ข้อสอบคณิตศาสตร์เรื่องตรีโกณมิติ

73. จงหาค่า \(\theta\) จากสมการ \(\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\sqrt{3}\) เมื่อ \(0<\theta <\pi\) (ข้อสอบโควต้า ม.เชียงใหม่)

วิธีทำ ข้อสอบนี้เป็นข้อสอบโควต้า ของ ม.เชียงใหม่ นะคับไม่ยากมากแต่ก็ต้องอาศัยการฝึกฝนครับ มาดูวิธีการทำกันเลย ข้อนี้ถ้าใครไม่เคยฝึกทำ ก็จะไปไม่เป็น ข้อนี้คล้ายกับข้อสอบ Pat 1 เลย บางปีออกประมาณนี้เลยคับ เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl}\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}&=&\sqrt{3}\\1-\cos\theta &=&\sqrt{3}\sin\theta\\(1-\cos\theta)^{2}&=&(\sqrt{3}\sin\theta)^{2}\\1^{2}-(2)(1)\cos\theta +\cos^{2}\theta&=&3\sin^{2}\theta\\1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta&=&3(1-\cos^{2}\theta)\\1-2\cos\theta+\cos^{2}\theta &=&3-3\cos^{2}\theta\\4\cos^{2}\theta-2\cos\theta-2&=&0\\2\cos^{2}\theta-\cos\theta-1 &=&0\\Let\quad x=\cos\theta\\so\\2x^{2}-x-1 &=&0\\(2x+1)(x-1)&=&0\\so\\x=1,\quad x=-\frac{1}{2}\\so\\\cos\theta =1\quad ,\cos\theta =-\frac{1}{2}\end{array}

จากโจทย์กำหนดให้ว่า \(0<\theta <\pi\) 

เนื่องจาก \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}\) ดังนั้น \(\theta =\frac{2\pi}{3}\)

เนื่องจาก \(\cos 0=1\) ดังนั้น \(\theta =0\) แต่ \(0<\theta <\pi\)

ดังนั้นข้อนี้มีค่าคำตอบเดียวคือ \(\theta =\frac{2\pi}{3}\)

74. ถ้า \(0<\theta <\frac{\pi}{4}\) และ \(\tan^{2}\theta -4\tan\theta +1=0\) แล้ว \(\sin 2\theta\) จะมีค่าเท่ากับข้อใด

1. 0.25
2. 0.50
3. 0.75
4. 1.00

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบโควต้า ม.เชียงใหม่เกี่ยวกับเรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติ ข้อนี้วิธีการทำก็คือโจทย์ให้หาค่า \(\sin 2\theta\) และให้สมการที่แต่ฟังก์ชัน \(\tan\theta\) มา ดังนั้นเราจะต้องเปลี่ยน \(tan\theta\) ให้เป็น \(\sin 2\theta\) ให้ครับผม เริ่มทำเลย 

\begin{array}{lcl}\tan^{2}\theta-4\tan\theta +1&=&0\\\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}-4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1&=&0\\\cos^{2}\theta(\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}-4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1)&=&\cos^{2}\theta\times 0\\\cos^{2}\theta\times \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}-\cos^{2}\theta\times 4\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\cos^{2}\theta&=&0\\\sin^{2}\theta-4\sin\theta\cos\theta+\cos^{2}\theta &=&0\\-4\sin\theta\cos\theta+\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta &=&0\\-4\sin\theta\cos\theta+1&=&0\\4\sin\theta\cos\theta-1&=&0\\2(2\sin\theta\cos\theta)-1&=&0\\2\sin 2\theta -1&=&0\\\sin 2\theta&=&\frac{1}{2}\\\sin 2\theta &=&0.5\quad\underline{Ans}\end{array}

75. \(\cos(2\arctan(-3))\) มีค่าเท่ากับในข้อใด

1. \(-\frac{4}{5}\)
2. \(-\frac{3}{5}\)
3. \(\frac{4}{5}\)
4. \(\frac{3}{5}\)

วิธีทำ ข้อนี้เป็นแบบฝึกหัดตามห้องเรียนทั่วไป ถ้าทำได้ก็จะสามารถต่อยอดไปทำข้ออื่นได้คับ แนวทางการทำก็คือ เราจะต้องหาค่าของ \(\arctan (-3)\)  ก่อนคับ

กำหนดให้   \(\arctan (-3)=A\)  จึงได้ว่า \(\cos 2\arctan (-3))=\cos 2A\) นั่นคือตอนนี้เรากำลังหาค่าของ \(\cos 2A\) นั่นเองคับ มองให้ออกนะ

จาก \(\arctan (-3)=A\)  ดังนั้นเราจะได้ว่า \(\tan A=-3\) เรานำตรงนี้ไปวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อหาค่าของ \(\cos A\) จะได้รูปประมาณนี้ การวาดรูปไม่ต้องสนใจเครื่องหมายลบ นะ 

จากรูปเราใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะได้

\begin{array}{lcl}c^{2}&=&3^{2}+1^{2}\\c^{2}&=&10\\so\\c&=&\sqrt{10}\end{array}

ตอนนี้เราเดินทางมาใกล้คำตอบแล้วครับ สิ่งที่เราหาตอนนี้คือ \(\cos 2A\) นะ ดังนั้นเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\cos 2A&=&2\cos^{2} A-1\\&=&2\frac{1}{10}-1\\&=&\frac{1}{5}-1\\&=&-\frac{4}{5}\quad\underline{Ans}\end{array}

76. \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2})) +\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))\) เท่ากับค่าในข้อใด

1. \(-\frac{4}{5}+\frac{3\pi}{2}\)
2. \(\frac{4}{5} +\frac{3\pi}{2}\)
3. \(-\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\)
4. \(\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องแม่นเรื่องเกี่ยวกับเรนจ์ของฟังก์ชันอาร์ไซน์ ก็คือเรนจ์ของอาร์คไซน์จะอยู่ในช่วง \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) เริ่มทำกันเลยคับ

เราจะหาค่าอันนี้ก่อน \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2}))\)

เนื่องจาก \(\sin \frac{3\pi}{2}=-1\) ดังนั้น \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2}))=\arcsin (-1)\)

เราจะหาค่าของ \(\arcsin (-1)\)

กำหนดให้ \(\arcsin (-1)=\theta \) เมื่อ \(\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

เนื่องจาก \(\sin (-\frac{\pi}{2})=-1\) ดังนั้น \(\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}\)

ต่อไปหาค่าของ \(\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))\)

เรากำหนดให้ \(\arcsin (-\frac{3}{5})=\theta\) เราจะได้ \(\sin\theta=-\frac{3}{5}\) เมื่อ \(\theta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)  จาก \(\theta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) และ ไซน์ทีต้ามีค่า ติดลบสามส่วนห้า ทำให้เรารู้ว่า \(\theta\) อยู่ในควอร์ดเรนต์ที่ 2  จึงได้่ว่าค่าของฟังก์ชันคอสต้องเป็นบวก  

จาก \(\sin\theta=-\frac{3}{5}\) วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

จากรูป เราได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\cos (\arcsin (-\frac{3}{5})&=&\cos\theta\\&=&\frac{4}{5}\end{array}

ทำให้เราได้คำตอบคือ

\begin{array}{lcl}\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2})) +\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))&=&-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{5}\\&=&\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}

77. ให้ \(A\) เป็นผลบวกของคำตอบของสมการ \(\sin^{2}6x+8\sin^{2}3x=0\) เมื่อ \(0\leq x\leq 2\pi\) จงหาค่าของ \(\frac{A}{\pi}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้สูตรมุมสองเท่า ก็คือ \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) ดังนั้น

\(\sin 6x=\sin 2(3x)=2\sin3x\cos 3x\) ประมาณนี้คับ เรามาเริ่มทำกันเลยดีกว่า

\begin{array}{lcl}\sin^{2}6x+8\sin^{2}3x&=&0\\\sin 6x\sin 6x + 8\sin^{2}3x&=&0\\\sin 2(3x)\sin 2(3x)+8\sin^{2}3x&=&0\\(2\sin 3x\cos 3x) (2\sin 3x\cos 3x) +8\sin^{2}3x&=&0\\4\sin^{2}3x\cos^{2}3x+8\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x\cos^{2}3x+2\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x(1-\sin^{2}3x)+2\sin^{2}3x&=&0\\\sin^{2}3x-\sin^{4}3x+2\sin^{2}3x&=&0\\3\sin^{2}3x-\sin^{4}3x&=&0\\\sin^{2}3x(3-\sin^{2}3x)&=&0\\so\\\sin^{2}3x=0\quad or\quad 3-\sin^{2}3x=0\end{array}

พิจารณา \(\sin^{2}3x=0\) เราจะได้ \(\sin 3x=0\)

เนื่องจาก \(\sin 0=0\)

\( \sin\pi=0\)

\(\sin 2\pi=0\)

ทำให้ได้ว่า

\(x=0\)

\(x=\frac{\pi}{3}\)

\(x=\frac{2\pi}{3}\)

พิจาณา \(3-\sin^{2} 3x=0\) เราจะได้ว่า 

\begin{array}{lcl}3-\sin^{2}3x&=&0\\-\sin^{2}3x&=&-3\\\sin^{2}3x&=&3\\\sin 3x&=&\pm\sqrt{3}\\\sin 3x&=&\pm 1.732\end{array}

เนื่องจาก \(-1\leq \sin\theta\leq 1\) เสมอ ดังนั้นทำให้ได้ว่า \(\sin 3x=\pm 1.732\) ไม่มีคำตอบ

นั่นคือ \(A=0+\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{3\pi}{3}=\pi\)

คำตอบข้อนี้คือ \(\frac{A}{\pi}=\frac{\pi}{\pi}=1\quad\underline{Ans}\)

78.ค่าของ \(\cos\left[\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}\right]\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{10}}\)
2. \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{10}}\)
3. \(\frac{-1}{\sqrt{10}}\)
4. \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องระวังเรื่องเครื่องหมาย บวก ลบ คือเราต้องรู้ว่ามุมตกควอร์ดเรนจ์ไหน มาดูวิธีการทำกันครับ

ขั้นตอนที่ 1 กำหนดให้ \(\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})=A\) จะได้ว่า

\(\sin A =-\frac{1}{\sqrt{2}}\) เมื่อ \(A\in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) จากตรงนี้จะเห็นว่ามุม \(A\) ตกควอร์ดเรนจ์ที่ 4  นั่นค่าของ \(\cos A\) เป็นบวก แน่นอน

จาก \(\sin A=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้

ซึ่งจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทำให้เราได้ว่า \(\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ขั้นตอนที่ 2 กำหนดให้ \(\arccos \frac{2}{\sqrt{5}}=B\) จะได้ว่า

\(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\) เมื่อ \(0\leq B\leq \pi\) จากตรงนี้ค่าคอส เป็นบวกทำให้เราได้ว่า มุม \(B\) ตกควอร์ดเรนจ์ที่ 1 นั่นคือค่าของ \(\sin B\)  ก็เป็นบวกด้วย

จาก \(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\) จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้

ซึ่งจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้ \(\sin B=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

ต่อไปจะเริ่มกระบวกการหาคำตอบกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\cos\left[\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}\right]&=&\cos (A-B)\\&=&\cos A\cos B +\sin A\sin B\\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}+(-\frac{1}{\sqrt{2}})\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\\&=&\frac{2}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{10}}\quad\underline{Ans}\end{array}

83. ค่าของ \(\cot^{2}\frac{\pi}{6}-2\cos^{2}\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}cosec^{2}\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}\cos^{2}\frac{\pi}{6}\) เท่ากับข้อใด

1. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
2. \(\frac{5}{2}\)
3. \(2\)
4. \(-\frac{1}{2}\)
5. \(-\frac{3}{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากหาตรงๆได้เลย

\(\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) ดังนั้น \(\cos^{2}\frac{\pi}{6}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{3}{4}\)

\(cosec \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\) ดังนั้น \(cosec^{2}\frac{\pi}{4}=(\frac{2}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{4}{2}=2\)

\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) ดังนั้น \(\cos^{2}\frac{\pi}{3}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}\)

\(\cot\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\) ดังนั้น \(\cot^{2}\frac{\pi}{3}=(\sqrt{3})^{2}=3\)

เมื่อเราหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณได้หมดแล้วก็เอาไปแทนในโจทย์ เพื่อบวก ลบ คูณ หารกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\cot^{2}\frac{\pi}{6}-2\cos^{2}\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}cosec^{2}\frac{\pi}{4}+\frac{4}{3}\cos^{2}\frac{\pi}{6}&=&3-2(\frac{1}{4})-\frac{1}{2}(2)+\frac{4}{3}(\frac{3}{4})\\&=&3-\frac{1}{2}-1+1\\&=&\frac{5}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}

83. กำหนดให้ \(a\) และ \(b\) เป็นคำตอบของสมการ \(x^{2}\sec^{2}\frac{\pi}{3}-3xcosec\frac{\pi}{6}+2\tan\frac{\pi}{4}=0\) จงหาค่าของ \(a+b\)

1. \(\frac{3}{2}\)
2. \(\frac{1}{3}\)
3. \(2\)
4. \(-\frac{1}{2}\)
5. \(-1\)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากหาตรงๆได้เลยแต่ต้องหาเป็นลำดับขั้นไป ก็คือเราไปหาค่าพวกฟังก์ตรีโกณก่อนเลยคับ

\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)

\(cosec\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)

\(\sec\frac{\pi}{3}=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\) ดังนั้น \(\sec^{2}\frac{\pi}{3}=(2)^{2}=4\)

พอเราได้ค่าตรงนี้ เราก็นำไปแทนค่าในโจทย์เลยคับผม จะได้ดังนััน

\begin{array}{lcl}x^{2}\sec^{2}\frac{\pi}{3}-3xcosec\frac{\pi}{6}+2\tan\frac{\pi}{4}&=&0\\4x^{2}-3x(2)+2(1)&=&0\\2x^{2}-3x+1&=&0\\(2x-1)(x-1)&=&0\\so\\x=\frac{1}{2}\quad ,x=1\end{array}

ดังนั้นตอนนี้เราได้ \(a=\frac{1}{2}\) และ \(b=1\)  ดังนั้น

\begin{array}{lcl}a+b&=&\frac{1}{2}+1\\&=&\frac{3}{2}\end{array}

85. ค่าของ \(\frac{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}-1}{\tan\theta-\sin\theta\cos\theta}\) ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\cot\theta\)
2. \(2\cot\theta\)
3. \(2\)
4. \(\frac{1}{\tan^{2}\theta}\)
5. \(2\cot^{2}\theta\)

วิธีทำ ข้อนี้สิ่งที่ต้องรู่คือ

\(\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta =1\) ดังนั้น \(sin^{2}\theta =1-\cos^{2}\theta\)

\(\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)  

\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

เอาละมาเริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\frac{(\sin\theta + \cos\theta )^{2}-1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}&=&\frac{\sin^{2}+2\sin\theta\cos\theta +\cos^{2}\theta -1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta +\sin^{2}\theta +\cos^{2}\theta  - 1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta +1-1}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\color{red}{\frac{\cos\theta}{\cos\theta}}\times \frac{2\sin\theta\cos\theta}{tan\theta -\sin\theta\cos\theta}\\&=&\frac{2\sin\theta\cos^{2}\theta}{\sin\theta-\sin\theta\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{\sin\theta(2\cos^{2}\theta)}{\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)}\\&=&\frac{2\cos^{2}\theta}{1-\cos^{2}\theta}\\&=&\frac{2\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}\\&=&2\cot^{2}\theta\quad\underline{Ans}\end{array}