ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเกี่ยวกับการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง(discrete uniform distribution) แต่ก่อนที่จะศึกษาเรื่องนี้จำเป็นต้องไปอ่านเรื่องนี้ก่อนนะคับการแจกแจงตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องก่อนนะคับ  เอาละต่อไปเรามาดูนิยามของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องกันเลยครับ

นิยาม

ให้ \(X\)  เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ถ้าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ \(X\) คือ \(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots ,x_{n}\) แล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เมื่อ \(P(X=x_{i})=\frac{1}{n}\) สำหรับทุก \(i=\{1,2,3,4,\cdots ,n\}\)

สรุปง่ายๆ ก็คือ ถ้าเราหาค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) แล้วค่าความน่าจะเป็นมีค่าเท่ากันทั้งหมด การแจกแจงของตัวแปรสุ่มนั้นจะเป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

มาดูตัวอย่างประกอบครับ เป็นตัวอย่างจากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. นะคับ

1.จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ

1) ตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 1 ครั้ง

วิธีทำ จากโจทย์โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง แซมเปิลสเปซก็คือ \(s=\{H,T\}\) ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) คือเหรียญไม่ขี้นหัวเลย กับ เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง เขียนเป็นเซตได้คือ \(x=\{0,1\}\)

ดังนั้น

ความน่าจะเป็นที่เหรียญไม่ขึ้นหัวเลยคือ เหตุการณ์นี้นะครับ \(\{T\}\) คือ \(P(X_{1}=0)=\frac{1}{2}\)

ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง คือเหตุการณ์นี้ครับ \(\{H\}\) คือ \(P(X_{1}=1)=\frac{1}{2}\)

เขียนเป็นตารางแจกแจงความน่าจะเป็นก็จะได้

จะเห็นว่าค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) นี้เท่ากับหมดคือ \(\frac{1}{2}\) ดังนั้นการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) นี้เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

2) ตัวแปรสุ่ม \(X_{2}\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นก้อย จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 10 ครั้ง

วิธีทำ ข้อนี้การหาแซมเปิลสเปซจะทำเหมือนข้อ 1) ไม่ได้แล้วเพราะว่ามันเยอะเกิน จะเขียนแจกแจงให้เห็นหมดไม่ได้ แต่เราก็ใช้ความรู้เกี่ยวกับ  กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ คือใช้กฎการคูณ จึงทำให้ได้ว่า จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปสจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 10 ครั้งมีค่าเท่ากับ \(2^{10}\)

พยายามจินตนาการตามนะครับจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่เหรียญไม่ขึ้นก้อยเลยคือเหตุการณ์นี้ \(\{(HHHHHHHHHH)\}\) ซึ่งทำให้เราได้ว่าความน่าจะเป็นที่เหรียญไม่ขึ้นก้อยหรือขี้นก้อย 0 ครั้งมีค่า \(P(X_{2}=0)=\frac{1}{2^{10}}\)

คิดตามต่อนะครับจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นก้อย 1 ครั้ง คือเหตุการพวกนี้ \(\{(THHHHHHHHH),(HTHHHHHHH),(HHTHHHHHHH),\cdots ,(HHHHHHHHHT)\}\) มีทั้งหมด 10 เหตุการณ์ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นก้อย 1 ครั้งมีค่าเท่ากับ \(P(X_{2}=1)=\frac{10}{2^{10}}\)   

จาก 2 อย่างที่ผมยกตัวอย่างให้เห็น ก็คือ

\(P(X_{2}=0)=\frac{1}{2^{10}}\)

\(P(X_{2}=1)=\frac{10}{2^{10}}\)

จะเห็นได้ว่า \(P(X_{2}=0)\neq P(X_{2}=1)\) ดังนั้น การแจกแจงนี้ ไม่เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

2.เกมวงล้อเสี่ยงโชคมีกติกาการเล่นคือ ผู้เล่นจะต้องหมุนวงล้อรูปวงกลมที่แบ่งเป็น 10 ช่อง เท่าๆกัน โดยแต่ละช่องระบุจำนวนเงินรางวัลแตกต่างกันคือ \(50,100,150,200,250,300,350,400,450,500\) บาท ถ้าลูกศรชี้ที่ช่องใด ผู้เล่นจะได้รับเงินรางวัลที่ระบุในช่องนั้น สมมติว่าในการหมุนวงล้อแต่ละครั้งโอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ช่องใดช่องหนึ่งเท่ากัน และในการเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วราคา 300 บาท นักเรียนจะเล่มเกมนี้หรือไม่อย่างไร

วิธีทำ จากเงินรางวัลที่เราจะได้เมื่อเล่นเกมนี้คือ 50,100,150,200,250,300,350,400,450,500 จะเห็นว่าเมื่อเราจ่ายเงิน 300 บาทเพื่อเล่นเกมนี้โอกาสที่จะได้กำไรคือ \(\frac{4}{9}\approx 0.44\) แต่โอกาสที่จะขาดทุนคือ \(\frac{5}{9}=\approx 0.56\) นั่นคือโอกาศขาดทุนมากกว่าชัดเจนไม่ควรเล่น  แต่ถ้าเราจะคำนวณเพื่อให้สอดคล้องกับสิ่งที่เราเรียน เราก็สามารถหาค่าคาดหมาย ออกมาก็ได้  

โดยขั้นตอนแรกกำหนดตัวแปรสุ่มออกมาก่อน ในที่นี้ผมจะกำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือกำไร (ขาดทุน) จากการเล่นเกมวงล้อนี้ 1 ครั้ง เราจะได้ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการเล่นเกมวงล้อนี้คือ 

\(\{-250,-200,-150,-100,-50,0,50,100,150,200\}\) จะเห็นได้ว่าวงล้อนี้มี 10่ ช่องดังนั้น

\(P(X=-250)=\frac{1}{10}\)

\(P(X=-200)=\frac{1}{10}\)

\(\vdots\)

\(P(X=200)=\frac{1}{10}\)

ต่อไปหาค่าคาดหมาย

\begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(-250)\frac{1}{10}+(-200)\frac{1}{10}\\&+&(-150)\frac{1}{10}+(-100)\frac{1}{10}\\&+&(50)\frac{1}{10}+(0)\frac{1}{10}\\&+&(50)\frac{1}{10}+(100)\frac{1}{10}\\&+&(150)\frac{1}{10}+(200)\frac{1}{10}\\&=&-25\end{array}

จากค่าคาดหมายที่เราได้สรุปได้ว่าในการเล่นเกมแต่ละครั้งเฉลี่ยแล้วเราจะขาดทุนครั้งละ 25 บาท หรือเราจะมองว่าเฉลี่ยแล้วในแต่ละครั้งที่เราเล่นเกมเราจะได้เงินจากการเล่นเฉลี่ยแล้วอยู่ที่ 275 บาทก็ได้  ดังนั้นถ้าเราจนเราก็ไม่ควรเล่นเกมนี้นะ ยกเว้นมีเงินเหลือก็เล่นๆไปเหอะ

3. ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง และค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 5,6,7,8,9 และ 10  จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\)

วิธีทำ อ่านโจทย์โจทย์บอกว่าตัวแปรสุ่ม \(X\) นี้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เราจะได้ว่า ค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากัน อันนี้เป็นไปตามนิยามของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องนะคับ  จากค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มมี \(\{5,6,7,8,9,10\}\) ซึ่งมีสมาชิกทั้งหมด 6 ตัว ดังนั้น \(n=6\) จากนิยาม การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องทำให้เราได้ว่า

\(P(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=P(X=8)=P(X=9)=P(X=10)=\frac{1}{6}\) ดังนั้นเราสามารถนำข้อมูลนี้ไปหาค่าคาดหมายได้ครับ

เริ่มหาเลย

\begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{x=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(5)\frac{1}{6}+(6)\frac{1}{6}+(7)\frac{1}{6}\\&+&(8)\frac{1}{6}+(9)\frac{1}{6}+(10)\frac{1}{6}\\&=&7.5\end{array}

จะได้ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 7.5 คับ

ต่อไปหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้คับจะได้

\begin{array}{lcl}\sigma^{2}_{x}&=&\displaystyle\sum (x_{i}-\mu_{x})^{2}P(X=x_{i})\\&=&(5-7.5)^{2}\frac{1}{6}+(6-7.5)^{2}\frac{1}{6}\\&+&(7-7.5)^{2}\frac{1}{6}+(8-7.5)^{2}\frac{1}{6}\\&+&(9-7.5)^{2}\frac{1}{6}+(10-7.5)^{2}\frac{1}{6}\\&\approx&2.92\end{array}

ดังนั้นความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(X\) มีค่าประมาณ 2.92

ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\)

\begin{array}{lcl}\sigma_{x}=\sqrt{2.92}\approx 1.71\end{array}

ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) มีค่าประมาณ 1.71