เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1- ม.6

ดาวน์โหลดข้อสอบ - ใบงาน - แบบฝึกหัดวิชาคณิตศาสตร์

เฉลย - ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์

บทความอ่านนอกเวลา - บทความอื่นๆ

  • การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

    ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเกี่ยวกับการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง(discrete uniform distribution) แต่ก่อนที่จะศึกษาเรื่องนี้จำเป็นต้องไปอ่านเรื่องนี้ก่อนนะคับการแจกแจงตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องก่อนนะคับ  เอาละต่อไปเรามาดูนิยามของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องกันเลยครับ

    นิยาม

    ให้ \(X\)  เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ถ้าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ \(X\) คือ \(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots ,x_{n}\) แล้ว การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง เมื่อ \(P(X=x_{i})=\frac{1}{n}\) สำหรับทุก \(i=\{1,2,3,4,\cdots ,n\}\)

    สรุปง่ายๆ ก็คือ ถ้าเราหาค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) แล้วค่าความน่าจะเป็นมีค่าเท่ากันทั้งหมด การแจกแจงของตัวแปรสุ่มนั้นจะเป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

    มาดูตัวอย่างประกอบครับ เป็นตัวอย่างจากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. นะคับ

    1.จงพิจารณาว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องหรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ

    1) ตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 1 ครั้ง

    วิธีทำ จากโจทย์โยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง แซมเปิลสเปซก็คือ \(s=\{H,T\}\) ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) คือเหรียญไม่ขี้นหัวเลย กับ เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง เขียนเป็นเซตได้คือ \(x=\{0,1\}\)

    ดังนั้น

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญไม่ขึ้นหัวเลยคือ เหตุการณ์นี้นะครับ \(\{T\}\) คือ \(P(X_{1}=0)=\frac{1}{2}\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง คือเหตุการณ์นี้ครับ \(\{H\}\) คือ \(P(X_{1}=1)=\frac{1}{2}\)

    เขียนเป็นตารางแจกแจงความน่าจะเป็นก็จะได้

    \(x\) 0 1
    \(P(X_{1}=x)\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\)

    จะเห็นว่าค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) นี้เท่ากับหมดคือ \(\frac{1}{2}\) ดังนั้นการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) นี้เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

    2) ตัวแปรสุ่ม \(X_{2}\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นก้อย จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 10 ครั้ง

    วิธีทำข้อนี้การหาแซมเปิลสเปซจะทำเหมือนข้อ 1) ไม่ได้แล้วเพราะว่ามันเยอะเกิน จะเขียนแจกแจงให้เห็นหมดไม่ได้ แต่เราก็ใช้ความรู้เกี่ยวกับ  กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ คือใช้กฎการคูณ จึงทำให้ได้ว่า จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปสจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ 10 ครั้งมีค่าเท่ากับ \(2^{10}\)

    พยายามจินตนาการตามนะครับจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่เหรียญไม่ขึ้นก้อยเลยคือเหตุการณ์นี้ \(\{(HHHHHHHHHH)\}\) ซึ่งทำให้เราได้ว่าความน่าจะเป็นที่เหรียญไม่ขึ้นก้อยหรือขี้นก้อย 0 ครั้งมีค่า \(P(X_{2}=0)=\frac{1}{2^{10}}\)

    คิดตามต่อนะครับจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นก้อย 1 ครั้ง คือเหตุการพวกนี้ \(\{(THHHHHHHHH),(HTHHHHHHH),(HHTHHHHHHH),\cdots ,(HHHHHHHHHT)\}\) มีทั้งหมด 10 เหตุการณ์ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นก้อย 1 ครั้งมีค่าเท่ากับ \(P(X_{2}=1)=\frac{10}{2^{10}}\)   

    จาก 2 อย่างที่ผมยกตัวอย่างให้เห็น ก็คือ

    \(P(X_{2}=0)=\frac{1}{2^{10}}\)

    \(P(X_{2}=1)=\frac{10}{2^{10}}\)

    จะเห็นได้ว่า \(P(X_{2}=0)\neq P(X_{2}=1)\) ดังนั้น การแจกแจงนี้ ไม่เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

    2.เกมวงล้อเสี่ยงโชคมีกติกาการเล่นคือ ผู้เล่นจะต้องหมุนวงล้อรูปวงกลมที่แบ่งเป็น 10 ช่อง เท่าๆกัน โดยแต่ละช่องระบุจำนวนเงินรางวัลแตกต่างกันคือ \(50,100,150,200,250,300,350,400,450,500\) บาท ถ้าลูกศรชี้ที่ช่องใด ผู้เล่นจะได้รับเงินรางวัลที่ระบุในช่องนั้น สมมติว่าในการหมุนวงล้อแต่ละครั้งโอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ช่องใดช่องหนึ่งเท่ากัน และในการเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วราคา 300 บาท นักเรียนจะเล่มเกมนี้หรือไม่อย่างไร

    วิธีทำ จากเงินรางวัลที่เราจะได้เมื่อเล่นเกมนี้คือ50,100,150,200,250,300,350,400,450,500 จะเห็นว่าเมื่อเราจ่ายเงิน 300 บาทเพื่อเล่นเกมนี้โอกาสที่จะได้กำไรคือ \(\frac{4}{9}\approx 0.44\) แต่โอกาสที่จะขาดทุนคือ \(\frac{5}{9}=\approx 0.56\) นั่นคือโอกาศขาดทุนมากกว่าชัดเจนไม่ควรเล่น  แต่ถ้าเราจะคำนวณเพื่อให้สอดคล้องกับสิ่งที่เราเรียน เราก็สามารถหาค่าคาดหมาย ออกมาก็ได้  

    โดยขั้นตอนแรกกำหนดตัวแปรสุ่มออกมาก่อน ในที่นี้ผมจะกำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือกำไร (ขาดทุน) จากการเล่นเกมวงล้อนี้ 1 ครั้ง เราจะได้ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการเล่นเกมวงล้อนี้คือ 

    \(\{-250,-200,-150,-100,-50,0,50,100,150,200\}\) จะเห็นได้ว่าวงล้อนี้มี 10่ ช่องดังนั้น

    \(P(X=-250)=\frac{1}{10}\)

    \(P(X=-200)=\frac{1}{10}\)

    \(\vdots\)

    \(P(X=200)=\frac{1}{10}\)

    ต่อไปหาค่าคาดหมาย

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(-250)\frac{1}{10}+(-200)\frac{1}{10}\\&+&(-150)\frac{1}{10}+(-100)\frac{1}{10}\\&+&(50)\frac{1}{10}+(0)\frac{1}{10}\\&+&(50)\frac{1}{10}+(100)\frac{1}{10}\\&+&(150)\frac{1}{10}+(200)\frac{1}{10}\\&=&-25\end{array}

    จากค่าคาดหมายที่เราได้สรุปได้ว่าในการเล่นเกมแต่ละครั้งเฉลี่ยแล้วเราจะขาดทุนครั้งละ 25 บาท หรือเราจะมองว่าเฉลี่ยแล้วในแต่ละครั้งที่เราเล่นเกมเราจะได้เงินจากการเล่นเฉลี่ยแล้วอยู่ที่ 275 บาทก็ได้  ดังนั้นถ้าเราจนเราก็ไม่ควรเล่นเกมนี้นะ ยกเว้นมีเงินเหลือก็เล่นๆไปเหอะ

    3. ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง และค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 5,6,7,8,9 และ 10  จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    วิธีทำ อ่านโจทย์โจทย์บอกว่าตัวแปรสุ่ม \(X\) นี้เป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องเราจะได้ว่า ค่าความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากัน อันนี้เป็นไปตามนิยามของการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องนะคับ  จากค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มมี \(\{5,6,7,8,9,10\}\) ซึ่งมีสมาชิกทั้งหมด 6 ตัว ดังนั้น \(n=6\) จากนิยาม การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่องทำให้เราได้ว่า

    \(P(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=P(X=8)=P(X=9)=P(X=10)=\frac{1}{6}\) ดังนั้นเราสามารถนำข้อมูลนี้ไปหาค่าคาดหมายได้ครับ

    เริ่มหาเลย

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{x=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(5)\frac{1}{6}+(6)\frac{1}{6}+(7)\frac{1}{6}\\&+&(8)\frac{1}{6}+(9)\frac{1}{6}+(10)\frac{1}{6}\\&=&7.5\end{array}

    จะได้ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 7.5 คับ

    ต่อไปหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้คับจะได้

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}_{x}&=&\displaystyle\sum (x_{i}-\mu_{x})^{2}P(X=x_{i})\\&=&(5-7.5)^{2}\frac{1}{6}+(6-7.5)^{2}\frac{1}{6}\\&+&(7-7.5)^{2}\frac{1}{6}+(8-7.5)^{2}\frac{1}{6}\\&+&(9-7.5)^{2}\frac{1}{6}+(10-7.5)^{2}\frac{1}{6}\\&\approx&2.92\end{array}

    ดังนั้นความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(X\) มีค่าประมาณ 2.92

    ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    \begin{array}{lcl}\sigma_{x}=\sqrt{2.92}\approx 1.71\end{array}

    ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) มีค่าประมาณ 1.71

  • ค่าคาดหมาย

    วันนี้เรามาดูนิยามของค่าคาดหมาย(expected value)กันครับ แต่สำหรับหัวข้อนี้ เราจะศึกษาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องครับ

    นิยาม

    ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง \(X\) เขียนแทนด้วย \(\mu_{x}\) นิยามโดย

    \[\mu_{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\]

    เมื่อ \(n\) แทนจำนวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) และ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\) แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    หมายเหตุ   ในกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม\(X\) เป็นเซตอนันต์ จะนิยามให้ \(\mu_{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}P(X=x_{i})\) แต่ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นเซตจำกัด

    ต่อไปเรามาดูตัวอย่างการหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องกันครับ

    ตัวอย่าง จำนวนพี่น้องของนักเรียนชั้น ม.6 ห้องหนึ่งซึ่งมีจำนวน 50 คน แสดงด้วยตารางความถี่ได้ดังนี้

    จำนวนพี่น้อง (คน) ความถี่
    0 6
    1 22
    2 17
    3 4
    4 1

    ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มได้ จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    วิธีทำ จากโจทย์ตัวแปรสุ่ม\(X\) คือจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มมา 1 คน ดังนั้นจากตารางที่โจทย์กำหนดให้ ค่าของตัวแปรสุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ \(x=\{0,1,2,3,4\}\)

    จากตารางจะได้ว่า

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนไม่มีพี่น้องเลยคือ \(P(X=0)=\frac{6}{50}=0.12\)

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 1 คนคือ \(P(X=1)=\frac{22}{50}=0.44\)

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 2 คนคือ \(P(X=2)=\frac{17}{50}=0.34\)

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 3 คนคือ \(P(X=3)=\frac{4}{50}=0.08\)

    ความน่าจะเป็นที่สุ่มนักเรียนมา 1 คนแล้วนักเรียนมีพี่น้อง 4 คนคือ \(P(X=4)=\frac{1}{50}=0.02\)

    เมื่อเราได้ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแล้ว ต่อไปเราก็ไปหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) เลย หาตามนิยาม เลยนะคับ

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&0(0.12)+1(0.44)+2(0.34)+3(0.08)+4(0.02)\\&=&1.44\end{array}

    ดังนั้นค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 1.44 คน

    เราสามารถหาค่าคาดหมายได้อีกวิธีนะคับ ก็คือเอาจำนวนพี่น้องของนักเรียนที่สุ่มมา มาหาค่าเฉลี่ย ดูนะผมทำดูไม่เชื่อได้ค่าเท่ากัน

    \begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{0(6)+1(22)+2(17)+3(4)+4(1)}{50}\\&=&1.44\end{array}

    ดังนั้นจึงอาจเรียกค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มว่า ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

    2. กล่องใบหนึ่งบรรจุเบี้ย 6 อัน โดยมีหมายเลย 3,5,6,7,8 และ 11 กำกับไว้ ถ้าสุ่มหยิบเบี้ย 2 อัน โดยหยิบเบี้ยทีละอันและไม่ใส่คืนก่อนหยิบเบี้ยอันที่สอง และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ ผลบวกของหมายเลขบนเบี้ยทั้งสองอันที่สุ่มได้

    1) จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม\(X\) พร้อมทั้งอธิบายความหมาย

    วิธีทำ อ่านโจทย์เสร็จสิ่งที่เราต้องได้คือ sample space ของการหยิบเบี้ย ระวังหน่อยนะข้อนี้หยิบเบี้ยตัวแรก ไม่ใส่คืนแล้วก็หยิบอันที่ 2 ต่อเลย มาดู sample space เลยจะได้

    \(s=\{(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,11),\\(5,3),(5,6),(5,7),(5,8),(5,11),(6,5),(6,3)\\,(6,7),(6,8),(6,11),(7,6),(7,5),(7,3),(7,8),\\(7,11),(8,7),(8,6),(8,5),(8,3),\\(8,11),(11,8),(11,7),(11,6),(11,5),(11,3)\}\)

    และ \(n(s)=30\)

    จากโจทย์กำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือผลบวกของเบี้ยที่สุ่มได้ ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 

    \(x=\{8,9,10,11,14,12,13,16,17,15,18,19\}\)

    จาก sample space เราจะเห็นว่า

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 8 ก็จะมี \(\{(3,5),(5,3)\}\) มีสมาชิก 2 ตัว

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 9 ก็จะมี\(\{(3,6),(6,3)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 10 ก็จะมี \(\{(3,7),(7,3)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 11 ก็จะมี \(\{(5,6),(6,5),(3,8),(8,3)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 14 ก็จะมี \(\{(8,6),(6,8),(3,11),(11,3)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 12 ก็จะมี \(\{(5,7),(7,5)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 13 ก็จะมี \(\{(6,7),(7,6)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 16 ก็จะมี \(\{(5,11),(11,5)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 17 ก็จะมี \(\{(6,11),(11,6)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 15 ก็จะมี \(\{(7,8),(8,7)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 18 ก็จะมี \(\{(7,11),(11,7)\}\)

    ผลบวกของเบี้ยเท่ากับ 19 ก็จะมี \(\{(8,11),(11,8)\}\)

    ดังนั้น

    ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 8  คือ \(P(X=8)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 9  คือ \(P(X=9)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 10  คือ \(P(X=10)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลบวกของตัวเบี้ยเท่ากับ 11  คือ \(P(X=11)=\frac{4}{30}=0.13\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 12  คือ \(P(X=12)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 13  คือ \(P(X=13)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 14  คือ \(P(X=14)=\frac{4}{30}=0.13\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 15  คือ \(P(X=15)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 16  คือ \(P(X=16)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 17  คือ \(P(X=17)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 18  คือ \(P(X=18)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเบี้ยเท่ากับ 19  คือ \(P(X=19)=\frac{2}{30}=0.07\)

    ต่อไปก็หาค่าคาดหมายครับ ก็เอาข้อมูลความน่าจะเป็นที่เรามีอยู่ไปแทนค่าในสูตรก็แค่นั้นครับ เริ่มแทนค่าเลย

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x)\\&=&8(0.07)+9(0.07)+10(0.07)\\&+&11(0.13)+12(0.07)+13(0.07)\\&+&14(0.13)+15(0.07)+16(0.07)\\&+&17(0.07)+18(0.07)+19(0.07)\\&=&0.56+0.63+0.7\\&+&1.43+0.84+0.91\\&+&1.82+1.05+1.12\\&+&1.19+1.26+1.33\\&=&12.84\end{array}

    นั่นหมายความว่า ผลบวกของหมายเลขบนเบี้ยทั้งสอง เมื่อสุ่มเบี้ยครั้งละ 1 อันโดยหยิบเบี้ยครั้งแรกและไม่ใส่คืนก่อนจะหยิบเบี้ยอันที่สองมีผลเฉลี่ยของของหมายเลขของเบี้ยทั้งสองประมาณต้องใช้คำว่าประมาณนะคับเพราะจะเห็นว่าตัวเลขที่เป็นความน่าจะเป็นข้างบนมันหารไม่ลงตัวอยู่ที่ประมาณ 12.84 แต้ม นี่แหละครับวิธีการทำข้อนี้ครับ ซึ่งถ้าเรามองให้กว้างๆ จะเห็นว่าเรื่องของตัวแปรสุ่มนี้มันสามารถขยายความรู้ไปใช้ในชีวิตประจำวันได้ โดยเฉพาะในแง่ของการตัดสินใจ วางแผนการทำงานในอนาคตโดยมีเงื่อนไขต่างๆมาให้ตัดสินใจ ถ้าเรามีความรู้เรื่องนี้ เราก็จะสามารถตัดสินใจได้อย่างถูกต้อง ครับ เดี๋ยวจะยกตัวอย่างให้ดูต่อไป

    3. ลูกค้ารายหนึ่งต้องการทำประกันชีวิตกับบริษัทมั่นใจประกันชีวิต โดยกำหนดทุนประกัน 2,000,000 บาท(นั่นคือ ในกรณีที่ลูกค้าเสียชีวิต บริษัทจะต้องจ่ายเงินให้ผู้รับประโยชน์ที่ลูกค้าระบุไว้เป็นจำนวนเงิน 2,000,000 บาท) และลูกค้าจะต้องจ่ายค่าเบี้ยประกันปีละ 50,000 บาท ถ้าลูกค้ารายนี้มีภาวะหยุดหายใจขณะหลับ โดยโอกาสที่เขาจะเสียชีวิตในแต่ละปีคิดเป็นร้อยละ 1 จงพิจารณาว่าถ้าบริษัทมั่นใจประกันชีวิตรับทำประกันชีวิตให้กับลูกค้ารายนี้ บริษัทจะได้กำไรหรือขาดทุนโดยเฉลี่ยปีละกี่บาท

    วิธีทำ  ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือกำไรหรืออาจจะขาดทุนก็ได้นะ  ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตได้รับจากลูกค้าร้ายนี้ในแต่ละปี เนื่องจากมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ 2 เหตุการณ์ คือ ลูกค้าเสียชีวิตและลูกค้าไม่เสียชีวิตจะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ \(-1,950,000\) และ \(50,000\)

    เนื่องจากโอกาสที่ลูกค้ารายนี้จะเสียชีวิตในแต่ละปีเท่ากับ \(\frac{1}{100}\) ดังนั้นที่เหลือ \(\frac{99}{100}\) คือโอกาศลูกค้าไม่เสียชีวิต

    \(P(X=-1950,000)=\frac{1}{100}\) และ

    \(P(X=50,000)=\frac{99}{100}\)  ต่อไปก็ไปหาค่าคาดหวังกันเลยครับผม แค่เอาไปแทนค่าในสูตรนะ เพราะได้ความน่าจะเป็นแล้ว จะได้

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x)\\&=&(-1950,000)(\frac{1}{100})+(50,000)(\frac{99}{100})\\&=&30,000\end{array}

    นั่นคือ ค่าคาดหมายของกำไรหรืออาจจะขาดทุน ที่บริษัทมั่นใจประกันชีวิตได้รับจากลูกค่ารายนี้ในแต่ละปีคือ 30,000 บาท  ดังนั้น ถ้าบริษัทมั่นใจประกันชีวตรับทำประกันชีวิตให้ลูกค้ารายนี้ บริษัทจะได้กำไรโดยเฉลี่ยปีละ 30,000 บาท

    ข้อนี้เป็นตัวอย่างที่ดีเพราะเป็นตัวอย่างที่เชื่อมโยงกับชีวิตประจำวัน จะเห็นได้ว่าบริษัทประกันภัยต่างๆจะมีนักคณิตศาสตร์ประกันภัยประจำบริษัทเพื่อเอาไว้คิดเรื่องพวกนี้ และถ้าเรามีความรู้เรื่องพวกนี้บ้างก็จะทำให้เราสามารถวางแผนในการจ่างเงินประกันได้อย่างถูกต้องและคุ้มค่าครับ เรื่องนี้สนุกนะ

    4. ในงานประจำปีมีเกมวงล้อเสี่ยงโชค โดยมีกติกาว่า ผู้เล่นจะต้องหมุนวงล้อที่มีหมายเลข 1-7 กำกับไว้ด้งรูป ถ้าลูกศรชี้ที่ช่องที่มีหมายเลขที่กำกับเป็นจำนวนคี่ ผู้เล่นจะได้เงินรางวัล 20 บาท สมมติในการหมุนวงล้อแต่ละครั้งโอกาสที่ลูกศรจะชี้ที่ช่องใดช่องหนึ่งเท่ากัน และในการเล่นเกมวงล้อ เสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วราคา 10 บาท จงหาค่าคาดหมายของจำนวนเงินที่ผู้เล่นจะได้รับหรือเสียไป พร้อมทั้งอธิบายความหมาย

    วิธีทำ จากโจทย์ ก่อนเล่นเราต้องจ่ายเงินซื้อตั๋วก่อน 10 บาท ดังนั้น ถ้าเราเล่นชนะเราได้กำไร 20-10=10 บาท และถ้าเล่นแพ้นั่นคือขาดทุน \(-10\) บาท คร่าวๆจากโจทย์ก็จะเป็นแบบนี้

    ข้อนี้เรากำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นกำไรหรืออาจจะขาดทุนก็ได้ จากการเล่นเกมล้อหมุนนี้ 1 ครั้ง

    ดังนั้นจากที่เราทำการวิเคราะห์ข้างบนจะเห็นได้ว่าค่าที่ไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(x=\{10,-10\}\)

    และจากรูปภาพล้อหมุมที่โจทย์กำหนดมาให้เราจะเห็นว่า มัมมีหมายเลขทั้งหมด 10 ตัว

    เป็นเลขคี่ทั้งหมด  4 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหมุนแล้วลูกศรชี้ไปยังเลขคี่(กำไร)เท่ากับ \(P(X=10)=\frac{4}{10}\)

    เป็นเลขคู่ทั้งหมด 6 ตัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหมุนแล้วลูกศรชี้ไปยังเลขคู่(ขาดทุน)เท่ากับ \(P(X=-10)=\frac{6}{10}\)

    ต่อไปเราหาค่าคาดหมายกันเลย ซึ่งถ้าดูคร่าวๆงานนี้ยังไงก็ขาดทุนแน่นอน เพราะจำนวนเลขคู่ มีมากกว่า เลขคี่ โอกาศขาดทุนเยอะกว่าอยู่แล้ว ดังนั้นค่าคาดหมายติดลบแน่นอน ไปดูกัน

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x)\\&=&10(\frac{4}{10})+(-10)\frac{6}{10}\\&=&-2\end{array}

    นั่นคือในการเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคแต่ละครั้ง ผู้เล่นจะขาดทุนครั้งละ 2 บาท แสดงว่า ถ้าเล่นเกมวงล้อเสี่ยงโชคหลายๆครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วผู้เล่นจะเสียเปรียบ

    5.อรุณีได้ชวยเพื่อนๆมาเล่นหวยทอง โดยขายสลากแบบสองตัว หมายเลขละ 100 บาท มีรางวัลเป็นทองคำหนักหนึ่งสลึกหนึ่งเส้น ราคา 4500 บาท ณัชชาได้ซื้อสลากไว้หนึ่งหมายเลข จงหาค่าคาดหมายของการเล่นหวยทองครั้งนี้

    วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า ถ้าณัชชาซื้อหวยทองคำหนึ่งหมายเลย ถ้าถูกจะได้ กำไร 4400 บาท ถ้าผิดก็คือขาดทุน 100 บาท หรือก็คือ -100 บาทนั่นเอง  ถ้าผมให้กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ กำไรหรือขาดทุนในเล่นหวยทองคำครั้งนี้เราจะได้ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ \(\{4400,-100\}\)

    เราจะเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นที่จะถูกหวยทองคำที่เป็นสลากที่มีเลขสองหลักหรือว่าเลขสองตัวคือ \(\frac{1}{100}\)

    ความน่าจะเป็นที่จะไม่ถูกหวยทองคำเลยก็คือ \(\frac{99}{100}\)

    หรือก็คือ 

    \(P(X=4400)=\frac{1}{100}\)

    \(P(X=-100)=\frac{99}{100}\)

    ดังนั้นค่าคาดหมายในการเล่นหวยทองคำครั้งนี้คือ

    \begin{array}{lcl}\mu_{X}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(4400)(\frac{1}{100})+(-100)\frac{99}{100}\\&=&44-99\\&=&-55\end{array}

    จากค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มที่เราได้คือ \(-55\) บาท นั่นหมายความว่า หวยทองคำแต่ละใบที่เราซื้อนี้เราจะขาดทุนใบละ 55 บาท

    6. ในการโยนเหรียญสองอัน 1 ครั้ง เจ้าของบ่อนมีกฎการจ่ายเงินรางวัลให้ผู้เล่นคือ

    ถ้าเหรียญออกหัวทั้งคู่  แล้วจะได้เงินรางวัล 3 บาท

    ถ้าเหรียญออกก้อยทั้งคู่แล้ว   จะไม่ได้ไม่เสีย

    ถ้าเหรียญออกทั้งหัวและก้อยผสมกันจะ เสียเงิน 2 บาท

    จงหาค่าคาดหมายจากการเล่นพนันครั้งนี้

    วิธีทำ เราจะได้ว่าแซมเปิลสเปสจากโยนเหรียญสองอัน 1 ครั้งคือ 

    \(S=\{HH,TT,HT,TH\}\)  นั่นก็คือ \(n(S)=4\)

    กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือผลที่เกิดจากการเล่นเกมแต่ละครั้ง ก็คืออาจจะขาดทุนก็ได้  กำไรก็ได้ หรือเสมอ ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)  คือ \(3,-2,0\)  หมายความว่าได้กำไร 3 บาท ขาดทุน 2 บาท และก็เสมอกัน

    ต่อไปเรามาหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) กัน

    \(P(X=3)\) คือความน่าจะเป็นที่จะได้เงินรางวัล 3 บาท นั่นคือเหรียญต้องออกหัวทั้งคู่ดังนั้น \(P(X=3)=\frac{1}{4}\)

    \(P(X=-2)\)คือความน่าจะเป็นที่จะเสียเงิน 2 บาท  นั่นคือเหรียญออกหัวและก้อยผสมกัน ดังนั้น \(P(X=-2)=\frac{2}{4}\)

    \(P(X=0)\) คือความน่าจะเป็นที่จะเสมอกับเจ้ามือ นั่นคือเหรียญออกก้อยทั้งคู่ ดังนั้น \(P(X=0)=\frac{1}{4}\)

    นั่นคือ ค่าคาดหมายจากการเล่นการพนันครั้งนี้คือ

    \begin{array}{lcl}\mu_{X}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}P(X=x_{i})\\&=&(3)(\frac{1}{4})+(-2)(\frac{2}{4})+(0)(\frac{1}{4})\\&=&\frac{3}{4}-\frac{4}{4}+0\\&=&-\frac{1}{4}\\&=&-0.25\end{array}

    จะเห็นว่าค่าคาดหมายของเราเท่ากับ \(-0.25\) บาท นั่นหมายความว่าแต่ละตาที่เราเล่นเฉลี่ยแล้วเราจะขาดทุนตาละ 0.25 บาทนั่นเอง เกมส์นี้ไม่น่าเล่น เราเสียเปรียบเจ้ามือแน่นอน

  • ตัวแปรสุ่ม

    วันนี้เราจะมารู้จักความหมายของตัวแปรสุ่มกันนะคับ จะอธิบายแบบง่ายๆแล้วกัน ไม่รู้ว่าจะง่ายสำหรับทุกคนหรือเปล่า แต่อย่างไรก็ลองอ่านดูก่อนว่าจะง่ายหรือไม่  ตัวแปรสุ่ม นั้นมันเป็นฟังก์ชันที่มีการส่งจาก แซมเปิลสเปซ ไปยัง จำนวนจริง(ตัวเลข) ตัวย่างเช่น

    ผมทดลอง โยนเหรียญบาท 3 เหรียญ 1 ครั้ง การทดลองสุ่มนี้ก็จะมีแซมเปิลสเปซซึ่งเรามักแทนด้วยตัว S คือ

    \(S=\{HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT\}\)

    และถ้าผมสนใจจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ดังนั้นจำนวนครั้งที่เหรียญขี้นหัวนั้นสามารถแทนด้วยตัวเลขได้คือ 

    0  คือเหรียญไม่ขึ้นหัวเลย

    1  คือเหรืยญขึ้นหัวหนึ่งครั้ง

    2  คือเหรียญขึ้นหัวสองครั้ง

    3  คือเหรียญขึ้นหัวสามครั้ง

    และสามารถเขียนแสดงได้ในรูปของเซตคือ \(\{0,1,2,3\}\)

    จากตัวอย่างที่ผมยกมาให้ดูนี้สามารถสร้างฟังก์ชัน \(X\) จากแซมเปิลสเปซ\((S)\) ไปยัง \(\{0,1,2,3\}\)  ฟังก์ชันที่ส่งจากแซมเปิลสเปซไปยังจำนวนจริงแบบนี้แหละ เขาเรียกว่าตัวแปรสุ่ม(random variable) เดี่ยวผมจะเขียนเป็นแผนภาพให้ดู

    จากฟังก์ชัน \(X\) ตามรูปข้างบนนะคับจะได้ว่า

    \(X(HHH)=3\)

    \(X(HHT)=2\)

    \(X(HTH)=2\)

    \(X(THH)=2\)

    \(X(TTH)=1\)

    \(X(THT)=1\)

    \(X(HTT)=1\)

    \(X(TTT)=0\)

    ฟังก์ชันที่ส่งจากแซมเปิลสเปซไปหาจำนวนจริง แบบนี้แหละเรียกว่า ต้วแปรสุ่มครับ  หรือถ้าเขียนให้มันดีๆหน่อย

    ตัวแปรสุ่ม(random variable) คือฟังก์ชันจากแซมเปิลสเปซไปยังเซตของจำนวนจริง

    โดยทั่วไปนิยมใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่แทนตัวแปรสุ่ม เช่น \(X,Y,Z\) และใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก\((x,y,z)\)แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มซึ่งนิยมเขียนในรูปของเซต เช่น จากรูปภาพด้านบน \(x=\{0,1,2,3\}\) คือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    จากรูปภาพข้างบน เราจะเห็นว่า

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 0 \(\{TTT\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{1}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=0)=\frac{1}{8}\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 \(\{HTT,THT,TTH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{3}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=1)=\frac{3}{8}\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 2 \(\{HHT,THH,HTH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{3}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=2)=\frac{3}{8}\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 3 \(\{HHH\}\)ครั้งเท่ากับ \(\frac{1}{8}\) ซึ่งเขียนแทนด้วย \(P(X=1)=\frac{1}{8}\)

    มาลองทำแบบฝึกหัดกันครับผม เป็นแบบฝึกหัดจากหนังสือ สสวท นะคับลองทำดูไม่ยากนะค่อยๆทำความเข้าใจ

    1. ข้อสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ชุดหนึ่งมีทั้งหมด 10 ข้อ จำนวนข้อสอบที่ตอบถูกในการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ครั้งนี้ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง จำนวน 40 คน แสดงด้วยตารางความถี่ดังนี้

    จำนวนข้อที่ตอบถูก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    จำนวนนักเรียน(คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3 2

    ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(X\) ในรูปตาราง

    วิธีทำ   จากโจทย์กำหนดให้ ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนข้อสอบที่นักเรียนคนนี้ตอบถูก ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(x=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\) ก็คือ

     0  นักเรียนตอบไม่ถูกเลย

    1  นักเรียนตอบถูกหนึ่งข้อ

    2  นักเรียนตอบถูกสองข้อ

    \(\vdots\quad\vdots\)

    10 นักเรียนตอบถูกสิบข้อ

    ซึ่งถ้าเราดูจากตารางที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า

    นักเรียนที่ตอบไม่ถูกสักข้อเลยมี 0 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกหนึ่งข้อมี 1 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกสองข้อ มี 2 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกสามข้อมี 5 คน

    นักเรียนที่ตอบถูกสี่ข้อมี 6 คน

    จากตรงนี้เราจะได้ว่า สุ่มนักเรียนมา 1 คน

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 0 ข้อ คือ \(P(X=0)=\frac{0}{40}=0\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 1 ข้อ คือ \(P(X=1)=\frac{1}{40}=0.025\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 2 ข้อ คือ \(P(X=2)=\frac{2}{40}=0.05\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 3 ข้อ คือ \(P(X=3)=\frac{5}{40}=0.125\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 4 ข้อ คือ \(P(X=4)=\frac{6}{40}=0.15\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 5 ข้อ คือ \(P(X=5)=\frac{3}{40}=0.075\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 6 ข้อ คือ \(P(X=6)=\frac{8}{40}=0.2\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 7 ข้อ คือ \(P(X=7)=\frac{7}{40}=0.175\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 8 ข้อ คือ \(P(X=8)=\frac{3}{40}=0.075\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 9 ข้อ คือ \(P(X=9)=\frac{3}{40}=0.075\)

    ความน่าจะเป็นที่นักเรียนตอบถูก 10 ข้อ คือ \(P(X=10)=\frac{2}{40}=0.05\)

    เอ้าลืมไปเขาเขียนในรูปของตาราง

    \(x\) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    \(P(X=x)\) 0 \(\frac{1}{40}\) \(\frac{2}{40}\) \(\frac{5}{40}\) \(\frac{6}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{8}{40}\) \(\frac{7}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{3}{40}\) \(\frac{2}{40}\)

    2. ให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต๋า จากการทอดลูกเต๋าเที่ยงตรง 2 ลูก พร้อมกัน 1 ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) ในรูปตารางและกราฟ

    วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าการทดลองสุ่มของเราคือทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ดังนั้นแซมเปิลสเปส(sample space) คือ

    \begin{array}{lcl}s=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)\\(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)\\(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\\(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)\\(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)\\(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\end{array}

    ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(n(s)=36\)

    จากโจทย์กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม \(Z\) คือผลต่างของแต้มบนหน้าลูกเต่า ดังนั้นจาก sample space ด้านบนเราได้ว่า

    ผลต่างของแต้มเป็น 0 คือพวกนี้ \(\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว

    ผลต่างของแต้ม 1 คือพวกนี้ \(\{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,6),(6,5),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)\}\) มีสมาชิก  10 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 2 คือพวกนี้ \(\{(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),(1,3),(3,1)\}\) มีสมาชิก 8 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 3 คือพวกนี้ \(\{(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3)\}\) มีสมาชิก 6 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 4 คือพวกนี้ \(\{(1,5),(5,1),(2,6),(6,2)\}\) มีสมาชิก 4 ตัว

    ผลต่างของแต้มเป็น 5 คือพวกนี้ \(\{(1,6),(6,1)\}\) มีสมาชิก 2 ตัว

    จากที่เราแจกแจงมาทั้งหมดด้านบนทำให้เรารู้อีกว่า ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(Z\) หรือก็คือผลต่างของแต้มลูกเต๋าผมจะแทนด้วย \(z\) สามารถเขียนอยู่ในรูปของเซตคือ \(z=\{0,1,2,3,4,5\}\)

    ต่อไปเราก็หาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม \(Z\) กันเลยครับ

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 0 เขียนแทนด้วย \(P(Z=0)=\frac{6}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 1 เขียนแทนด้วย \(P(Z=1)=\frac{10}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 2 เขียนแทนด้วย \(P(Z=2)=\frac{8}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 3 เขียนแทนด้วย \(P(Z=3)=\frac{6}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 4 เขียนแทนด้วย \(P(Z=4)=\frac{4}{36}\)

    ความน่าจะเป็นผลต่างของแต้มลูกเต๋าเป็น 5 เขียนแทนด้วย \(P(Z=5)=\frac{2}{36}\)

    โจทย์เขาบอกให้ในรูปตารางและกราฟ ลงมือเขียนเลยไม่ยากแล้ว ได้ข้อมูลครบหมดแล้ว

    \(z\) 0 1 2 3 4 5
    \(P(Z=z)\) \(\frac{6}{36}=0.17\) \(\frac{10}{36}\) \(\frac{8}{36}\) \(\frac{6}{36}\) \(\frac{4}{36}\) \(\frac{2}{36}\)

    กราฟแสดงการแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม Z

  • ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

    หลังจากที่เราเรียนเรื่อง ตัวแปรสุ่ม และ ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง มาแล้ววันนี้เรามาเรียนเกี่ยวกับ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง บ้างซึ่งไม่ได้ยากเลยง่ายๆเลยครับ  มาดูความหมายของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง กันเลย

    ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (continuous random variable)  คือตัวแปรสุ่มที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็น ช่วง ที่เป็นสับเซตของจำนวนจริง\((\mathbb{R})\)   อ่านนิยามแล้วอาจจะ งงๆ มาดูตัวอย่างประกอบครับผม

    ตัวอย่างเช่น

    • ตัวแปรสุ่มคือความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ห้องหนึ่ง อาจได้ว่าเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือช่วง \(\left[150,190\right]\)
    • ตัวแปรสุ่มคือน้ำหนัก (กิโลกรัม) ของทุเรียน ที่เก็บจากสวนแห่งหนึ่ง อาจได้ว่าเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือช่วง \(\left[1,10\right]\)

  • ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

    โดยทั่วไปตัวแปรสุ่ม แบ่งออกได้เป็น 2 ชนิด ตามลักษณะค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม ก่อนที่จะอ่านตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง ให้ไปอ่านและทำความรู้จักกับตัวแปรสุ่ม ตามลิงค์เลยครับ เอาละเมื่ออ่านแล้วเราไปดูกันเลยว่าตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง คืออะไร

    ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (discrete random variable)  คือตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดอยู่ในเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้  หรือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มสามารถเขียนเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ ทั้งนี้ เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องอาจเป็นเซตจำกัดหรือเซตอนันต์ก็ได้

    ตัวอย่างเช่น

    • ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง ถ้าให้ตัวแปรสุ่มคือผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋าทั้้งสองจะได้เซตของค่าที่เป็นได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือ \(\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\)
    • ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 1 ครั้ง ถ้าให้ตัวแปรสุ่มเป็น 0 เมื่อเหรียญขึ้นหัว และ 1 เมื่อเหรียญขึ้นก้อย จะได้เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือ \(\{0,1\}\)
    • ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ ไปเรื่อยๆ จนกว่าเหรียญจะขึ้นหัวจึงจะหยุด ถ้าให้ตัวแปรสุ่มคือจำนวนครั้งที่ต้องโยนจนกว่าเหรียญจะขึ้นหัว จะได้เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มคือ \(\{1,2,3,\cdots\}\) หรือ \(\mathbb{N}\)

    ตัวอย่างแบบฝึกหัดเกี่ยวกับตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

    จงพิจาราณาว่าตัวแปรสุ่มต่อไปนี้เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องหรือตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

    1. ตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) คือจำนวนข้อสอบ (ข้อ) ที่ตอบถูก จากจำนวนข้อสอบปรนัยทั้งหมด 50 ข้อ ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนคนหนึ่ง

    ตอบ  ตัวแปรสุ่ม \(X_{1}\) เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องนะคับ เพราะค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มหรือจำนวนข้อที่ตอบถูกสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้คือ \(\{0,1,2,3,\cdots ,50\}\)

    2. ตัวแปรสุ่ม\(X_{2}\) คือจำนวนวัยรุ่น (คน) ที่ชื่นชอบการดื่มชาเขียว จากการสอบถามวัยรุ่นจำนวน 100 คน

    ตอบ ตัวแปรสุ่ม \(X_{2}\) เป็น ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง เพราะค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มหรือจำนวนข้อที่ตอบถูกสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้คือ \(\{0,1,2,3,\cdots ,100\}\)

    3. ตัวแปรสุ่ม \(X_{3}\) คือ อุณหภูมิร่างกาย (องศาเซลเซียส) ของผู้ป่วยไข้หวัดใหญ่ในโรงพยาบาลแห่งหนึ่ง

    ตอบ ข้อนี้จะสังเกตเห็นว่า ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มเป็นค่าของอุณหภูมิของคนป่วย ซึ่งอาจะเป็น 38 องศา หรือ 38.01 องศา หรือ 38.001 ซึ่งค่าพวกนี้เราไม่สามารถนำมาเขียนเป็นเซตเรียงลำดับสมาชิกจากน้อยไปหามากได้  แต่สามารถนำค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มนี้ไปเขียนในรูปของ ช่วง ได้ ดังข้อนี้ตัวแปรสุ่ม \(X_{3}\) เป็น ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

    4. ตัวแปรสุ่ม \(X_{4}\) คือ จำนวนลูกค้า (คน) ที่มาใช้บริการที่ธนาคารแห่งหนึ่งระหว่างเวลา 09.00-12.00 น.

    ตอบ ข้อนี้เป็นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องครับ เพราะ จำนวนลูกค้าหรือว่าค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มนี้สามารถเขียนเป็นเซตเรียงลำดับจากน้อยไปหามากได้ เช่น ไม่มีคนมาใช้บริการเลยคือ 0 คน มีคนมาใช้บริการ 1 คน มีคนมาใช้บริการ 2  คน หรือถ้าเขียนเป็นเซตคือ \(\{0,1,2,3,\cdots\}\)

  • ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

    ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง \(X\) เขียนแทนด้วย \(\sigma_{x}\) นิยามโดย

    \[\sigma_{x}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu_{x})^{2}P(X=x_{i})}\]

    และเรียก \(\sigma^{2}\) ว่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง \(X\)

    เมื่อ \(n\) แทนจำนวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) และ \(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots ,x_{n}\) แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)

    หมายเหตุ

    ในกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นเซตอนันต์ จะนิยามให้

    \[\sigma_{x}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}(x_{i}-\mu_{x})^{2}P(X=x_{i})}\]

    แต่ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นเซตจำกัดเท่านั้น

    ไปดูตัวอย่างกันครับ

    ตัวอย่าง  ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนครั้งที่เหรีญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) 

    วิธีทำ ข้อนี้โยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง จะได้แซมเปิลสเปซแบบนี้ครับ

    \(\{(HHH),(THH),(HTH),(HHT),(TTT),(HTT),(THT),(TTH)\}\)

    ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั่งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(\{0,1,2,3\}\) จึงได้ว่า

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 0 ครั้ง (TTT) คือ \(P(X=0)=\frac{1}{8}=0.125\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง (HTT),(THT),(TTH) คือ \(P(X=1)=\frac{3}{8}=0.375\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 2 ครั้ง (HHT),(THH),(HTH) คือ \(P(X=1)=\frac{3}{8}=0.375\)

    ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 3 ครั้ง (HHH) คือ \(P(X=1)=\frac{1}{8}=0.125\)

    สามารถนำไปเขียนเป็นตารางแจกความน่าจะเป็น เพื่อให้ดูง่ายๆดังนี้

    \(x\) 0 1 2 3
    P(X=x) 0.125 0.375 0.375 0.125

    ต่อไปหาค่าคาดหมาย จะได้

    \begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&0(0.125)+1(0.375)+2(0.375)+3(0.125)\\&=&1.5\end{array}

    ดังนั้น ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 1.5 ครั้ง

    ต่อไปความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(X\) ต่อเลย

    \begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&(0-1.5)^{2}(0.125)+(1-1.5)^{2}(0.375)\\&+&(2-1.5)^{2}(0.375)\\&+&(3-1.5)^{2}(0.125)\\&=&0.75\end{array}

    ดังนั้นความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 0.75 ครั้ง2  

    ต่อหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือ เอาความแปรปรวนมาถอดรูทนั่นเองครับ

    เนื่องจาก \(\sigma^{2}_{x}=0.75\) ดังนั้น

    \(\sigma_{x}=\sqrt{0.75}\approx 0.87\)

    ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) มีค่าประมาณ 0.87 ครั้ง

Latest News/บทความล่าสุด (2)