48. ถ้า \(1-\cos 20^{\circ}=\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\) แล้ว \(x\) มีค่าเท่าใด (Pat 1 ต.ค.52 ข้อ 5(2))

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องใช้ความรู้สูตรผลบวกและผลต่างของตรีโกณมิติ ก็คือ

\[\cot (A+B)=\frac{\cot B\cot A-1}{\cot B+\cot A}\]

\[\cot (A-B)=\frac{\cot B\cot A+1}{\cot B-\cot A}\]

อีกอย่างที่ต้องรู้ก็คือ \(\cot 45^{\circ}=1\)

เริ่มทำจากตรงนี้ก่อน

\begin{array}{lcl}\cot (25^{\circ}+20^{\circ})&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\1&=&\frac{\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1}{\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}}\\\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ ต่อไปเราก็มาเริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}1-\cos 20^{\circ}&=&\frac{x}{1-\cot 25^{\circ}}\\(1-\cot 20^{\circ})(1-\cot 25^{\circ})&=&x\\1-\cot 20^{\circ}-\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1-\left(\cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}\right)+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\ from\quad (1)\quad \cot 20^{\circ}+\cot 25^{\circ}&=&\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1\\1-[\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}-1]+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1-\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}+\cot 20^{\circ}\cot 25^{\circ}&=&x\\1+1&=&x\\x&=&2\end{array}