ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง \(X\) เขียนแทนด้วย \(\sigma_{x}\) นิยามโดย

\[\sigma_{x}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu_{x})^{2}P(X=x_{i})}\]

และเรียก \(\sigma^{2}\) ว่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง \(X\)

เมื่อ \(n\) แทนจำนวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) และ \(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots ,x_{n}\) แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)

หมายเหตุ

ในกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นเซตอนันต์ จะนิยามให้

\[\sigma_{x}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}(x_{i}-\mu_{x})^{2}P(X=x_{i})}\]

แต่ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นเซตจำกัดเท่านั้น

ไปดูตัวอย่างกันครับ

ตัวอย่าง  ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนครั้งที่เหรีญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) 

วิธีทำ ข้อนี้โยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง จะได้แซมเปิลสเปซแบบนี้ครับ

\(\{(HHH),(THH),(HTH),(HHT),(TTT),(HTT),(THT),(TTH)\}\)

ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั่งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(\{0,1,2,3\}\) จึงได้ว่า

ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 0 ครั้ง (TTT) คือ \(P(X=0)=\frac{1}{8}=0.125\)

ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง (HTT),(THT),(TTH) คือ \(P(X=1)=\frac{3}{8}=0.375\)

ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 2 ครั้ง (HHT),(THH),(HTH) คือ \(P(X=1)=\frac{3}{8}=0.375\)

ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 3 ครั้ง (HHH) คือ \(P(X=1)=\frac{1}{8}=0.125\)