วันนี้เรามาดูนิยามของค่าคาดหมาย(expected value)กันครับ แต่สำหรับหัวข้อนี้ เราจะศึกษาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องครับ
นิยาม
ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง \(X\) เขียนแทนด้วย \(\mu_{x}\) นิยามโดย
\[\mu_{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\]
เมื่อ \(n\) แทนจำนวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) และ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\) แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)
หมายเหตุ ในกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม\(X\) เป็นเซตอนันต์ จะนิยามให้ \(\mu_{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}P(X=x_{i})\) แต่ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นเซตจำกัด
ต่อไปเรามาดูตัวอย่างการหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องกันครับ
ตัวอย่าง จำนวนพี่น้องของนักเรียนชั้น ม.6 ห้องหนึ่งซึ่งมีจำนวน 50 คน แสดงด้วยตารางความถี่ได้ดังนี้
| จำนวนพี่น้อง (คน) | ความถี่ |
| 0 | 6 |
| 1 | 22 |
| 2 | 17 |
| 3 | 4 |
| 4 | 1 |
ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มได้ จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\)
วิธีทำ จากโจทย์ตัวแปรสุ่ม\(X\) คือจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มมา 1 คน ดังนั้นจากตารางที่โจทย์กำหนดให้ ค่าของตัวแปรสุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ \(x=\{0,1,2,3,4\}\)
จากตารางจะได้ว่า
ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนไม่มีพี่น้องเลยคือ \(P(X=0)=\frac{6}{50}=0.12\)
ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 1 คนคือ \(P(X=1)=\frac{22}{50}=0.44\)
ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 2 คนคือ \(P(X=2)=\frac{17}{50}=0.34\)
ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 3 คนคือ \(P(X=3)=\frac{4}{50}=0.08\)
ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 4 คนคือ \(P(X=4)=\frac{1}{50}=0.02\)
เมื่อเราได้ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแล้ว ต่อไปเราก็ไปหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) เลย หาตามนิยาม เลยนะคับ
\begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&0(0.12)+1(0.44)+2(0.34)+3(0.08)+4(0.02)\\&=&1.44\end{array}
ดังนั้นค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 1.44 คน
เราสามารถหาค่าคาดหมายได้อีกวิธีนะคับ ก็คือเอาจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มมา มาหาค่าเฉลี่ย ดูนะผมทำดูไม่เชื่อได้ค่าเท่ากัน
\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{0(6)+1(22)+2(17)+3(4)+4(1)}{50}\\&=&1.44\end{array}
ดังนั้นจึงอาจเรียกค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มว่า ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม
2. กล่องใบหนึ่งบรรจุเบี้ย 6 อัน โดยมีหมายเลย 3,5,6,7,8 และ 11 กำกับไว้ ถ้าสุ่มหยิบเบี้ย 2 อัน โดยหยิบเบี้ยทีละอันและไม่ใส่คืนก่อนหยิบเบี้ยอันที่สอง และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ ผลบวกของหมายเลขบนเบี้ยทั้งสองอันที่สุ่มได้
1) จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม\(X\) พร้อมทั้งอธิบายความหมาย
วิธีทำ อ่านโจทย์เสร็จสิ่งที่เราต้องได้คือ sample space ของการหยิบเบี้ย ระวังหน่อยนะข้อนี้หยิบเบี้ยตัวแรก ไม่ใส่คืนแล้วก็หยิบอันที่ 2 ต่อเลย มาดู sample space เลยจะได้
\(s=\{(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,11),\\(5,3),(5,6),(5,7),(5,8),(5,11),(6,5),(6,3)\\,(6,7),(6,8),(6,11),(7,6),(7,5),(7,3),(7,8),\\(7,11),(8,7),(8,6),(8,5),(8,3),\\(8,11),(11,8),(11,7),(11,6),(11,5),(11,3)\}\)
และ \(n(s)=30\)
จากโจทย์กำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือผลบวกของเบี้ยที่สุ่มได้ ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ
\(x=\{8,9,10,11,14,12,13,16,17,15,18,19\}\)
จาก sample space เราจะเห็นว่า
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 8 ก็จะมี \(\{(3,5),(5,3)\}\) มีสมาชิก 2 ตัว
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 9 ก็จะมี\(\{(3,6),(6,3)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 10 ก็จะมี \(\{(3,7),(7,3)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 11 ก็จะมี \(\{(5,6),(6,5),(3,8),(8,3)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 14 ก็จะมี \(\{(8,6),(6,8),(3,11),(11,3)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 12 ก็จะมี \(\{(5,7),(7,5)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 13 ก็จะมี \(\{(6,7),(7,6)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 16 ก็จะมี \(\{(5,11),(11,5)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 17 ก็จะมี \(\{(6,11),(11,6)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 15 ก็จะมี \(\{(7,8),(8,7)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 18 ก็จะมี \(\{(7,11),(11,7)\}\)
ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 19 ก็จะมี \(\{(8,11),(11,8)\}\)
ดังนั้น
ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 8 คือ \(P(X=8)=\frac{2}{30}=0.07\)
ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 9 คือ \(P(X=9)=\frac{2}{30}=0.07\)
ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 10 คือ \(P(X=10)=\frac{2}{30}=0.07\)
ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 11 คือ \(P(X=11)=\frac{4}{30}=0.13\)
ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 12 คือ \(P(X=12)=\frac{2}{30}=0.07\)
ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 13 คือ \(P(X=13)=\frac{2}{30}=0.07\)
ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 14 คือ \(P(X=14)=\frac{4}{30}=0.13\)
ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 15 คือ \(P(X=15)=\frac{2}{30}=0.07\)
ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 16 คือ \(P(X=16)=\frac{2}{30}=0.07\)
ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 17 คือ \(P(X=17)=\frac{2}{30}=0.07\)
ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 18 คือ \(P(X=18)=\frac{2}{30}=0.07\)
ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 19 คือ \(P(X=19)=\frac{2}{30}=0.07\)
ต่อไปก็หาค่าคาดหมายครับ ก็เอาข้อมูลความน่าจะเป็นที่เรามีอยู่ไปแทนค่าในสูตรก็แค่นั้นครับ เริ่มแทนค่าเลย
\begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x)\\&=&8(0.07)+9(0.07)+10(0.07)\\&+&11(0.13)+12(0.07)+13(0.07)\\&+&14(0.13)+15(0.07)+16(0.07)\\&+&17(0.07)+18(0.07)+19(0.07)\\&=&0.56+0.63+0.7\\&+&1.43+0.84+0.91\\&+&1.82+1.05+1.12\\&+&1.19+1.26+1.33\\&=&12.84\end{array}
นั่นหมายความว่า ผลบวกของหมายเลขบนเบี้ยทั้งสอง เมื่อสุ่มเบี้ยครั้งละ 1 อันโดยหยิบเบี้ยครั้งแรกและไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบเบี้ยอันที่สองมีผลเฉลี่ยของของหมายเลขของเบี้ยทั้งสองประมาณต้องใช้คำว่าประมาณนะคับเพราะจะเห็นว่าตัวเลขที่เป็นความน่าจะเป็นข้างบนมันหารไม่ลงตัวอยู่ที่ประมาณ 12.84 แต้ม นี่แหละครับวิธีการทำข้อนี้ครับ ซึ่งถ้าเรามองให้กว้างๆ จะเห็นว่าเรื่องของตัวแปรสุ่มนี้มันสามารถขยายความรู้ไปใช้ในชีวิตประจำวันได้ โดยเฉพาะในแง่ของการตัดสินใจ วางแผนการทำงานในอนาคตโดยมีเงื่อนไขต่างๆมาให้ตัดสินใจ ถ้าเรามีความรู้เรื่องนี้ เราก็จะสามารถตัดสินใจได้อย่างถูกต้อง ครับ เดี๋ยวจะยกตัวอย่างให้ดูต่อไป
3. ลูกค้ารายหนึ่งต้องการทำประกันชีวิตกับบริษัทมั่นใจประกันชีวิต โดยกำหนดทุนประกัน 2,000,000 บาท(นั่นคือ ในกรณีที่ลูกค้าเสียชีวิต บริษัทจะต้องจ่ายเงินให้ผู้รับประโยชน์ที่ลูกค้าระบุไว้เป็นจำนวนเงิน 2,000,000 บาท) และลูกค้าจะต้องจ่ายค่าเบี้ยประกันปีละ 50,000 บาท ถ้าลูกค้ารายนี้มีภาวะหยุดหายใจขณะหลับ โดยโอกาสที่เขาจะเสียชีวิตในแต่ละปีคิดเป็นร้อยละ 1 จงพิจารณาว่าถ้าบริษัทมั่นใจประกันชีวิตรับทำประกันชีวิตให้กับลูกค้ารายนี้ บริษัทจะได้กำไรหรือขาดทุนโดยเฉลี่ยปีละกี่บาท
วิธีทำ ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือกำไรหรืออาจจะขาดทุนก็ได้นะ ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตได้รับจากลูกค้าร้ายนี้ในแต่ละปี เนื่องจากมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ 2 เหตุการณ์ คือ ลูกค้าเสียชีวิตและลูกค้าไม่เสียชีวิตจะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ \(-1,950,000\) และ \(50,000\)
เนื่องจากโอกาสที่ลูกค้ารายนี้จะเสียชีวิตในแต่ละปีเท่ากับ \(\frac{1}{100}\) ดังนั้นที่เหลือ \(\frac{99}{100}\) คือโอกาศลูกค้าไม่เสียชีวิต
\(P(X=-1950,000)=\frac{1}{100}\) และ
\(P(X=50,000)=\frac{99}{100}\) ต่อไปก็ไปหาค่าคาดหวังกันเลยครับผม แค่เอาไปแทนค่าในสูตรนะ เพราะได้ความน่าจะเป็นแล้ว จะได้
\begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x)\\&=&(-1950,000)(\frac{1}{100})+(50,000)(\frac{99}{100})\\&=&30,000\end{array}
นั่นคือ ค่าคาดหมายของกำไรหรืออาจจะขาดทุน ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตได้รับจากลูกค่ารายนี้ในแต่ละปีคือ 30,000 บาท ดังนั้น ถ้าบริษัทมั่นใจประกันชีวตรับทำประกันชีวิตให้ลูกค้ารายนี้ บริษัทจะได้กำไรโดยเฉลี่ยปีละ 30,000 บาท
ข้อนี้เป็นตัวอย่างที่ดีเพราะเป็นตัวอย่างที่เชื่อมโยงกับชีวิตประจำวัน จะเห็นได้ว่าบริษัทประกันภัยต่างๆจะมีนักคณิตศาสตร์ประกันภัยประจำบริษัทเพื่อเอาไว้คิดเรื่องพวกนี้ และถ้าเรามีความรู้เรื่องพวกนี้บ้างก็จะทำให้เราสามารถวางแผนในการจ่างเงินประกันได้อย่างถูกต้องและคุ้มค่าครับ เรื่องนี้สนุกนะ
4. ในงานประจำปีมีเกมวงล้อเสี่ยงโชค โดยมีกติกาว่า ผู้เล่นจะต้องหมุนวงล้อที่มีหมายเลข 1-7 กำกับไว้ด้งรูป ถ้าลูกศรชี้ที่ช่องที่มีหมายเลขที่กำกับเป็นจำนวนคี่ ผู้เล่นจะได้เงินรางวัล 20 บาท สมมติในการหมุนวงล้อแต่ละครั้งโอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ช่องใดช่องหนึ่งเท่ากัน และในการเล่นเกมวงล้อ เสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วราคา 10 บาท จงหาค่าคาดหมายของจำนวนเงินที่ผู้เล่นจะได้รับหรือเสียไป พร้อมทั้งอธิบายความหมาย
วิธีทำ จากโจทย์ ก่อนเล่นเราต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วก่อน 10 บาท ดังนั้น ถ้าเราเล่นชนะเราได้กำไร 20-10=10 บาท และถ้าเล่นแพ้นั่นคือขาดทุน \(-10\) บาท คร่าวๆจากโจทย์ก็จะเป็นแบบนี้
ข้อนี้เรากำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นกำไรหรืออาจจะขาดทุนก็ได้ จากการเล่นเกมล้อหมุนนี้ 1 ครั้ง
ดังนั้นจากที่เราทำการวิเคราะห์ข้างบนจะเห็นได้ว่าค่าที่ไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(x=\{10,-10\}\)
และจากรูปภาพล้อหมุมที่โจทย์กำหนดมาให้เราจะเห็นว่า มัมมีหมายเลขทั้งหมด 10 ตัว
เป็นเลขคี่ทั้งหมด 4 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหมุนแล้วลูกศรชี้ไปยังเลขคี่(กำไร)เท่ากับ \(P(X=10)=\frac{4}{10}\)
เป็นเลขคู่ทั้งหมด 6 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหมุนแล้วลูกศรชี้ไปยังเลขคู่(ขาดทุน)เท่ากับ \(P(X=-10)=\frac{6}{10}\)
ต่อไปเราหาค่าคาดหมายกันเลย ซึ่งถ้าดูคร่าวๆงานนี้ยังไงก็ขาดทุนแน่นอน เพราะจำนวนเลขคู่ มีมากกว่า เลขคี่ โอกาศขาดทุนเยอะกว่าอยู่แล้ว ดังนั้นค่าคาดหมายติดลบแน่นอน ไปดูกัน
\begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x)\\&=&10(\frac{4}{10})+(-10)\frac{6}{10}\\&=&-2\end{array}
นั่นคือในการเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะขาดทุนครั้งละ 2 บาท แสดงว่า ถ้าเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคหลายๆครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วผู้เล่นจะเสียเปรียบ
5.อรุณีได้ชวยเพื่อนๆมาเล่นหวยทอง โดยขายสลากแบบสองตัว หมายเลขละ 100 บาท มีรางวัลเป็นทองคำหนักหนึ่งสลึกหนึ่งเส้น ราคา 4500 บาท ณัชชาได้ซื้อสลากไว้หนึ่งหมายเลข จงหาค่าคาดหมายของการเล่นหวยทองครั้งนี้
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า ถ้าณัชชาซื้อหวยทองคำหนึ่งหมายเลย ถ้าถูกจะได้ กำไร 4400 บาท ถ้าผิดก็คือขาดทุน 100 บาท หรือก็คือ -100 บาทนั่นเอง ถ้าผมให้กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ กำไรหรือขาดทุนในเล่นหวยทองคำครั้งนี้เราจะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ \(\{4400,-100\}\)
เราจะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นที่จะถูกหวยทองคำที่เป็นสลากที่มีเลขสองหลักหรือว่าเลขสองตัวคือ \(\frac{1}{100}\)
ความน่าจะเป็นที่จะไม่ถูกหวยทองคำเลยก็คือ \(\frac{99}{100}\)
หรือก็คือ
\(P(X=4400)=\frac{1}{100}\)
\(P(X=-100)=\frac{99}{100}\)
ดังนั้นค่าคาดหมายในการเล่นหวยทองคำครั้งนี้คือ
\begin{array}{lcl}\mu_{X}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(4400)(\frac{1}{100})+(-100)\frac{99}{100}\\&=&44-99\\&=&-55\end{array}
จากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มที่เราได้คือ \(-55\) บาท นั่นหมายความว่า หวยทองคำแต่ละใบที่เราซื้อนี้เราจะขาดทุนใบละ 55 บาท
6. ในการโยนเหรียญสองอัน 1 ครั้ง เจ้าของบ่อนมีกฎการจ่ายเงินรางวัลให้ผู้เล่นคือ
ถ้าเหรียญออกหัวทั้งคู่ แล้วจะได้เงินรางวัล 3 บาท
ถ้าเหรียญออกก้อยทั้งคู่แล้ว จะไม่ได้ไม่เสีย
ถ้าเหรียญออกทั้งหัวและก้อยผสมกัน จะ เสียเงิน 2 บาท
จงหาค่าคาดหมายจากการเล่นพนันครั้งนี้
วิธีทำ เราจะได้ว่าแซมเปิลสเปสจากโยนเหรียญสองอัน 1 ครั้งคือ
\(S=\{HH,TT,HT,TH\}\) นั่นก็คือ \(n(S)=4\)
กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือผลที่เกิดจากการเล่นเกมแต่ละครั้ง ก็คืออาจจะขาดทุนก็ได้ กำไรก็ได้ หรือเสมอ ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ \(3,-2,0\) หมายความว่าได้กำไร 3 บาท ขาดทุน 2 บาท และก็เสมอกัน
ต่อไปเรามาหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) กัน
\(P(X=3)\) คือความน่าจะเป็นที่จะได้เงินรางวัล 3 บาท นั่นคือเหรียญต้องออกหัวทั้งคู่ดังนั้น \(P(X=3)=\frac{1}{4}\)
\(P(X=-2)\)คือความน่าจะเป็นที่จะเสียเงิน 2 บาท นั่นคือเหรียญออกหัวและก้อยผสมกัน ดังนั้น \(P(X=-2)=\frac{2}{4}\)
\(P(X=0)\) คือความน่าจะเป็นที่จะเสมอกับเจ้ามือ นั่นคือเหรียญออกก้อยทั้งคู่ ดังนั้น \(P(X=0)=\frac{1}{4}\)
นั่นคือ ค่าคาดหมายจากการเล่นการพนันครั้งนี้คือ
\begin{array}{lcl}\mu_{X}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(3)(\frac{1}{4})+(-2)(\frac{2}{4})+(0)(\frac{1}{4})\\&=&\frac{3}{4}-\frac{4}{4}+0\\&=&-\frac{1}{4}\\&=&-0.25\end{array}
จะเห็นว่าค่าคาดหมายของเราเท่ากับ \(-0.25\) บาท นั่นหมายความว่าแต่ละตาที่เราเล่นเฉลี่ยแล้วเราจะขาดทุนตาละ 0.25 บาทนั่นเอง เกมส์นี้ไม่น่าเล่น เราเสียเปรียบเจ้ามือแน่นอน
สนับสนุนเว็บไซต์