47.ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ \(3\sin(x-y)=2\sin(x+y)\) แล้ว \((\tan^{3}x)(\cot^{3}y)\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 มี.ค.57 ข้อ 23)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมากสามารถเก็บคะแนนได้แบบสบายๆ โดยใช้ความรู้ของพวกฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง  ต้องจำสูตรพวกนี้ให้ได้เช่น

\[\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\]

\[\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\]

เรามาเริ่มทำกันเลยครับเริ่มจากสมการที่โจทย์ให้มาเลย

\begin{array}{lcl}3\sin(x-y)&=&2\sin(x+y)\\3\left[\sin x\cos y-\cos x\sin y\right]&=&2\left[\sin x\cos y+\cos x\sin y\right]\\3\sin x\cos y-3\cos x\sin y&=&2\sin x\cos y+2\cos x\sin y\\3\sin x\cos y-2\sin x\cos y&=&2\cos x\sin y+3\cos x\sin y\\\sin x\cos y&=&5\cos x\sin y\\\frac{\color{red}{\sin x}\color{green}{\cos y}}{\color{red}{\cos x}\color{green}{\sin y}}&=&5\\\color{red}{\tan x}\color{green}{\cot y}&=&5\\so\\\left[\tan x\cot y\right]^{3}&=&5^{3}\\\tan^{3}x\cot^{3}y&=&125\quad\underline{Ans}\end{array}