การหาอนุพันธ์ฟังก์ชันโดยนิยาม

จาก

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{3(x^{2}+2xh+h^{2})-3x^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{3x^{2}+6xh+3h^{2}-3x^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{3h^{2}+6xh}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(3h+6x)\\&=&6x\end{array}

\(2)\quad f(x)=\frac{1}{x^{2}}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}f^{\prime}&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^{2}-\frac{1}{x^{2}}}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{x^{2}-(x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{x^{2}-(x^{2}+2xh+h^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}\cdot\frac{1}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-2xh-h^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}\cdot \frac{1}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{h(-2x-h)}{x^{2}(x+h)^{2}}\cdot \frac{1}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-2x-h}{x^{2}(x+h)^{2}}\\&=&\frac{-2x}{x^{2}x^{2}}\\&=&-\frac{2}{x^{3}}\end{array}

\(3)\quad f(x)=x^{3}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{f(h)}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}\\&=&\frac{x^{3}-h^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}-x^{3}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{h^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}(h^{2}+3x^{2}+3xh)\\&=&3x^{2}\end{array}

\(4)\quad f(x)=x^{\frac{1}{3}}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{3}}}{h}\cdot \frac{(x+h)^{\frac{2}{3}}+(x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}}{(x+h)^{\frac{2}{3}}+(x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h\left[(x+h)^{\frac{2}{3}}+(x+h)^{\frac{1}{3}+x^{\frac{2}{3}}}x^{\frac{1}{3}}\right]}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{1}{(x+h)^{\frac{2}{3}}+(x+h)^{\frac{1}{3}+x^{\frac{2}{3}}}x^{\frac{1}{3}}}\\&=&\frac{1}{2x^{\frac{2}{3}}}\end{array}

3. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ ณ จุดที่กำหนดให้ (ให้หาอนุพันธ์โดยใช้นิยาม)

1) \(f(x)=x^{2}-x\) ที่จุดซึ่ง \(x=0\)

วิธีทำ ข้อนี้ให้หาอนุพันธ์ของ \(f\) ที่จุด \(x=0\) ไม่ยาก เราก็หาอนุพันธ์ตามนิยามเลย แต่แทนค่า \(x=0\) ลงไป ไปทำกันเลยดีกว่า

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\f^{\prime}(0)&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(h^{2}-h)-(0^{2}-0)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}-h}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\not{h}(h-1)}{\not{h}}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0} h-1\\&=&-1\end{array}

นั่นก็คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) ที่จุด \(x=0\) มีค่าเท่ากับ \(-1\)

2) \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}\) ที่จุดซึ่ง \(x=-1\)

วิธีทำ ข้อนี้หาอนุพันธ์ของ \(f\) ที่จุด \(x=-1\) ทำเหมือนข้อข้างบนนั่นแหละคับ พยายามทำเองก่อนนะคับแล้วค่อยดูคำตอบ

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{(x+h)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{x^{2}-(x+h)^{2}}{x^{2}\cdot (x+h)^{2})}\cdot \frac{1}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{x^{2}-[x^{2}+2xh+h^{2}]}{x^{2}\cdot (x+h)^{2}}\cdot \frac{1}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-2xh-h^{2}}{x^{2}\cdot (x+h)^{2}}\cdot \frac{1}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{-2x-h}{x^{2}\cdot (x+h)^{2}}\\&=&\frac{-2x}{x^{4}}\\&=&\frac{-2}{x^{3}}\end{array}

จึงได้ว่า

\(f^{\prime}(x)=\frac{-2}{x^{3}}\)

ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) ที่จุด \(x=-1\) คือ 

\(f^{\prime}(-1)=\frac{-2}{(-1)^{3}}=2\quad\underline{Ans}\)