ผลคูณเชิงเวกเตอร์

นี่คือนิยามการคูณเชิงเวกเตอร์นะครับอ่านแล้วอาจจะยังงงๆอยู่ก็ไปดูตัวอย่างประกอบครับ

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้  \(\vec{u}=\begin{bmatrix}-4\\2\\4\end{bmatrix}\)  และ  \(\vec{v}=\begin{bmatrix}6\\-3\\0\end{bmatrix}\)  จงหา \(\vec{u}\times \vec{v}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&2&4\\6&-3&0\end{vmatrix}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix}2&4\\-3&0\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}-4&4\\6&0\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}-4&2\\6&-3\end{vmatrix}\vec{k}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}&=&\left[(2)(0)-(4)(-3)\right]\vec{i}-\left[(-4)(0)-(4)(6)\right]\vec{j}\\&+&\left[(-4)(-3)-(2)(6)\right]\vec{k}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}&=&12\vec{i}-(-24)\vec{j}+(0)\vec{k}\\\vec{u}\times \vec{v}&=&12\vec{i}+24\vec{j}\end{array}

ตัวอย่างที่ 2 จงหา \(\vec{u}\times \vec{v}\)  และ \(\vec{v}\times \vec{u}\)  เมื่อกำหนดให้

\(\vec{u}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)

\(\vec{v}=\begin{bmatrix}2\\-3\\-1\end{bmatrix}\)

วิธีทำ

หาค่า \(\vec{u}\times \vec{v}\) ก่อน

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&3\\2&-3&-1\end{vmatrix}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}&=&\begin{vmatrix}2&3\\-3&-1\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}\vec{j}\\&+&\begin{vmatrix}1&2\\2&-3\end{vmatrix}\vec{k}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}&=&[(2)(-1)-(3)(-3)]\vec{i}-[(1)(-1)-(3)(2)]\vec{j}\\&+&[(1)(-3)-(2)(2)]\vec{k}\\&=&7\vec{i}+7\vec{k}-7\vec{k}\quad\underline{Ans}\end{array}

ต่อไปหาค่าของ \(\vec{v}\times \vec{u}\)  บ้าง

\begin{array}{lcl}\vec{v}\times \vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-3&-1\\1&2&3\end{vmatrix}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{v}\times \vec{u}&=&\begin{vmatrix}-3&-1\\2&3\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}2&-1\\1&3\end{vmatrix}\vec{j}\\&+&\begin{vmatrix}2&-3\\1&2\end{vmatrix}\vec{k}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{v}\times\vec{u}&=&[(-3)(3)-(-1)(2)]\vec{i}-[(2)(3)-(-1)(1)]\vec{j}\\&+&[(2)(2)-(-3)(1)]\vec{k}\\&=&-7\vec{i}-7\vec{k}+7\vec{k}\quad \underline{Ans}\end{array}

จะเห็นได้ว่า \(\vec{u}\times\vec{v}\neq\vec{v}\times\vec{u}\)  แต่

\(\vec{u}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{u})\)

ความจริงถ้าดูดีๆนะครับตัวอย่างที่ 2 นี้ การครอสของเวกเตอร์ก็คือ การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสาม นั่นเองครับ ลองทำดูครับ

และมีสมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์อีกมากมายครับไปอ่านตามลิงค์และนำไปใช้ได้เลยครับ

เรามาลองทำแบบฝึกหัดต่ออีกนิดหนึ่งเพื่อความเข้าใจครับ ที่สำคัญก็คือต้องจำนิยามการครอสเวกเตอร์ให้ได้ครับ

1. กำหนดให้ \(\vec{u}=5\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\quad,\quad \vec{v}=\vec{j}-\vec{k}\) จงหา

1) \(\vec{u}\times \vec{v}\)

วิธีทำ  กลับไปดูนิยามการครอสเวกเตอร์ครับข้อนี้จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}&=&\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\5&-3&4\\0&1&-1\end{vmatrix}\\&=&\begin{vmatrix}-3&4\\1&-1\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}5&4\\0&-1\end{vmatrix}\vec{k}+\begin{vmatrix}5&-3\\0&1\end{vmatrix}\vec{k}\\&=&[(-3)(-1)-(4)(1)]\vec{i}-[(5)(-1)-(0)(4)]\vec{j}+[(5)(1)-(0)(-3)]\vec{k}\\&=&-\vec{i}+5\vec{j}+5\vec{k}\end{array}

อันที่จริงไม่ต้องกระจายยาวเหมือนผมก็ได้ครับ คือไปหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ก้อนข้างล่างนี้เลยครับ

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}&=&\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\5&-3&4\\0&1&-1\end{vmatrix}\end{array}

ก็คือเอาผลรวมของการคูณแนวทแยงลง  ไปลบกับ ผลรวมของการคูณแนวทแยงขึ้น

ผลรวมของการคูณแนวทแยงลงคือ 

\(3\vec{i}+0\vec{j}+5\vec{k}=3\vec{i}+5\vec{k}\)

ผลรวมของการคูณแนวทแยงขึ้นคือ

\(4\vec{i}-5\vec{j}+0\vec{k}=4\vec{i}-5\vec{j}\)

ต่อไป เอาไปลบกันจะได้

\(3\vec{i}+5\vec{k}-(4\vec{i}-5\vec{j})=-\vec{i}+5\vec{j}+5\vec{k}\)

นั่นก็คือ

\(\vec{u}\times \vec{v}=-\vec{i}+5\vec{j}+5\vec{k}\)  ครับ

ใครที่ยังหาไม่เป็นให้ไปอ่านเพิ่มเติมตามลิงค์นี้ได้เลยครับ  การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสาม 

2) \(|\vec{u}\times \vec{v}|\)

วิธีทำ ข้อที่สองนี้เป็นการหาขนาดของ เวกเตอร์ยู ครอส เวกเตอร์วีครับ  เราได้ผลการครอสของเวกเตอร์ยูกับเวกเตอร์วีในข้อที่หนึ่งแล้ว ก็นำมาหาขนาดเลยครับ จะได้ดังนี้

\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times \vec{v}|&=&|-\vec{i}-5\vec{j}+5\vec{k}|\\&=&\sqrt{(-1)^{2}+(-5)^{2}+(5)^{2}}\\&=&\sqrt{51}\end{array}

3)หาไซน์ของมุมระหว่าง \(\vec{u}\)  และ \(\vec{v}\) 

วิธีทำ  การหามุมไซน์ระหว่าง \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) สามารถใช้สูตรนี้หาได้ครับ แต่ในการที่จะแทนค่าลงไปในสูตรข้างล่างได้จำเป็นต้องหาขนาดของเวกเตอร์ยู และหาขนาดของเวกเตอร์วีก่อนครับ ไปหากันเลย จาก

\(\vec{u}=5\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\)

\(\vec{|u|}=\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{50}\)

\(\vec{v}=\vec{j}-\vec{k}\) 

\(\vec{|v|}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}\)

ต่อไปใช้สูตรนี้เพื่อหาค่าไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ยูและเวกเตอร์วีครับ

\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times \vec{v}|&=&\vec{|u|}\vec{|v|}sin\theta\\sin\theta&=&\frac{|\vec{u}\times \vec{v}|}{\vec{|u|}\vec{|v|}}\\sin\theta&=&\frac{\sqrt{51}}{\sqrt{50}\sqrt{2}}\\sin\theta&=&\frac{\sqrt{51}}{\sqrt{100}}\\sin\theta&=&0.714\end{array}

2. จงพิจารณาว่าการนำเวกเตอร์มาคูณกันดังต่อไปนี้มีความหมายหรือไม่ เพราะเหตุใด ถ้าความหมายจะมีผลลัพธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์หรือปริมาณสเกลาร์

1) \((\vec{u}\cdot \vec{v})\cdot \vec{r}\)

ข้อนี้เราจะเห็นว่า \((\vec{u}\cdot\vec{v}\) ผลลัพธ์ออกมาเป็นสเกลลาร์ ต่อไปเราก็นำสเกลาร์ที่เราได้นี้ไป ดอทกับ เวกเตอร์ r อีก ซึ่งตรงนี้จะเห็นว่า เรามีนิยามแค่การนำเวกเตอร์มาดอทกับกับเวกเตอร์  ไม่มีนิยามการนำสเกลาร์มาดอทกับเวกเตอร์ จึงไม่มีความหมายครับข้อนี้

2) \((\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{r}\)

ข้อนี้เราจะเห็นว่าเวกเตอร์ยูไปดอทกับเวกเตอร์วีจะได้ผลลัพธ์เป็นสเกลลาร์  แล้วนำสเกลาร์นี้ไปคูณกับเวกเตอร์อาร์ ผลลัพธ์ออกมาจะเป็นเวกเตอร์ ข้อนี้ก็คือมีความหมายครับก็คือผลลัพธ์ออกมาเป็นเวกเตอร์นั่นเอง

3) \((\vec{u}\cdot \vec{v})\times \vec{r}\)

ข้อนี้จะเห็นว่า เวกเตอร์ยูดอทกับเวกเตอร์วีผลลัพธ์ออกมาเป็นสเกลาร์ ต่อนำสเกลาร์นี้ไปครอสกับเวกเตอร์อาร์ ซึ่งจะเห็นว่าเรามีนิยามแค่เวกเตอร์ครอสกับเวกเตอร์เท่านั้น  ไม่นิยามสเกลาร์ครอสกับเวกเตอร์ ข้อนี้จึงไม่มีความหมายครับ

4) \(\vec{u}\cdot (\vec{v}\times\vec{r})\)

ข้อนี้พิจารณาเวกเตอร์วีครอสกับเวกเตอร์อาร์ก่อนครับซึ่งผลลัพธ์ที่ได้เป็นเวกเตอร์  แล้วนำเวกเตอร์ยูมาดอทกับเวกเตอร์ ที่ครอสได้ก่อนหน้านั้นผลลัพธ์ออกมาก็จะเป็นสเกลาร์ครับ ข้อนี้มีความหมายครับก็คือเป็นสเกลาร์นั่นเองครับ

สรุปนิดหนึ่งครับ

เวกเตอร์สองเวกเตอร์มีดอทกันจะได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ครับ เช่น \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) ผลลัพธ์ออกมาเป็นสเกลาร์ครับก็คือเป็นตัวเลขตัวหนึ่งนั่นเอง ดูนิยามเอานะ ผลคูณเชิงสเกลาร์

 เวกเตอร์สองเวกเตอร์มาครอสกันจะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ครับ เช่น \(\vec{u}\times\vec{v}\) ผลลัพธ์ออกมาเป็นเวกเตอร์ครับได้คำตอบออกมาเป็นเวกเตอร์นั่นเองครับ ดูนิยามเอานะ ผลคูณเชิงเวกเตอร์

3. ให้ \(\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}\)  และ  \(\vec{v}=-\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}\) จงหาเวกเตอร์สองเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ \(|\vec{u}\cdot \vec{v}|\) และมีทิศทางตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดด้วยวเวกเตอร์ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\)

วิธีทำ  จากสมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์ คือ เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดยเวกเตอร์ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\)  คือ เวกเตอร์ \(\vec{u}\times \vec{v}\)  เริ่มหาเลยครับ

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}&=&\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-1&1\\-1&1&-2\end{vmatrix}\end{array}

อันนี้ไม่อธิบายละเอียดนะคับเลื่อนไปดูข้างบนครับ จะได้

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times \vec{v}&=&\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}\end{array}

แต่เวกเตอร์นี้ที่เราได้มานี้ โจทย์บอกว่าต้องมีขนาดเท่ากับขนาดของเวกเตอร์ \(\vec{u}\cdot \vec{v}\) ดังนั้นเรา ก็เริ่มหาขนาดกันเลยครับ

หาขนาดของ \(\vec{u}\times \vec{v}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&\sqrt{1^{2}+3^{2}+1^{2}}\\&=&\sqrt{11}\end{array}

หาขนาดของ \(\vec{u}\cdot \vec{v}\)

แต่ก่อนจะหาขนาดเราต้องหาค่าของ  \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) ก่อนครับก็คือหาผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์ยูกับเวกเตอร์วีครับจะได้

\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot \vec{v}&=&(2)(-1)+(-1)(1)+(1)(-2)\\&=&-5\end{array}

ดังนั้น \(|\vec{u}\cdot\vec{v}|=|-5|=5\)

ดังนั้นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 5 และมีและมีทิศทางตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดด้วยวเวกเตอร์ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) คือ

\begin{array}{lcl}\frac{5}{|\vec{u}\times\vec{v}|}(\vec{u}\times\vec{v})&=&\frac{5}{\sqrt{11}}(\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k})\\&=&\frac{5\sqrt{11}}{11}(\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k})\end{array}

และเวกเตอร์อีกอันแต่มีทิศทางตรงกันข้ามคือ

\(-\frac{5\sqrt{11}}{11}(\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k})\)

ดังนั้นเวกเตอร์สองเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ยูและเวกเตอร์วีและมีขนาดเท่ากับ \(|\vec{u}\cdot\vec{v}|\) คือ

\(\frac{5\sqrt{11}}{11}(\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k})\)

\(-\frac{5\sqrt{11}}{11}(\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k})\)

ดูรูปประกอบด้านล่างนะคับ การหาผลคูณเชิงเวกเตอร์โดยการใช้ determinant

สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์

ลองใช้สมบัติผลคูณเชิงเวกเตอร์ทำโจทย์เกี่ยวกับผลคูณเชิงเวกเตอร์ดูครับ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ \(\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\)  และ \(\vec{v}=4\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}\) จงหา

1) \(\vec{u}\times\vec{v}\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-3\\4&3&-2\end{vmatrix}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times\vec{v}&=&\begin{vmatrix}1&-3\\3&-2\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}2&-3\\4&-2\end{vmatrix}\vec{j}\\&+&\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}\vec{k}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times\vec{v}&=&[(1)(-2)-(3)(-3)]\vec{i}\\&-&[(2)(-2)-(-3)(4)]\vec{j}\\&+&[(2)(3)-(1)(4)]\vec{k}\\\vec{u}\times\vec{v}&=&7\vec{i}-8\vec{j}+2\vec{k}\end{array}

2) \(|\vec{u}\times\vec{v}|\)

วิธีทำ จากข้อที่ 1)  จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|7\vec{i}-8\vec{j}+2\vec{k}|\\&=&\sqrt{(7)^{2}+(-8)^{2}+2^{2}}\\&=&\sqrt{49+64+4}\\&=&\sqrt{117}\end{array}

3) ค่าของ sine ของมุมระหว่าง \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\)

วิธีทำ จาก

\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\\\sin\theta&=&\frac{|\vec{u}\times\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}\quad......(1)\end{array}

เนื่องจาก

\(\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}|\vec{u}|&=&\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}\\&=&\sqrt{4+1+9}\\&=&\sqrt{14}\end{array}

\(\vec{v}=4\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}|\vec{u}|&=&\sqrt{4^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}\\&=&\sqrt{29}\end{array}

เอาทั้งสองค่านี้ไปแทนค่าในสมการที่ (1)  จะได้

\begin{array}{lcl}\sin\theta&=&\frac{\sqrt{117}}{\sqrt{14}\sqrt{29}}\end{array}