วันนี้ผมจะหาแบบฝึกหัดที่เกี่ยวข้องกับพวกลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันมาเฉลยเพื่อเป็นตัวอย่างในการทำแบบฝึกหัดข้ออื่นๆต่อไปนะครับผม ส่วนความต่อเนื่องของฟังก์ชันและลิมิตของฟังก์ชันผมได้เขียนบทความไว้บ้างแล้วใครที่ต้องการอ่านก็ไปอ่านได้ตามลิงค์ด้านล่างเลยครับผม
แบบฝึกหัดการหาลิมิตของฟังก์ชัน
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องลิมิตและอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ข้อสอบคณิตโควต้า ม.เชียงใหม่เรื่องลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
เอาละอย่างที่บอกครับผม วันนี้จะทำโจทย์เกี่ยวกับลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชันกันครับไปดูกันเลย
1 ถ้า
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{(x-4)(\sqrt{2}+2)a}{\sqrt{x}-2}&\quad when \quad x>4\\&1&\quad when \quad x=4\\&x^{2}-b& when \quad x<4\end{matrix}\right.\)
โดยที่ \(a,b\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \(f\) ต่อเนื่องที่จุด \(x=4\) แล้ว \(f(a+\frac{b}{16})\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ต้องแม่นนิยามของเรื่องเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชันนะคับผม ไม่งั้นไปไม่เป็น ใครที่ยังไม่เข้าใจเกี่ยวกับนิยามความต่อเนื่องของฟ้งก์ชันให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ก่อนครับ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ต่อไปค่อยๆคิดตามนะครับ ไม่เข้าใจก็ถามได้ครับ
เนื่องจาก \(f\) ต่อเนื่องที่จุด \(x=4\) ดังนั้น
\(f(4)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}f(x)\)
ต่อไปหา \(f(4)\) เก็บไว้ก่อนจะได้ว่า \(f(4)=1\)
ต่อไปก็หาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ \(x\) เข้าสู่ 4 หาทั้งฟังก์ลิมิตซ้ายและลิมิตขวานะครับ
หาลิมิตซ้าย (อย่าลืมนะ x เข้าหา 4 จากทางซ้าย ดังนั้น x ต้องน้อยกว่า 4 นั่นคือ \(f(x)=x^{2}-b\))
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{-}}x^{2}-b\\&=&4^{2}-b\\&=&16-b\end{array}
หาลิมิตขวา (อย่าลืมนะ x เข้าหา 4 จากทางขวา ดังนั้น x ต้องมากว่า 4 นั่นคือต้องใช้ฟังก์ชันที่มีเงื่อนไข \(x>4\))
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{+}}\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)a}{(\sqrt{x}-2)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^{+}}\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)a(\sqrt{x}+2)}{(x+4)}\\&=&(4a)(4)\\&=&16a\end{array}
เนื่องจากฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่ \(x=4\) ดังนั้นสิ่งที่เราจะได้คือ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}f(x)=f(4)\) ซึ่งก็คือ
\(16-b=16a=1\) นำสมการพวกนี้ไปแก้ครับเพื่อหา \(a,b\) ออกมาเริ่มทำกันเลยถึงตรงนี้ไม่ยากแล้ว
\begin{array}{lcl}16a&=&1\\a&=&\frac{1}{16}\end{array}
\(16-b=1\)
\begin{array}{lcl}16-b&=&1\\b&=&15\end{array}
ต่อไปเข้าสู่ขั้นตอนการหาคำตอบ
โจทย์ให้หาค่าของ \(f(a+\frac{b}{16})\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(a+\frac{b}{16})&=&f(\frac{1}{16}+\frac{15}{16})=f(1)\end{array}
ดังนั้นโจทย์ต้องการหาค่า \(f(1)\) นั่นเองครับผม ง่ายเลยที่นี้ จะเห็นว่าเราต้องการหา \(f(1)\) ซึ่ง 1 มันน้อยกว่า 4 ดังนั้น เราต้องใช้ฟังก์ชันนี้ \(f(x)=x^{2}-b\) ในการหาค่า \(f(1)\) ครับจะได้
\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{2}-b\\f(1)&=&1^{2}-15\\f(1)&=&-14\quad \underline{Ans}\end{array}
2. ถ้า
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&-x+a & ;\quad x \leq -2\\&-\frac{2}{5}x+b&;\quad -2<x\leq 3\\&x^{2}-6x+11&;\quad x>3\end{matrix}\right.\)
ถ้าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=-2\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\)
แล้วจงหาค่าของ \(|a+5b|\)
วิธีทำ โจทย์ข้อนี้ดูดีนะคับไม่ยาก จะเห็นว่าโจทย์บอกว่าต่อเนื่องที่จุดสองจุด คือต่อเนื่องที่จุด \(x=-2\) และต่อเนื่องที่ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\) ความหมายอีกอย่างก็คือ ต่อเนื่องที่จุด \(x=-2\)และต่อเนื่องที่จุด \(x=3\) นั่นเองครับผม
\(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=-2\) ดังนั้น
\(f(-2)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}f(x)\)
จะได้
\(f(-2)=-(-2)+a=2+a\)
จะได้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}-\frac{2}{5}x+b\\&=&-\frac{2}{5}(-2)+b\\&=&\frac{4}{5}+b\end{array}
ดังนั้น เราได้ว่า
\(2+a=\frac{4}{5}+b\quad \cdots (1)\)
\(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=3\) ดังนั้น
\(f(3)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\)
จะได้
\(f(3)=-\frac{2}{5}(3)+b=-\frac{6}{5}+b\)
จะได้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow}x^{2}-6x+11\\&=&3^{2}+-(6)(3)+11\\&=&2\end{array}
ดังนั้นเราได้ว่า
\(-\frac{6}{5}+b=2\rightarrow b=\frac{16}{5}\) เอาค่า \(b\) ที่เราได้นี้ไปแทนในสมการ \((1)\) จะได้ \(a=2\)
เมื่อเรารู้ค่า \(a,b\) แล้ว เราก็หาคำตอบได้แล้วครับ
\begin{array}{\lcl}|a+5b|&=&|2+5\cdot\frac{16}{5}|\\&=&18\quad \underline{Ans}\end{array}
3. กำหนดให้ \(f(x)=|x^{2}+4x|\) และ \(g(x)=|x^{2}-16|\) ถ้า \(a,b\) เป็นคำตอบทั้งสองของสมการ \(f(x)=g(x)\) แล้ว
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}+\displaystyle\lim_{x\rightarrow b}\frac{f(x)}{g(x)}\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ เราต้องแก้สมการ \(f(x)=g(x)\) เพื่อหาค่าของ \(a\) กับ \(b\) ก่อนครับผม เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}f(x)&=&g(x)\\|x^{2}+4x|&=&|x^{2}-16|\\|x^{2}+4x|^{2}&=&|x^{2}-16|^{2}\\(x^{2}+4x)^{2}&=&(x^{2}-16)^{2}\\(x(x+4))^{2}&=&[(x-4)(x+4)]^{2}\\x^{2}(x+4)^{2}&=&(x-4)^{2}(x+4)^{2}\\x^{2}(x+4)^{2}-[(x-4)^{2}(x+4)^{2}]&=&0\\(x+4)^{2}\cdot[x^{2}-(x-4)^{2}]&=&0\end{array}
จะได้ว่า
\((x+4)^{2}=0\) หรือ\(x^{2}-(x=4)^{2}=0\)
กรณี \((x+4)^{2}=0\) จะได้ \(x=-4\)
กรณี \(x^{2}-(x-4)^{2}=0\) แก้สมการจะได้ \(x=2\) แก้สมการเองนะไม่ยาก
ดังนั้นตอนนี้เราได้คำตอบสองคำตอบคือ \(2,-4\) ผมกำหนดให้ \(a=2\) และ \(b=-4\) แล้วกันนะครับผม
ก่อนที่จะหาลิมิตเรามาดูตรงนี้กันก่อนจะเห็นว่า
\begin{array}{lcl}\frac{f(x)}{g(x)}&=&\frac{|x^{2}+4x|}{|x^{2}-16|}\\&=&\frac{|x(x+4)|}{|(x-4)(x+4)|}\\&=&\frac{|x|}{|(x-4)|}\end{array}
ผมจะหาลิมิตของแต่ละก้อน และค่อยมาบวกกันอีกทีนะครับผม
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{|x|}{|(x-4)|}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{-(x-4)}\\&=&1\end{array}
ต่อไปหาลิมิตอีกก่อนหนึ่ง
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}\frac{|x|}{|(x-4)|}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -4}\frac{-(x)}{-(x-4)}\\&=&\frac{4}{8}\\&=&\frac{1}{2}\end{array}
ดังนั้นคำตอบคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{|f(x)|}{|(g(x)|}+\displaystyle\lim_{x\rightarrow b}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}&=&1+\frac{1}{2}\\&=&\frac{3}{2}\quad \underline{Ans}\end{array}
4. กำหนดให้
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}&;x<1\\&a(x-2)+2&;x\geq 1\end{matrix}\right.\)
จงหาจำนวนจริง \(a\) ที่ทำให้ ฟังก์ชัน \(f\) มีความต่อเนื่องที่จุด \(x=1\) (โควต้า ม.เชียงใหม่)
วิธีทำ จากโจทย์ \(f\) มีความต่อเนื่องที่ \(x=1\) แสดงว่า
\(f(1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\) ใช่ไหมครับตามนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันเลย
หา \(f(1)\) รอไว้ก่อนเลยครับผม จากโจทย์ ดูเงื่อนไขของฟังก์ชันดีๆนะ จะได้วา
\(f(1)=a(-1)+2=-a+2\)
ต่อไปหา \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\) เริ่มหาเลย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow}\frac{2x^{2}-x-1}{x-1}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(2x+1)(x-1)}{(x-1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1} 2x+1\\&=&2(1)+1\\&=&3\end{array}
ต่อไปก็ไปสู่ขั้นตอนการหาคำตอบเลยครับผม
จากที่ \(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=1\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}f(1)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\\-a+2&=&3\\a&=&-1\end{array}
ดังนั้นข้อนี้ \(a=-1\) นั่นเองคับ ข้อสอบโควต้าง่ายๆไม่ยากครับผม
ใครที่อยากเรียนแบบคลิปผมได้ทำคลิปไว้สอนแล้วครับ และจะอัพเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ถ้ามีเวลาว่างทำครับผม
สนับสนุนเว็บไซต์