46. ถ้า \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) สำหรับบาง \(x>0\) แล้วค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้ (Pat 1 พ.ย.57 ข้อ 29)

วิธีทำ ข้อนี้เรานำสมการ \(\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}=\frac{1}{12}\) มาแก้สมการเพื่อหาค่าของ \(\sin^{2}x\) แสดงว่าตรงไหนที่เป็นค่า \(\cos x\) เราต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปของ \(\sin x\) ให้หมดครับ โดยใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า

\(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\) ดังนั้น

\(\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\) ครับผม

เริ่มแก้สมการกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{4}x}{5}+\frac{\cos^{4}x}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(\cos^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{(\sin^{2}x)^{2}}{5}+\frac{(1-\sin^{2}x)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\end{array}

เพื่อความสะดวกในการแก้สมการ ผมจะกำหนดให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้นเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{A^{2}}{5}+\frac{(1-A)^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{A^{2}}{5}+\frac{1-2A+A^{2}}{7}&=&\frac{1}{12}\\\frac{7A^{2}+5(1-2A+A^{2})}{35}&=&\frac{1}{12}\\7A^{2}+5-10A+5A^{2}&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5&=&\frac{35}{12}\\12A^{2}-10A+5-\frac{35}{12}&=&0\\144A^{2}-120A+60-35&=&0\\144A^{2}-120A+25&=&0\\(12A-5)(12A-5)&=&0\\so\\A&=&\frac{5}{12}\end{array}

จากที่เราให้ \(A=\sin^{2}x\) ดังนั้น

\[\color{red}{\sin^{2}x}=\color{red}{\frac{5}{12}}\]

ต่อไปโจทย์ให้เราหาค่าของ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) แต่ก่อนจะหาเราต้องทำการจัดรูปก่อนคับโดยใช้สูตรพวกมุมสองเท่า สูตรมุมสองเท่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คือ

\(\sin 2x=2\sin x\cos x\) และ

\(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\)

ดังนั้นจากที่โจทย์ให้หาเราจะได้ว่า

พิจารณา \(\sin^{2}(2x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\sin^{2}(2x)&=&(\sin 2x)^{2}\\&=&(2\sin x\cos x)^{2}\\&=&2^{2}\sin^{2}x\cos^{2}x\\&=&4\sin^{2}x(1-\sin^{2}x)\\&=&4\times \frac{5}{12}\times (1-\frac{5}{12})\\&=&2\times \frac{5}{12}\times \frac{7}{12}\\&=&\frac{35}{36}\end{array}

ดังนั้น \(\sin^{2}(2x)=\frac{35}{36}\)

พิจารณา \(\cos^{2}(2x)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\cos^{2}(2x)&=&(\cos 2x)^{2}\\&=&(\cos^{2}x-sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-\sin^{2}x-\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2\sin^{2}x)^{2}\\&=&(1-2(\frac{5}{12}))^{2}\\&=&(1-\frac{10}{12})^{2}\\&=&\frac{1}{36}\end{array}

ต่อไปเราเอาค่าที่เราหาด้านบนไปแทนในนี้ \(\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{\sin^{2}(2x)}{5}+\frac{\cos^{2}(2x)}{7}&=&\frac{35}{36}\times \frac{1}{5}+\frac{1}{36}\times\frac{1}{7}\\&=&\frac{25}{126}\quad\underline{Ans}\end{array}

47.ถ้า \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ \(3\sin(x-y)=2\sin(x+y)\) แล้ว \((\tan^{3}x)(\cot^{3}y)\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 มี.ค.57 ข้อ 23)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมากสามารถเก็บคะแนนได้แบบสบายๆ โดยใช้ความรู้ของพวกฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจำนวนจริง  ต้องจำสูตรพวกนี้ให้ได้เช่น

\[\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\]

\[\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\]

เรามาเริ่มทำกันเลยครับเริ่มจากสมการที่โจทย์ให้มาเลย

\begin{array}{lcl}3\sin(x-y)&=&2\sin(x+y)\\3\left[\sin x\cos y-\cos x\sin y\right]&=&2\left[\sin x\cos y+\cos x\sin y\right]\\3\sin x\cos y-3\cos x\sin y&=&2\sin x\cos y+2\cos x\sin y\\3\sin x\cos y-2\sin x\cos y&=&2\cos x\sin y+3\cos x\sin y\\\sin x\cos y&=&5\cos x\sin y\\\frac{\color{red}{\sin x}\color{green}{\cos y}}{\color{red}{\cos x}\color{green}{\sin y}}&=&5\\\color{red}{\tan x}\color{green}{\cot y}&=&5\\so\\\left[\tan x\cot y\right]^{3}&=&5^{3}\\\tan^{3}x\cot^{3}y&=&125\quad\underline{Ans}\end{array}

48. ถ้า \(1-\cos 20^{\circ}=\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 ต.ค.52 ข้อ 5(2))

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องใช้ความรู้สูตรผลบวกและผลต่างของตรีโกณมิติ ก็คือ

\[\cot (A+B)=\frac{\cot B\cot A-1}{\cot B+\cot A}\]

\[\cot (A-B)=\frac{\cot B\cot A+1}{\cot B-\cot A}\]

อีกอย่างที่ต้องรู้ก็คือ \(\cot 45^{\circ}=1\)

เริ่มทำจากตรงนี้ก่อน

\begin{array}{lcl}\cot (25^{\circ}+20^{\circ})&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\1&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ ต่อไปเราก็มาเริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}1-\cos 20^{\circ}&=&\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\\(1-\cot 20^{\circ})(1-\cot 25^{\circ})&=&x\\1-\cot 20^{\circ}-\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1-\left(\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}\right)+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\ from\quad (1)\quad \cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\\1-[\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1]+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1-\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1&=&x\\x&=&2\end{array}

49. ค่าของ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 2^{\circ})\cdots (1+\tan 43^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54 ข้อ 30)

วิธีทำ ข้อนี้บอกเลยว่าข้อสอบเขาเล่นเกี่ยวกับเรื่องนี้ครับ คือ \(\tan (A+B)\) ฉะนั้นใครจำสูตรของ \(\tan (A+B)\) ได้ ก็จะทำได้ครับซึ่งสูตรของเขาคือ

\[\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\]

ที่นี้วิธีการทำข้อนี้ลองจับเอาคู่นี้คูณกันดูครับ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) จะได้

\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}

ตัวหนังสือที่แดงๆด้านบน มันจะเท่ากับ \(1\) ทำไมนั่นเหรอ ลองไปดูอันนี้คับ

พิจารณา

\begin{array}{lcl}\tan (1^{\circ}+44^{\circ})&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}&=&\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}\\1&=&\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}

ดังนั้นเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\&=&1+1\\&=&2\end{array}

ทำนองเดียวกันถ้าเราจับคู่อื่นคูณกันบ้าง ก็จะได้ค่าเท่ากับ \(2\) เหมือนกันเช่น

\((1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ})=2\)

\((1+\tan 3^{\circ})(1+\tan 42^{\circ})=2\) ซึ่งจะมีแบบนี้ทั้งหมด \(22\) คู่

ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ \(2^{22}\) นั่นเอง

50. ถ้า \(\cos 5\theta=a\cos^{5}\theta+b\cos^{3}\theta+c\cos\theta\) เมื่อ \(\theta\) เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วค่าของ \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 เม.ย. 57 ข้อ 33)

วิธีทำ  ข้อนี้ให้พวกเราเอา \(\cos 5\theta\) มีจัดรูปให้ได้เหมือนกับฝั่งขวาของสมการ เราก็จะได้ว่า \(a,b,c\) เป็นเท่าไร มาดูวิธีการทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\cos 5\theta &=&\cos (4\theta +\theta)\\&=&\cos 4\theta\cos\theta-\sin 4\theta \sin\theta\\&=&\cos 2(2\theta )\cos\theta -[\sin 2(2\theta )\sin\theta ]\\&=&(2\cos^{2}2\theta -1)\cos\theta -[2\sin 2\theta\cos 2\theta\sin\theta ]\\&=&[2(2\cos^{2}\theta -1)^{2}-1)]\cos\theta -[(2)(2)\sin\theta\cos\theta(2\cos^{2}\theta -1)\sin\theta ]\\&=&[2(4\cos^{4}\theta -4\cos^{2}\theta +1)-1]\cos\theta -[4\sin^{2} \cos\theta (2\cos^{2}\theta -1)]\\&=&[8\cos^{4}\theta -8\cos^{2}\theta +2-1]\cos\theta - [\sin^{2}\theta (8\cos^{3}\theta -4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta - [(1-\cos^{2}\theta )(8\cos^{3}\theta - 4\cos\theta)]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -[8\cos^{3}\theta +4\cos^{3}\theta -8\cos^{5}\theta -4\cos\theta ]\\&=&8\cos^{5}\theta -8\cos^{3}\theta +\cos\theta -8\cos^{3}\theta -4\cos^{3}\theta +8\cos^{5}\theta +4\cos\theta\\&=&16\cos^{5}\theta -20\cos^{3}\theta + 5\cos\theta\end{array}

จาก ด้านบนจะเห็นว่า \(a=16,\quad b=(-20),\quad c=5\) ดังนั้น

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=16^{2}+(-20)^{2}+(5)^{2}=681\)