49. ค่าของ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 2^{\circ})\cdots (1+\tan 43^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค. 54 ข้อ 30)

วิธีทำ ข้อนี้บอกเลยว่าข้อสอบเขาเล่นเกี่ยวกับเรื่องนี้ครับ คือ \(\tan (A+B)\) ฉะนั้นใครจำสูตรของ \(\tan (A+B)\) ได้ ก็จะทำได้ครับซึ่งสูตรของเขาคือ

\[\tan (A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\]

ที่นี้วิธีการทำข้อนี้ลองจับเอาคู่นี้คูณกันดูครับ \((1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})\) จะได้

\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}

ตัวหนังสือที่แดงๆด้านบน มันจะเท่ากับ \(1\) ทำไมนั่นเหรอ ลองไปดูอันนี้คับ

พิจารณา

\begin{array}{lcl}\tan (1^{\circ}+44^{\circ})&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1&=&\frac{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}}{1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\1-\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}&=&\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}\\1&=&\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\end{array}

ดังนั้นเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ})&=&1+\color{red}{\tan 1^{\circ}+\tan 44^{\circ}+\tan 1^{\circ}\tan 44^{\circ}}\\&=&1+1\\&=&2\end{array}

ทำนองเดียวกันถ้าเราจับคู่อื่นคูณกันบ้าง ก็จะได้ค่าเท่ากับ \(2\) เหมือนกันเช่น

\((1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ})=2\)

\((1+\tan 3^{\circ})(1+\tan 42^{\circ})=2\) ซึ่งจะมีแบบนี้ทั้งหมด \(22\) คู่

ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ \(2^{22}\) นั่นเอง