46. ถ้า \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) สำหรับบาง \(x>0\) แล้วค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ (Pat 1 พ.ย.57 ข้อ 29)

วิธีทำ ข้อนี้เรานำสมการ \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) มาแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(\sin^{2}x\) แสดงว่าตรงไหนที่เป็นค่า \(\cos x\) เราต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของ \(\sin x\) ให้หมดครับ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า

\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\) ดังนั้น

\(\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\) ครับผม

เริ่มแก้สมการกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(\cos^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(1-\sin^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\end{array}

เพื่อความสะดวกในการแก้สมการ ผมจะกำหนดให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้นเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{A^{2}}{5}+\frac{(1-A)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{A^{2}}{5}+\frac{1-2A+A^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{7A^{2}+5(1-2A+A^{2})}{35}&=&\frac{1}{12}\\7A^{2}+5-10A+5A^{2}&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5-\frac{35}{12}&=&0\\144A^{2}-120A+60-35&=&0\\144A^{2}-120A+25&=&0\\(12A-5)(12A-5)&=&0\\so\\A&=&\frac{5}{12}\end{array}

จากที่เราให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้น

\[\color{red}{\sin^{2}x}=\color{red}{\frac{5}{12}}\]

ต่อไปโจทย์ให้เราหาค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) แต่ก่อนจะหาเราต้องทำการจัดรูปก่อนคับโดยใช้สูตรพวกมุมสองเท่า สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือ

\(\sin 2x=2\sin x\cos x\) และ

\(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\)

ดังนั้นจากที่โจทย์ให้หาเราจะได้ว่า

พิจารณา \(\sin^{2}(2x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\sin^{2}(2x)&=&(\sin 2x)^{2}\\&=&(2\sin x\cos x)^{2}\\&=&2^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x\\&=&4\sin^{2}x(1-\sin^{2}x)\\&=&4\times \frac{5}{12}\times (1-\frac{5}{12})\\&=&2\times \frac{5}{12}\times \frac{7}{12}\\&=&\frac{35}{36}\end{array}

ดังนั้น \(\sin^{2}(2x)=\frac{35}{36}\)

พิจารณา \(\cos^{2}(2x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\cos^{2}(2x)&=&(\cos 2x)^{2}\\&=&(\cos^{2}x-sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-\sin^{2}x-\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2(\frac{5}{12}))^{2}\\&=&(1-\frac{10}{12})^{2}\\&=&\frac{1}{36}\end{array}

ต่อไปเราเอาค่าที่เราหาด้านบนไปแทนในนี้ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}&=&\frac{35}{36}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{36}\times\frac{1}{7}\\&=&\frac{25}{126}\quad\underline{Ans}\end{array}

47.ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ \(3\sin(x-y)=2\sin(x+y)\) แล้ว \((\tan^{3}x)(\cot^{3}y)\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 มี.ค.57 ข้อ 23)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมากสามารถเก็บคะแนนได้แบบสบายๆ โดยใช้ความรู้ของพวกฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง  ต้องจำสูตรพวกนี้ให้ได้เช่น

\[\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\]

\[\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\]

เรามาเริ่มทำกันเลยครับเริ่มจากสมการที่โจทย์ให้มาเลย

\begin{array}{lcl}3\sin(x-y)&=&2\sin(x+y)\\3\left[\sin x\cos y-\cos x\sin y\right]&=&2\left[\sin x\cos y+\cos x\sin y\right]\\3\sin x\cos y-3\cos x\sin y&=&2\sin x\cos y+2\cos x\sin y\\3\sin x\cos y-2\sin x\cos y&=&2\cos x\sin y+3\cos x\sin y\\\sin x\cos y&=&5\cos x\sin y\\\frac{\color{red}{\sin x}\color{green}{\cos y}}{\color{red}{\cos x}\color{green}{\sin y}}&=&5\\\color{red}{\tan x}\color{green}{\cot y}&=&5\\so\\\left[\tan x\cot y\right]^{3}&=&5^{3}\\\tan^{3}x\cot^{3}y&=&125\quad\underline{Ans}\end{array}

48. ถ้า \(1-\cos 20^{\circ}=\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 ต.ค.52 ข้อ 5(2))

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องใช้ความรู้สูตรผลบวกและผลต่างของตรีโกณมิติ ก็คือ

\[\cot (A+B)=\frac{\cot B\cot A-1}{\cot B+\cot A}\]

\[\cot (A-B)=\frac{\cot B\cot A+1}{\cot B-\cot A}\]

อีกอย่างที่ต้องรู้ก็คือ \(\cot 45^{\circ}=1\)

เริ่มทำจากตรงนี้ก่อน

\begin{array}{lcl}\cot (25^{\circ}+20^{\circ})&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\1&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ ต่อไปเราก็มาเริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}1-\cos 20^{\circ}&=&\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\\(1-\cot 20^{\circ})(1-\cot 25^{\circ})&=&x\\1-\cot 20^{\circ}-\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1-\left(\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}\right)+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\ from\quad (1)\quad \cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\\1-[\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1]+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1-\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1&=&x\\x&=&2\end{array}

49. ค่าของ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 2^{\circ})\cdots (1+\tan 43^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54 ข้อ 30)

วิธีทำ ข้อนี้บอกเลยว่าข้อสอบเขาเล่นเกี่ยวกับเรื่องนี้ครับ คือ \(\tan (A+B)\) ฉะนั้นใครจำสูตรของ \(\tan (A+B)\) ได้ ก็จะทำได้ครับซึ่งสูตรของเขาคือ

\[\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\]

ที่นี้วิธีการทำข้อนี้ลองจับเอาคู่นี้คูณกันดูครับ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) จะได้

\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}

ตัวหนังสือที่แดงๆด้านบน มันจะเท่ากับ \(1\) ทำไมนั่นเหรอ ลองไปดูอันนี้คับ

พิจารณา

\begin{array}{lcl}\tan (1^{\circ}+44^{\circ})&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}&=&\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}\\1&=&\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}

ดังนั้นเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\&=&1+1\\&=&2\end{array}

ทำนองเดียวกันถ้าเราจับคู่อื่นคูณกันบ้าง ก็จะได้ค่าเท่ากับ \(2\) เหมือนกันเช่น

\((1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ})=2\)

\((1+\tan 3^{\circ})(1+\tan 42^{\circ})=2\) ซึ่งจะมีแบบนี้ทั้งหมด \(22\) คู่

ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ \(2^{22}\) นั่นเอง

50. ถ้า \(\cos 5\theta=a\cos^{5}\theta+b\cos^{3}\theta+c\cos\theta\) เมื่อ \(\theta\) เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วค่าของ \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 เม.ย. 57 ข้อ 33)

วิธีทำ  ข้อนี้ให้พวกเราเอา \(\cos 5\theta\) มีจัดรูปให้ได้เหมือนกับฝั่งขวาของสมการ เราก็จะได้ว่า \(a,b,c\) เป็นเท่าไร มาดูวิธีการทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\cos 5\theta &=&\cos (4\theta +\theta)\\&=&\cos 4\theta\cos\theta-\sin 4\theta \sin\theta\\&=&\cos 2(2\theta )\cos\theta -[\sin 2(2\theta )\sin\theta ]\\&=&(2\cos^{2}2\theta -1)\cos\theta -[2\sin 2\theta\cos 2\theta\sin\theta ]\\&=&[2(2\cos^{2}\theta -1)^{2}-1)]\cos\theta -[(2)(2)\sin\theta\cos\theta(2\cos^{2}\theta -1)\sin\theta ]\\&=&[2(4\cos^{4}\theta -4\cos^{2}\theta +1)-1]\cos\theta -[4\sin^{2} \cos\theta (2\cos^{2}\theta -1)]\\&=&[8\cos^{4}\theta -8\cos^{2}\theta +2-1]\cos\theta - [\sin^{2}\theta (8\cos^{3}\theta -4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta - [(1-\cos^{2}\theta )(8\cos^{3}\theta - 4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -[8\cos^{3}\theta +4\cos^{3}\theta -8\cos^{5}\theta -4\cos\theta ]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -8\cos^{3}\theta -4\cos^{3}\theta +8\cos^{5}\theta +4\cos\theta\\&=&16\cos^{5}\theta -20\cos^{3}\theta + 5\cos\theta\end{array}

จาก ด้านบนจะเห็นว่า \(a=16,\quad b=(-20),\quad c=5\) ดังนั้น

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=16^{2}+(-20)^{2}+(5)^{2}=681\)

1.ถ้า \(f^{'}(x)=x^{2}-1\) และ \(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=0\) แล้ว \(|f(1)|\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f^{'}(x)dx\\&=&\displaystyle\int (x^{2}-1)dx\\&=&\frac{x^{3}}{3}-x+c\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการ (1) ไว้ก่อนต่อไปไปหาค่า \(c\) เพื่อเอาไปแทนในสมการ (1) จาก

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)&=&0\\\displaystyle\int_{0}^{1}(\frac{x^{3}}{3}-x+c)dx&=&0\\\frac{x^{4}}{4\cdot 3}-\frac{x^{2}}{2}+cx \Big|_{0}^{1}&=&0\\-\frac{5}{12}+c&=&0\\c&=&\frac{5}{12}\end{array}

แทน \(c\) ด้วย \(\frac{5}{12}\) ในสมการ (1) จะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{x^{3}}{3}-x+\frac{5}{12}\\so\\f(1)&=&\frac{1}{3}-1+\frac{5}{12}\\&=&-\frac{1}{4}\end{array}

นั่นคือ \(|f(1)|=|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}\)

2. กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชัน โดยที่ \(f^{"}(x)=6x+4\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่จุด \((2,19)\) เท่ากับ 19 แล้ว ค่าของ \(f(1)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}f^{'}(x)&=&\displaystyle\int f^{"}(x)dx\\&=&\displaystyle\int (6x+4)dx\\&=&3x^{2}+4x+c_{1}\\so\\f^{'}(x)&=&3x^{2}+4x+c_{1}\quad \cdots (1)\end{array}

เราต้องหาค่า \(c_{1}\) ให้ได้ก่อนคับ

เนื่องจาก \(f^{'}(x)=3x^{2}+4x+c_{1}\) คือ ความชันของเส้นโค้ง \(y=f(x)\) ที่จุด \((x,y)\) ใดๆ ดังนั้นความชันของเส้นโค้งที่จุด \((2,19)\) เท่ากับ 19 คือ

\begin{array}{lcl}f^{'}(x)&=&3x^{2}+4x+c_{1}\\f^{'}(2)&=&3(2^{2})+4(2)+c_{1}\\19&=&12+8+c_{1}\\c_{1}&=&-1\end{array}

ต่อไปนำค่า\(c_{1}=-1\) ไปแทนในสมการ (1) จะได้

\[f^{'}(x)=3x^{2}+4x-1\]

ต่อไปนำ \(f^{'}(x)\) ไปอินทิเกรตเพื่อหาค่าของ \(f(x)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f^{'}(x)dt\\&=&\displaystyle\int (3x^{2}+4x-1)dx\\&=&x^{3}+2x^{2}-1x+c_{2}\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราก็หาค่าของ \(c_{2}\) คับ วิธีการหาก็คือเราจะเห็นว่าโจทย์บอกว่าความชันเส้นโค้งที่จุด \((2,19)\) เท่ากับ 19 ก็คือเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((2,19)\) นั่นเองคับผม หรือก็คือ \(f(2)=19\) นั่นเองคับผม เริ่มหา \(c_{2}\) กันเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+2x^{2}-x+c_{2}\\f(2)&=&2^{3}+2(2)^{2}-2+c_{2}\\19&=&8+8-2+c_{2}\\c_{2}&=&5\end{array}

ดังนั้น จะได้

\[f(x)=x^{3}+2x^{2}-x+5\]

นั่นคือ

\(f(1)=1^{3}+2(1)^{2}-1+5=7\quad \underline{Ans}\)

3. ถ้า \(f'(x)=3x^{2}+x=5\) และ \(f(0)=1\) แล้ว \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{5}{3}\)
2. \(\frac{7}{3}\)
3. \(\frac{2}{3}\)
4. \(\frac{1}{3}\)

วิธีทำ  เข้านี้เราก็ก็หา \(f(x)\) ให้มันได้ก่อนแล้วก็อินทิเกรตหาคำตอบ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl} f'(x)&=&3x^{2}+x-5\\so\\f(x)&=&\displaystyle\int f'(x) dx\\f(x)&=&\displaystyle\int (3x^{2}+x-5)dx\\f(x)&=&x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5+c\\because\\ f(0)&=&1\\ then\\f(0)&=&0^{3}+\frac{0^{2}}{2}-5+c\\1&=&-5+c\\so\\c&=&6\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่า \(c\) แล้วคือ \(c=6\) เอาค่า\(c\) นี้ไปแทนค่าใน \(f(x)\) จะได้

\[f(x)=x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5+6\]

ต่อไปเราก็หา \(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx\)  เลยคับผม จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-5+6&=&\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{6}-5x+6x \Big|_{-1}^{1}\\&=&(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-5+6)-(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+5-6)\\&=&\frac{1}{3}-10+12\\&=&\frac{7}{3}\quad\underline{Ans}\end{array}

4. กำหนดให้ \(y=f(x)\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีค่าสูงสุดที่ \(x=1\)

ถ้า \(f''(x)=-4\) ทุก \(x\)  และ  \(f(-1)+f(3)=0\) แล้ว \(f\) มีค่าสูงสุดเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์เขาบอกว่าฟังก์ชันมีค่าสูงสุดที่ \(x=1\) แล้วโจทย์เขาถามว่า \(f\) มีค่าสูงสุดเท่าใด พูดง่ายก็คือหาค่า \(f(1)\) นั่นเองหรือก็คือ ถ้า \(x=1\) ค่า \(y\) จะเป็นเท่าใดนั่นเอง

สรุปก็คือข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้ได้ก่อน แล้วค่อยหา \(f(1)\) ก็จะได้คำ่ตอบ เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}f''(x)=-4\\so\\f'(x)&=&\displaystyle\int f''(x)dx\\f'(x)&=&\displaystyle\int -4dx\\f'(x)&=&-4x+C_{1}\end{array}

ต่อไปหา \(f(x)\) คับ การหา \(f(x)\) ก็คือเราต้องไปอินทิเกรต \(f'(x)\) คับจะได้

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&-4x+C_{1}\\so\\f(x)&=&\displaystyle\int f'(x)dx\\f(x)&=&\displaystyle\int (-4x+C_{1})dx\\f(x)&=&-2x^{2}+C_{1}x+C_{2}\quad\cdots (1)\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(f(x)\) แล้ว แต่ติดปัญญาตรงที่เรายังไม่รู้ค่าของ \(C_{1}\) และ \(C_{2}\)  เราต้องหาพวกนี้ให้ได้ก่อนคับผม เริ่มหาเลย

จากโจทย์บอกว่าฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดที่ \(x=1\) ที่จุดสูงสุดหรือว่าที่จุดวิกฤต ฟังก์ชันจะมีความชันเท่ากับ \(0\)  ซึ่งความชันของของ \(y=f(x)\) คือ \(f'(x)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&0\\-4x+C_{1}&=&0\\ at\quad x=1 ,f'(x)=0 \quad then\\(-4)(1)+C_{1}&=&0\\so\\C_{1}&=&4\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าของ \(C_{1}\) แล้วนะคับ เอาค่าของ \(C_{1}\) ไปแทนใน \(f(x)\) จะได้

\[f(x)=-2x^{2}+4x+C_{2}\]

ต่อไปหาค่าของ \(C_{2}\) ต่อคับ

จาก

\begin{array}{lcl}f(-1)+f(3)&=&0\\(-2-4+C_{2})+(-18+12+C_{2})&=&0\\-12+2C_{2}&=&0\\C_{2}&=&6\end{array}

ตอนนี้เราได้ค่าของ \(C_{1}\) และ \(C_{2}\) ครบแล้ว จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-2x^{2}+C_{1}x+C_{2}\\f(x)&=&-2x^{2}+4x+6\end{array}

ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดคือ

\begin{array}{lcl}f(1)&=&-2(1)^{2}+4(1)+6\\&=&-2+4+6\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}

5.กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริงถ้า \(f:R\to R\) เป็นฟังก์ชันโดยที่ \(f'(x)=3\sqrt{x}+5\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) และ \(f(1)=5\) แล้วค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{f(x^{2})-2}{f(x)}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นการผสมผสานกันระหว่างความรู้เรื่องลิมิตของฟังก์ชัน กับ  อินทิเกรต ต้องใช้ความรู้เยอะหน่อยแต่ไม่ยากครับผม เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f'(x)dx\\f(x)&=&\displaystyle\int (3x^{\frac{1}{2}}+5)dx\\f(x)&=&2x^{\frac{3}{2}}+5x+c\\because\quad f(1)=5\quad then\\f(1)&=&2+5+c\\5&=&7+c\\c&=&-2\\so\\f(x)&=&2x^{\frac{3}{2}}+5x-2\end{array}

ต่อไป เราจะหาค่า \(f(x^{2})\) เพื่อเอาไปแทนค่าใน ลิมิต จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&2x^{\frac{3}{2}}+5x-2\\so\\f(x^{2})&=&2(x^{2})^{\frac{3}{2}}+5x^{2}-2\\&=&2x^{3}+5x^{2}-2\end{array}

ต่อไป ไปหาค่าลิมิตกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{f(x^{2})-2}{f(x)}&=&\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{2x^{3}+5x^{2}-2-2}{2x^{\frac{3}{2}}+5x-2}\\&=&\frac{2(4)^{3}+5(4)^{2}-2-2}{2(4)^{\frac{3}{2}}+5(4)-2}\\&=&\frac{128+80-4}{16+20-2}\\&=&\frac{204}{34}\\&=&6\quad\underline{Ans}\end{array}

6. กำหนดให้ \(f(x)\) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสอง ถ้าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง \(y=f(x)\)  ที่จุด \((1,2)\) มีค่าเท่ากับ \(4\) และ \(\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x) dx=12\) แล้ว \(f(-1)+f''(-1)\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ การทำข้อนี้เราต้องหา \(f(x)\) ให้เจอคับ ซึ่งในการหายากพอสมควร พยายามอ่านตามดีๆนะ  โจทย์บอกว่า \(f(x)\)เป็นพหุนามกำลังสอง ดังนั้น ผมกำหนดให้ \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) เมื่อ \(a,b,c\in R\) และ \(a\neq 0\)

เริ่มหา กันเลยก็คือ หาค่า \(a,b,c\) นั่นเองคับ 

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\so\\f'(x)&=&2ax+bx\end{array}

เนื่องจาก \(f'(x)\) คือความชันของเส้นโค้ง ณ จุด \((x,y)\) ใดๆ ดังนั้นความชันของเส้นโค้งในจุด \((1,2)\) มีค่าเท่ากับ 4 คือ

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&2ax+b\\4&=&2a(1)+b\\2a+b&=&4\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนครับ เดี๋ยวได้ใช้แน่

ต่อไปโจทย์บอกว่า \(\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x) dx=12\) จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{2}f(x) dx&=&12\\\displaystyle\int_{-1}^{2}(ax^{2}+bx+c)dx&=&12\\\frac{ax^{3}}{3}+\frac{bx^{2}}{2}+cx\Big|_{-1}^{2}&=&12\\\left(\frac{8a}{3}+2b+2x\right)-\left(-\frac{a}{3}+\frac{b}{2}-c\right)&=&12\\3a+\frac{3b}{2}+3c&=&12\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปผมนำ \(\frac{2}{3}\) คูณเข้าสมการ (2) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{2}{3}(3a+\frac{3b}{2}+3c&=&12\frac{2}{3}\\2a+b+2c&=&8\quad\cdot (3)\end{array}

ต่อไปให้เราไปดูสมการ \((1)\) จะเห็นว่า \(2a+b=4\) เอาตรงนี้ไปแทนในสมการ \((3)\) ได้เลยจะได้

\begin{array}{lcl}2a+b+2c&=&8\\4+2c&=&8\\c&=&2\end{array}

ดังนั้น \(c=2\) เอาค่า \(c\) ไปแทนใน \(f(x)\) จะได้ \(f(x)=ax^{2}+bx+2\) แต่ยังนำไปหาคำตอบไม่ได้เพราะยังติดค่าของ \(a\) กับ \(b\)  ต้องไปหาค่าของ \(a,b\) อีก

จากโจทย์เราจะเห็นว่าเส้นโค้งนี้ผ่านจุด \((1,2)\) นะ เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+2\\ because (1,2)\in f(x)\\then\\f(1)&=&a(1)^{2}+b(1)+2\\2&=&a+b+2\\a+b&=&0\quad\cdots (4)\end{array}

ให้เราไปดูสมการที่ \((1)\) กับ \((4)\) คือ

\[2a+b=4\quad\cdot (1)\]

\[a+b=0\quad\cdot (4)\]

นำสมการ \((1)-(4)\) จะได้

\begin{array}(2a+b)-(a+b)&=&4-0\\a&=&4\end{array}

แทน \(a\) ด้วย \(4\) ในสมการที่ \((4)\) จะได้ \(b=-4\)

ตอนนี้เราได้ค่า \(a,b,c\) ครบเรียบร้อยแล้วพร้อมที่จะหาคำตอบแล้วครับ เริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\f(x)&=&4x^{2}-4x+2\\so\\f'(x)&=&8x-4\\ and\\f''(x)&=&8\end{array}

เราจะได้ว่า

\(f(-1)=4(-1)^{2}-4(-1)+2=10\)

และ เนื่องจาก \(f''(x)=8\) ทุกค่าของ \(x\) ดังนั้น

\(f''(-1)=8\)

ดังนั้น

\[f(-1)+f''(-1)=10+8=18\quad\underline{Ans}\]

7. กำหนดให้ \(P(x)\) เป็นพหุนามที่สอดคล้องกับ \(P(x^{2}+3)=3x^{4}+24x^{2}+40\) และให้ \(f(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}P(t) dt\)  ค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{P(x)-f(x)}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ โจทย์ข้อนี้เราต้องหา \(P(x)\)  และ  \(f(x)\) ให้เจอคับถึงจะไปหาลิมิตได้

พิจารณา \(P(x^{2}+3)=3x^{4}+24x^{2}+40\) 

กำหนดให้ \(A=x^{2}+3\) จะได้ \(x^{2}=A-3\)  จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}P(x^{2}+3)&=&3x^{4}+24x^{2}+40\\P(A-3+3)&=&3(A-3)^{2}+24(A-3)+40\\P(A)&=&3(A^{2}-6A+9)+24A-72+40\\P(A)&=&3A^{2}-18A+27+24A-32\\P(A)&=&3A^{2}+6A-5\\so\\P(x)&=&3x^{2}+6x-5\\or\\P(t)&=&3t^{2}+6t-5\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(P(x)\) แล้ว ต่อไปก็หา \(f(x)\) เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int_{0}^{x}P(t) dt\\f(x)&=&\displaystyle\int_{0}^{x}(3t^{2}+6t-6)dt\\f(x)&=&t^{3}+3t^{2}-5t\Big|_{0}^{x}\\f(x)&=&(x^{3}+3x^{2}-5x)-(0)\\so\\f(x)&=&x^{3}+3x^{2}-5x\end{array}

ตอนนี้เราได้ของครบแล้วคือ

\[f(x)=x^{3}+3x^{2}-5x\]

\[P(x)=3x^{2}+6x-5\]

เริ่มกระบวนการหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{P(x)-f(x)}&=&\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{(3x^{2}+6x-5)-(x^{3}+3x^{2}-5x)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 2}\sqrt{6x-5-x^{3}+5x}\\&=&\sqrt{6(2)-5-(2)^{3}+5(2)}\\&=&\sqrt{12-5-8+10}\\&=&\sqrt{9}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}

8. ให้ \(L\) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \((0,10)\) และมีความชันมากกว่า \(-1\) แต่น้อยกว่า \(0\) ถ้าพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นตรง \(L\) กับแกน \(x\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=6\) มีค่าเท่ากับ \(51\) ตารางหน่วยแล้ว จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นตรง \(L\) กับแกน \(x\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=3\)

วิธีทำ ดูรูปภาพประกอบนะคับ ให้ \((x,y)\) เป็นจุดใดๆบนเส้นตรง \(L\) และเส้นตรงนี้ผ่านจุด \((0,10)\) ทำให้ได้สมการของเส้นตรง \(L\) นี้คือ

\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-10&=&m(x-0)\\y-10&=&mx\\y&=&mx+10\end{array}

เมื่อ \(m\) คือความชันของเส้นตรง

ตอนนี้เราได้สมการของเส้นตรง \(L\) แล้วคือ \(y=mx+10\)  แต่ยังไม่รู้ค่าของ \(m\) 

ต่อไปเราก็ไปหาค่าของ \(m\) ซึ่งหาได้จาก

\[\displaystyle\int_{0}^{6}(mx+10)dx=51\]

เริ่มหา \(m\) กันเลยคับ จะได้

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{6}(mx+10)dx&=&51\\\frac{mx^{2}}{2}+10x\Big|_{0}^{6}&=&51\\18m+60&=&51\\so\\m&=&-\frac{9}{18}\\m&=&-\frac{1}{2}\end{array}

ตอนนี้เรารู้ค่า \(m\) แล้ว ดังนั้น เส้นตรง \(L\) นี้มีสมการคือ \(y=-\frac{1}{2}x+10\)  ดังนั้นตอนนี้เราสามารถหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นตรง \(L\) กับแกน \(x\) จาก \(x=0\) ถึง \(x=3\) ได้แล้ว นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{3}(-\frac{1}{2}x+10)dx&=&-\frac{x^{2}}{4}+10x\Big|_{0}^{3}\\&=&-\frac{9}{4}+30\\&=&\frac{111}{4}\\&=&27.75\end{array}

ดังนั้นข้อนี้ตอบ 27.75  ตารางหน่อย

9. กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มี \(f''(x)=ax+b\)  เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง  ถ้า \(f(0)=2\)  และกราฟของ \(f\) มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ \((1,-5)\) แล้ว \(2a+3b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

วิธีทำ เราจะหา \(f'(x)\) ก่อนนะคับ ซึ่ง

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&\displaystyle\int f''(x) dx\\f'(x)&=&\displaystyle\int (ax+b) dx\\f'(x)&=&\frac{ax^{2}}{2}+bx+c_{1}\end{array}

ที่จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ \((1,-5)\) จะมีความชันเท่ากับ \(0\) อย่าลืมนะไอ้พวกที่เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์หรือจุดสูงสุดสัมพัทธ์จุดพวกนี้มันคือจุดวิกฤตจะมีความชันเท่ากับ \(0\) ซึ่งความชันของเส้นโค้งก็คือ \(f'(x)\) นั่นเอง ดังนั้นที่จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ \((1,-5)\) จะได้

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&0\\\frac{ax^{2}}{2}+bx+c_{1}&=&0\\ because\quad x=1\\then\\\frac{a(1)^{2}}{2}+b(1)+c_{1}&=&0\\\frac{a}{2}+b+c_{1}&=&0\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ

ต่อไปเราจะหา \(f(x)\) ซึ่งหาได้จากการอินทิเกรต \(f'(x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f'(x) dx\\&=&\displaystyle\int (\frac{ax^{2}}{2}+bx+c_{1})dx\\&=&\frac{ax^{3}}{6}+\frac{bx^{2}}{2}+c_{1}x+c_{2}\\because\quad f(0)=2\\then\\f(0)&=&\frac{a(0)^{3}}{6}+\frac{b(0)^{2}}{2}+c_{1}(0)+c_{2}\\2&=&c_{2}\end{array}

เนื่องจาก \(c_{2}=2\) เราเอาค่า \(c_{2}=2\) นี้ไปแทนใน \(f(x)\) จะได้

\[f(x)=\frac{ax^{3}}{6}+\frac{bx^{2}}{2}+c_{1}x+2\]

จากโจทย์เราจะเห็นว่ากราฟฟังก์ชัน \(f\) นี้ผ่านจุด \((1,-5\) จะได้

\begin{array}{lcl}f(1)&=&\frac{a(1)^{3}}{6}+\frac{b(1)^{2}}{2}+c_{1}(1)+2\\-5&=&\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}+2\\\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}&=&-7\quad\cdots (2)\end{array}

ตอนนี้เราได้สมการมาสองสมการนะคับคือ สมการ \((1)\) และ \((2)\)

เราจะนำสมการนี้แหละคับมาแก้เพื่อหาค่าของ \(2a+3b\) คับ

จาก

\[\frac{a}{2}+b+c_{1}=0\quad\cdots (1)\]

\[\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}=-7\quad\cdots (2)\]

นำสมการ \((2)-(1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\left(\frac{a}{6}+\frac{b}{2}+c_{1}\right)-\left(\frac{a}{2}+b+c_{1}\right)&=&-7-0\\-\frac{4a}{12}-\frac{b}{2}&=&-7\quad\cdots (3)\end{array}

จัดรูปสมการที่ \((3)\) ให้ได้เป็น \(2a+3b\) จะได้ว่า

\(2a+3b=42\quad\underline{Ans}\)

10. กำหนดให้ \(A(0,0)\quad , B(1,0) \) และ \(C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้ากราฟของ \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) ผ่านจุด \(A(0,0)\) , \(B(1,0)\)  โดยที่ \(AC\) และ \(BC\) เป็นเส้นสัมผัสกราฟของ \(f\) ที่จุด \(A(0,0)\quad , B(1,0)\) ตามลำดับ แล้วพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(f\) และเส้นตรง \(AB\) มีค่าเท่าใด

1. \(\frac{\sqrt{3}}{6}\)
2. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
3. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
4. \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) 

วิธีทำ ข้อนี้ดูภาพประกอบนะคับ ค่อยๆอ่านโจทย์  ถ้าเราดูจากฟังก์ชัน \(f\) ที่จะเห็นว่ากราฟของฟังก์ชัน \(f\) เป็นพาราโบลาแน่นอน แต่จะคว่ำหรือหงายค่อยดูกันอีกที เริ่มทำเลยคับ

กราฟของ \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) ผ่านจุด \(A(0,0)\) , \(B(1,0)\) แสดงว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\f(0)&=&a(0)^{2}+b(0)+c\\0&=&0+0+c\\so\\c&=&0\end{array}

และ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{2}+bx+c\\f(1)&=&a(1)^{2}+b(1)+c\\0&=&a+b+0\\so\\a+b&=&0\quad\cdots (1)\end{array}

มาดูเส้นตรง \(AC\) จะเห็นว่าเส้นตรงผ่านจุด \((0,0)\) และ \((\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\) ดังนั้นเส้นตรงนี้มีความชันเท่ากับ

\(m=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-0}{\frac{1}{2}-0}=\sqrt{3}\) และอีกอย่างหนึ่งที่โจทย์บอกมาก็คือ เส้นตรง \(AC\) นี้สัมผัสกราฟของ \(f\) ที่จุด \((0,0)\) ดังนั้นฟังก์ชัน \(f\) นี้มีความชันที่จุด \((0,0)\) เท่ากับ \(\sqrt{3}\) จริงไหมเรื่องความชันของเส้นโค้งเรียนมาแล้ว ซึ่งความชันของเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ หาได้โดยการดิฟฟังก์ชัน จึงได้ว่า ความชันของเส้นโค้งที่จุด \((0,0)\) คือ

\[f'(x)=2ax+b\] 

แทน \(0\) ลงไปใน \(x\) ความชันของเส้นโค้งที่จุด \((0,0)\) นี้มีค่าเท่ากับ \(\sqrt{3}\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f'(x)&=&2ax+b\\\sqrt{3}&=&2a(0)+b\\so\\b&=&\sqrt{3}\end{array}

เอาค่า \(b=\sqrt{3}\) ไปแทนในสมการ \((1)\) จะได้ \(a=-\sqrt{3}\)

ตอนนี้เราได้ค่า \(a=-\sqrt{3},b=\sqrt{3},c=0\) ครบแล้วจึงได้ว่า

\[f(x)=-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3}x+0\]

ดังนั้นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ \(f\) และเส้นตรง \(AB\) คือ

\[\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{1}(-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3}x)dx\]

เริ่มหาพื้นที่กันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}(-\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3})dx&=&-\frac{\sqrt{3}x^{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}\\&=&-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=&\frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{6}\\&=&\frac{\sqrt{3}}{6}\quad\underline{Ans}\end{array}