77. ให้ \(A\) เป็นผลบวกของคำตอบของสมการ \(\sin^{2}6x+8\sin^{2}3x=0\) เมื่อ \(0\leq x\leq 2\pi\) จงหาค่าของ \(\frac{A}{\pi}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สูตรมุมสองเท่า ก็คือ \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) ดังนั้น

\(\sin 6x=\sin 2(3x)=2\sin3x\cos 3x\) ประมาณนี้คับ เรามาเริ่มทำกันเลยดีกว่า

\begin{array}{lcl}\sin^{2}6x+8\sin^{2}3x&=&0\\\sin 6x\sin 6x + 8\sin^{2}3x&=&0\\\sin 2(3x)\sin 2(3x)+8\sin^{2}3x&=&0\\(2\sin 3x\cos 3x) (2\sin 3x\cos 3x) +8\sin^{2}3x&=&0\\4\sin^{2}3x\cos^{2}3x+8\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x\cos^{2}3x+2\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x(1-\sin^{2}3x)+2\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x-\sin^{4}3x+2\sin^{2}3x&=&0\\3\sin^{2}3x-\sin^{4}3x&=&0\\\sin^{2}3x(3-\sin^{2}3x)&=&0\\so\\\sin^{2}3x=0\quad or\quad 3-\sin^{2}3x=0\end{array}

พิจารณา \(\sin^{2}3x=0\) เราจะได้ \(\sin 3x=0\)

เนื่องจาก \(\sin 0=0\)

\( \sin\pi=0\)

\(\sin 2\pi=0\)

ทำให้ได้ว่า

\(x=0\)

\(x=\frac{\pi}{3}\)

\(x=\frac{2\pi}{3}\)

พิจาณา \(3-\sin^{2} 3x=0\) เราจะได้ว่า 

\begin{array}{lcl}3-\sin^{2}3x&=&0\\-\sin^{2}3x&=&-3\\\sin^{2}3x&=&3\\\sin 3x&=&\pm\sqrt{3}\\\sin 3x&=&\pm 1.732\end{array}

เนื่องจาก \(-1\leq \sin\theta\leq 1\) เสมอ ดังนั้นทำให้ได้ว่า \(\sin 3x=\pm 1.732\) ไม่มีคำตอบ

นั่นคือ \(A=0+\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{3\pi}{3}=\pi\)

คำตอบข้อนี้คือ \(\frac{A}{\pi}=\frac{\pi}{\pi}=1\quad\underline{Ans}\)