สามเหลี่ยมคล้าย

\[\frac{AB}{A^{\prime}B^{\prime}}=\frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}}=\frac{BC}{B^{\prime}C^{\prime}}\]

จากตรงนี้เป็นที่มาของทฤษฎีที่ว่า

ทฤษฎี  ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายแล้ว อัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันจะเท่ากันทุกคู่

จากความรู้ตรงนี้ต่อไปเราจะทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับสามเหลี่ยมคล้ายครับ

1.จงบอกว่ารูปสามเหลี่ยมแต่ละคู่ที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหรือไม่

1)

วิธีทำ  จากรูปจะเห็นว่า

\(\hat{C}=180^{\circ}-85^{\circ}-45^{\circ}=50^{\circ}\)

\(\hat{D}=180^{\circ}-60^{\circ}-85^{\circ}=35^{\circ}\)

จากรูปจะเห็นว่า สามเหลี่ยมสองรูปนี้ มีมุมเท่ากันแค่คู่เดียวคือ \(\hat{B}=\hat{F}\)  อีกสองคู่ที่เหลือไม่เท่ากัน ดังนั้นสามเหลี่ยมสองรูปนี้ไม่คล้ายกันครับ

2)

วิธีทำ  จากรูปจะได้

\(\hat{E}=180^{\circ}-47^{\circ}-25^{\circ}=108^{\circ}\)

\(\hat{A}=180^{\circ}-108^{\circ}-25^{\circ}=47^{\circ}\)

ดูรูปประกอบครับ

จากรูปจะเห็นว่า 

\(\hat{A}=\hat{D}\)

\(\hat{C}=\hat{C}\)  (สามเหลี่ยมสองรูปมีมุม C เป็นมุมเดียวกัน)

\(\hat{B}=\hat{E}\)

สามเหลี่ยมสองรูปนี้มีมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทั้ง 3 คู่ ดังนั้น สามเหลี่ยมสองรูปนี้คล้ายกันครับ

2. จงหาความยาวของ \(x\) เมื่อกำหนดให้รูปสามเหลี่ยมคล้ายกัน

1)

วิธีทำ  เนื่องจากโจทย์กำหนดให้รูปสามเหลี่ยมคล้ายกันดังนั้นเราจึงได้ว่าอัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันจะเท่ากันทั้งหมด

จากรูปจะได้ว่า

\(AB\) สมนัยกับ \(DE\)

\(BC\) สมนัยกับ \(DC\)

\(AC\) สมนัยกับ \(CE\)

นั่นคือจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{AB}{DE}&=&\frac{BC}{DC}&=&\frac{AC}{CE}\\\frac{12}{DE}&=&\frac{5}{2}&=&\frac{AC}{x}\quad \cdots (1)\end{array}

แต่เราสามารถหาความยาวของด้าน \(AC\) ได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}AC^{2}&=&12^{2}+5^{2}\\&=&144+25\\&=&169\\so\\AC&=&13\end{array}

เอาไปแทนใน \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{5}{2}&=&\frac{AC}{x}\\\frac{5}{2}&=&\frac{13}{x}\\x&=&\frac{13\times 2}{5}\\x&=&\frac{26}{5}\\x&=&5.2\end{array}

2)

จากรูปจะได้อัตราส่วนคู่ที่สมนัยคือ

\begin{array}{lcl}\frac{AB}{DE}&=&\frac{AC}{CE}\end{array}

แทนค่าความยาวแต่ละด้านลงไปแล้วคำนวณหาค่าของ \(x\) ครับจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{x+4}{x+1}&=&\frac{x}{1}\\x+4&=&x(x+1)\\x+4&=&x^{2}+x\\x^{2}&=&4\\so\\x&=&2\end{array}

3.กรวยตรงอันหนึ่งสูง 12 เซนติเมตร รัศมีของฐาน 7 เซนติเมตร ถูกตัดยอดของกรวยออกไปทำให้ส่วนที่ตัดเป็นรูปกรวยสูง 4 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของกรวยที่เป็นส่วนที่ตัดออก

วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปประกอบและใช้ความรู้เรื่องสามเหลี่ยมคล้ายมาช่วยครับ

ดูจากรูปถ้าเราหาความยาว \(DE\) ได้เราก็จะหาปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดออกได้ครับซึ่งปริมาตรกรวยหาได้จากสูตร

\(V=\frac{1}{3}\times \pi r^{2}\times h\cdots (1)\)

ซึ่ง r หรือว่ารัศมีของกรวยที่ถูกตัดออกก็คือความยาวของด้าน \(DE\) นั่นเองครับเราจะหาความยาวนี้โดยใช้ความรู้เรื่องสามเหลี่ยมคล้ายครับ เริ่มหากันเลย ดูรูปประกอบนะครับ

จากรูปเราจะได้อัตราส่วนคู่สมนัยกันคือ

\begin{array}{lcl}\frac{DE}{AB}&=&\frac{CD}{CA}\\\frac{DE}{7}&=&\frac{4}{12}\\DE&=&\frac{4\times 7}{12}\\DE&=&\frac{7}{3}\end{array}

เอาไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) เพื่อหาปริมาตรของกรวยส่วนที่ถูกตัดออกไปจะได้

\begin{array}{lcl}V&=&\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times \frac{7}{3}\times\frac{7}{3}\times 4\\&=&\frac{616}{27}\\&=&22.81\end{array}

4. กำหนดให้ ACE และ BCD เป็นส่วนของเส้นตรงตัดกันที่จุด C ส่วนของเส้นตรง AB และ DE ขนานกัน  ถ้า AB=2 ซม. AC=1.5 ซม. , DE=4 ซม. , DC=AB ,BC=X ซม. และ EC=Y ซม. จงหาค่าของ X+Y

1. 3
2. 3.5
3. 4
4. 4.5

วิธีทำ ข้อนี้ใช้ความรู้ความคล้ายมาช่วยคับจากโจทย์เราจะได้รูปแบบนี้ครับ

เราใช้ความรู้เรื่องความคล้ายนะครับแล้วเราก็แก้สมการพวกนี้เพื่อหาค่า \(X\) และ ค่า \(Y\) ออกมาครับ

หาค่า \(X\) ก่อนครับจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{2}{4}&=&\frac{X}{2}\\X&=&\frac{2}{4}\times 2\\X&=&1\end{array}

ต่อไปหาค่า \(Y\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{2}{4}&=&\frac{1.5}{Y}\\Y&=&\frac{1.5\times 4}{2}\\Y&=&3\end{array}

ดังนั้น

\(X+Y=1+3=4\)

5. กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC คล้ายกับรูปสามเหลี่ยม DEF   รูปสามเหลี่ยม ABC  มีด้านยาว 2 นิ้ว , 3 นิ้ว และ 4 นิ้ว และรูปสามเหลี่ยม DEF มีความยาวรอบรูปเท่ากับ 36 นิ้ว ข้อใดต่อไปนี้กล่าวถึงรูปสามเหลี่ยม DEF ได้ถูกต้อง

1. มีด้านที่ยาวที่สุด 16 นิ้ว
2. มีด้านที่สั้นที่สุด 12 นิ้ว
3. มีสองด้านที่มีความยาวต่างกัน 20 นิ้ว
4. มีสองด้านที่มีความยาวรวมกัน 21 นิ้ว

วิธีทำ  ข้อนี้ใช้ความรู้เรื่องความคล้ายครับก็คือ เขากำหนดให้สามเหลี่ยมสองรูปนี้คล้ายกัน ดังนั้นสามเหลี่ยมสองรูปนี้ก็คือเกิดจากการเอาอีกรูปหนึ่งมาย่อให้เล็กลงหรือขยายให้ใหญ่ขึ้นนั้นเองครับ ดังนั้น

รูปแรกมีความยาวแต่ละด้านคือ 2 ,3 และ 4 นิ้ว ตามลำดับ

ดังนั้นอีกรูปซึ่งคล้ายกันจึงมีความยาวของแต่ละด้านเป็น \(2x,3x\) และ \(4x\) ตามลำดับ ลองคิดตามดูดีนะครับ 

ถ้า \(x\) เป็นเลข 2 เป็นเลข 3 แสดงว่าสามเหลี่ยม DEF เป็นสามเหลี่ยมที่ใหญ่กว่าสามเหลี่ยม ABC เหมือมเอาสามเหลี่ยม ABC มาขยายให้ใหญ่

แต่ถ้า \(0<x<1\) แสดงว่าสามเหลี่ยม DEF เป็นสามเหลี่ยมที่เล็กกว่าสามเหลี่ยม ABC เหมือนเอาสามเหลี่ยม ABC มาย่อให้เล็กลงครับ พอเข้าใจ concept ไหมเอย

ต่อไปโจทย์บอกว่าสามเหลี่ยม DEF มีความยาวรอบรูปเท่ากับ 36 นั่นคือเราจะได้สมการ

\(2x+3x+4x=36\) แก้สมการจะได้

\begin{array}{lcl}9x&=&36\\x&=&\frac{36}{9}\\x&=&4\end{array}

ดังนั้นเราจึงได้สามเหลี่ยม DEF  ดังรูป

ดังนั้นจากตัวเลือกจะเห็นว่าข้อที่ถูกคือ มีด้านที่ยาวที่สุดคือ 16 นิ้วครับ

แถมให้อีกข้อครับไม่เกี่ยวกับสามเหลี่ยมคล้ายหรอกแต่น่าสนใจดีคับ

6.กำหนดให้สามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมบนระนาย (x,y) จุด A มีพิกัดเป็น (4,-3) จุด B มีพิกัดเป็น (4,-3) และจุด C มีพิกัดเป็น (-2,a)  จงหาค่าของ a เมื่อทราบว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 28 ตารางหน่วย

1. 5
2. 8
3. -11
4. ถูกทั้งข้อ 1 และข้อ 3

 วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าเราลองวาดรูปดูเราจะได้รูป 2 รูปออกมาดังนี้ เหตุที่มี 2 รูป เพราะว่าค่าของ a นี้ อาจจะมากกว่า 0 หรือ น้อยกว่า 0 ก็ได้

กรณีที่ a>0

จะได้รูปดังนี้

กรณีที่ a>0 เราคำนวณหาค่าได้คือ a=5

กรณี a<0

จะได้รูปดังนี้

กรณีที่ a<0 คำนวณได้ค่า a คือ -11

ข้อนี้จึงตอบตัวเลือกที่ 4 ครับผม เป็นไงบ้างยากไหม

ใบงานเรื่องความคล้าย ม.3