}C.Q.&=&\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\\frac{2}{3}&=&\frac{Q_{3}-Q_{1}}{Q_{3}+Q_{1}}\\\frac{2}{3}&=&\frac{96}{Q_{3}+Q_{1}}\\Q_{3}+Q_{1}&=&\frac{96\times 3}{2}\\&=&144\end{array}
ดังนั้น
ค่ากึ่งกลางควอร์ไทล์ คือ \(\frac{Q_{3}+Q_{1}}{2}=\frac{144}{2}=72\)
10.ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง ปรากฎว่าคะแนนสอบของนักเรียนชายมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 25 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 6.25 คะแนน ถ้าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบของนักเรียนหญิงและนักเรียนชายเท่ากัน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของนักเรียนหญิงเท่ากับ 4 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนหญิง
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไร แทนค่าถูก็ได้คะแนนแล้ว
จากโจทย์
\(\overline{x}_{\text{ชาย}}=25\)
\(S.D._{\text{ชาย}}=6.25\)
ดังนั้น สัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบนักเรียนชายคือ
\begin{array}{lcl}C.V._{\text{ชาย}}&=&\frac{6.25}{25}\\&=&0.25\end{array}
และโจทย์บอกอีกว่าสัมประสิทธิ์ของคะแนนสอบนักเรียนชายและนักเรียนหญิงเท่ากัน ดังนั้น
\begin{array}{lcl}C.V._{\text{หญิง}}&=&\frac{S.D._{\text{หญิง}}}{\overline{x}_\text{หญิง}}\\0.25&=&\frac{4}{\overline{x}_\text{หญิง}}\\\overline{x}_\text{หญิง}&=&\frac{4}{0.25}\\&=&16\quad \underline{Ans}\end{array}
*** สามารถอ่านแบบฝึกหัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการวัดการกระจายสัมพัทธ์ ตามลิงค์ด้านล่างอีกคับ
- แบบฝึกหัดการวัดการกระจายสัมพัทธ์
- การวัดการกระจายสัมพัทธ์
- ใบความรู้เรื่องการวัดการกระจายสัมพัทธ์
- การวัดการกระจายของข้อมูล
สนับสนุนเว็บไซต์