วันนี้ผมจะพาทำทุกคนหัดทำแบบฝึกหัดเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ หรือบางคนอาจจะเรียกว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งก่อนหน้านี้ผมได้เขียนมาอธิบายมาบ้างแล้วใครสนใจอ่านก็ไปตามอ่านที่ลิงค์นี้ได้เลยครับพื้นฐานเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่วันนี้ผมจะพยายามเขียนใหม่หมดเลยและจะพยายามทำให้ครอบคลุมทุกฟังก์ชัน อย่างไรก็พยายามอ่านนะครับ อ่านหนังสือหลายๆเล่มหลากหลายสำนักก็จะได้ดี เพราะบางทีบางเล่มเขียนสรุปมากไปทำให้ไม่ค่อยรู้ที่มาทีไป พอเจอโจทย์ยากๆอาจจะงงได้ หรือเจอโจทย์ง่ายมากๆที่ต้องใช้เบสิคบางทีก็ทำไม่ได้เพราะเราอ่านทึ่เขาสรุปมาแล้วเลยไม่เข้าใจที่มาที่ไป ไม่เข้าใจพื้นฐานฉะนั้นแล้วผมจะแนะนำให้อ่านหนังสือหลายๆเล่ม บทความนี้เป็นแค่ส่วนหนึ่งเท่านั้นที่จะช่วยฝึกได้บ้าง อย่างไรเราต้องหัดทำแบบฝึกหัดเองเยอะๆครับ เรามาดูผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติตัวแรกกันเลยครับ
ฟังก์ชัน arcsine
นี่คือกราฟของฟังก์ชัน arcsine หรือก็คือกราฟของฟังก์ชัน \(y=\arcsin x\) นั่นเองตามรูปจะเห็นว่า
โดเมนของฟังก์ชัน arcsine ก็คือ x จะอยู่ในช่วง \(x\in[-1,1]\)
เรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine ก็คือ y จะอยู่ในช่วง \(y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) หรือก็คือ \(y\in[-90^{\circ},90^{\circ}]\) หรือ ก็คือ y จะตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 1 หรือ ควอดเรนต์ที่ 4 นั่นเองครับ
เพราะฉะนั้นถ้ามีคนมาถามว่าจงหาค่าของ \(y=\arcsin\frac{1}{2}\) ถ้าเราตอบว่า \(y=150^{\circ}\) จะผิดครับเพราะอยู่นอกเหนือเรนจ์ ข้อนี้ต้องตอบว่า \(y=30^{\circ}\)
ฟังก์ชัน arccosine
นี่คือกราฟของฟังก์ชัน arccosine หรือก็คือกราฟของฟังก์ชัน \(y=\arccos x\) นั่นเองครับตามรูปจะเห็นว่า
โดเมนของฟังก์ชัน arccosine ก็คือ x จะอยู่ในช่วง \(x\in[-1,1]\)
เรนจ์ของฟังก์ชัน arccosine ก็คือ y จะอยู่ในช่วง \(y\in[0,\pi]\) หรือก็คือ
\(y\in[0^{\circ},180^{\circ}]\) พูดอีกอย่างก็คือ y ต้องตกอยู่ในควอดเรนจ์ที่ 1 หรือ ควอดเรนจ์ที่ 2 เท่านั้นครับ
เพราะฉะนั้นถ้ามีคนมาถามว่าจงหาค่าของ \(y=\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\) ถ้าเราตอบว่า \(y=315^{\circ}\) จะผิดเพราะ y จะตกอยู่ในควอร์เรนจ์ที่ 1 หรือ 2 เท่านั้นข้อนี้ต้องตอบ \(y=45^{\circ}\) ครับถึงจะถูก
ฟังก์ชัน arctangent
นี่คือกราฟของฟังก์ชัน arctangent หรือก็คือกราฟของฟังก์ชัน \(y=\arctan x\) นั่นเองครับดูตามรูปจะเห็นว่า
โดเมนของฟังก์ชัน arctangent ซึ่งก็คือ x จะเป็นจำนวนจริง ก็คือ \(x\in R\)
เรนจ์ของฟังก์ชัน arctangent ก็คือ y จะอยู่ในช่วง \(y\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) หรือก็คือ \(y\in(-90^{\circ},90^{\circ})\) พูดอีกอย่างก็คือ y ตกอยู่ในควอดเรนจ์ที่ควอร์ดเรนจ์ที่ 1 หรือ ควอดเรนจ์ที่ 4 แต่ไม่เอาจุดปลายของควอดเรนจ์ในครับเพราะเป็นช่วงเปิดดูดีๆด้วย
เพราะฉนั้นถ้ามีคนมาถามว่าจงหาค่าของ \(y=\arctan 1\) ถ้าเราตอบว่า \(y=225^{\circ}\) ก็จะผิดเพราะอยู่เหนือจากควอดเรนจ์ที่กำหนด ต้องตอบว่า \(y=45^{\circ}\)
ตอนนี้เราได้รู้โดเมนและเรนจ์ของผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว ต่อไปเราก็นำความรู้อันนี้มาทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ อย่าลืมตั้งใจเรียนที่โรงเรียนด้วยจะได้อ่านเข้าใจง่ายยิ่งขึ้นครับ
1. จงหาค่าต่อไปนี้
1) \(\arcsin 0\)
วิธีทำ ผมกำหนดให้
\(y=\arcsin 0\) ความหมายของสมการตรงนี้ก็คือ ไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเป็นศูนย์โดยที่มุมนั้นต้องตกอยู่ควอดเรนต์ที่ 1 หรือ 4 อย่าลืมนะข้างบนที่ผมทำให้อ่านเรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine ต้องตกอยู่ในควอดเรนจ์ที่ 1 หรือ 4 เท่านั้น เริ่มทำเลยนะ
\[y=\arcsin 0\] ความหมายคือ
\[\sin y= 0\] เนื่องจาก
\[\sin 0^{\circ}=0\]
ดังนั้นจึงได้ว่า
\(\arcsin 0=0^{\circ}\) นั่นเองครับ พอเข้าใจไหมเอ่ย
2) \(\arccos 1\)
วิธีทำ ผมกำหนดให้
\(y=\arccos 1\) ตรงนี้ความหมายของมันก็คือ คอสของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับ 1 โดยที่มุมนั้นต้องตกอยู่ในควอดเรนจ์ที่ 1 หรือ 2 เท่านั้น เริ่มทำกันเลย
\[y=\arccos 1\] ความหมายคือ
\[\cos y=1\] เนื่องจาก
\[\cos 0^{\circ}=1\]
ดังนั้นจึงได้ว่า
\(\arccos 1=0^{\circ}\) นั่นเองครับ
3) \(\arctan 0\)
วิธีทำ ผมกำหนดให้
\(y=\arctan 0 \) ความหมายตรงนี้ก็คือ แทนของมุนอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับศูนย์ โดยที่มุมนั้น มุมในที่นี้ก็คือค่า y ค่า \(y\in(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) ตามที่ผมเขียนให้ดูด้านบนตรงที่เป็นฟังก์ชัน arctangent เริ่มทำกันเลยครับ
\[y=\arctan 0\] ความหมายคือ
\[\tan y=0\] เนื่องจาก
\[\tan 0^{\circ}=0\]
ดังนั้นจึงได้ว่า
\(\arctan 0 =0^{\circ}\) นั่นเองครับ
4) \(\arcsin (-1)\)
วิธีทำ ผมกำหนดให้
\(y=\arcsin (-1)\) ความหมายก็คือ ไซน์ของมุมอะไรเอ่ยมีค่าเท่ากับลบหนึ่ง โดยที่มุมนั้นในที่นี้ก็คือค่า y ค่า \(y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) ก็คือตกอยู่ในคอดเรนต์ที่ 1 หรือ 4 ตามที่ผมเขียนไว้ในดูด้านบนครับ เริ่มทำกันเลย
\[y=\arcsin (-1)\] ความหมายคือ
\[\sin y=-1\] เนื่องจาก
\[\sin -\frac{\pi}{2}=-1\]
ดังนั้น
\(\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}\)
5) \(arctan \frac{\sqrt{3}}{3}\)
วิธีทำ กำหนดให้
\(y=\arctan \frac{\sqrt{3}}{3}\) ความหมายคือ
\[\tan y=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
เนื่องจาก
\[\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
ดังนั้น
\(arctan \frac{\sqrt{3}}{3}=30^{\circ}\)
6) \(\arcsin -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
วิธีทำ ผมกำหนดให้
\(y=\arcsin -\frac{\sqrt{2}}{2}\) ความหมายคือ
\[\sin y= -\frac{\sqrt{2}}{2}\] เนื่องจาก
\[\sin -45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\]
ดังนั้น
\(\arcsin -\frac{\sqrt{2}}{2}=-45^{\circ}\) หรือใครจะตอบเป็นมุมในหน่วยเรเดียนก็ได้ก็คือ
\(\arcsin -\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\pi}{4}\)
3. จงหาค่าต่อไปนี้
1) \(\cos\left[\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]\)
วิธีทำ ผมกำหนดให้ \(y=arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})\)
แสดงว่าตอนนี้ เรากำลังหาค่าของ \(\cos y\) นั่นเองครับ เราต้องหา y ให้ได้ครับ ไปหา y กันเลย
จาก
\[y=arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\] จะได้
\[\sin y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\] เนื่องจาก
\[\sin -60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\] ดังนั้น
\(y=-60^{\circ}\)
ข้อนี้ก็คือเขาให้เราหาค่า \(\cos-60^{\circ}\) นั่นเองครับ
\(\cos -60^{\circ}=\frac{1}{2}\)
2) \(\sin\left[\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right]\)
วิธีทำ กำหนดให้ \(y=\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\)
แสดงว่าเรากำลังหาค่าของ \(\sin y\) นั่นเองครับ ถ้าหาค่า y ได้ก็หาคำตอบข้อนี้ได้ครับ
จาก
\[y=\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\] จะได้
\[\sin y=-\frac{1}{2}\] เนื่องจาก
\[\sin -30^{\circ}=-\frac{1}{2}\] ดังนั้น
\(y=-30^{\circ}\)
ข้อนี้ก็คือให้เราหาค่าของ \(sin-30^{\circ}\) นั่นเองครับ
\(\sin-30^{\circ}=-\frac{1}{2}\)
3) \(\tan\left(\arcsin\frac{1}{3}\right)\)
วิธีทำ กำหนดให้ \(y=\arcsin\frac{1}{3}\) ดังข้อนี้เรากำลังหาค่าของ \(\tan y\) นั่นเองครับ
จาก
\[y=\arcsin\frac{1}{3}\] จะได้
\[\sin y=\frac{1}{3}\] ลองวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดูครับแล้วหาความด้านทั้งหมดของสามเหลี่ยมมุมฉากออกมาก็จะได้รูปดังนี้ครับ
อย่าลืมนะโจทย์ข้อนี้จริงๆแล้วเขาต้องการให้เราหาค่าของ \(\tan y\) จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้เราก็สามารถหาค่าของ \(\tan y\) ได้ใช่ไหมใครหาไม่เป็นให้ไปอ่านเรื่องนี้ก่อนอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ดังนั้นจะได้
\(\tan y=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)
4) \(\cot\left[\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\right]\)
วิธีทำ ผมกำหนดให้ \(y=\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\) ดังนั้นข้อนี้เขาให้หาค่าของ \(\cot y\) นั่นเองครับ
จาก
\[y=\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\] จะได้
\[\sin y= -\frac{\sqrt{2}}{3}\] ทำเหมือนเดิมครับคือวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และเป็นที่น่าสังเกตอีกอย่างคือ ค่าของ \(\sin y\) ติดลบ นั่นคือเราจะได้ว่า มุม y ต้องตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 4 อาจจะมีคนแย้งว่ามุม y ตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 3 ไม่ได้เหรอ คำตอบคือไม่ได้เพราะตามนิยามฟังก์ชัน arcsine มุมต้องตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 1 หรือ 4 เท่านั้น ข้อนี้ค่าไซน์ y เท่ากับลบรูทสองส่วนสามมันติดลบดังนั้น มุม y จึงตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 4 ครับ วาดรูปสามเหลี่ยมฉากเลยครับ
อย่าลืมนะโจทย์ข้อนี้จริงๆแล้วเขาให้เราหาค่าของ \(\cot y\) นั่นเอง ดังเราสามารถหาค่าคอทวายได้จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้เลยครับ
\(\cot y=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}\) แต่อย่าพึ่งตอบนะ หยุดก่อนดูดี เนื่องจากมุม y เรานี้ตกอยู่ในควอดเรนต์ที่ 4 ตามที่ผมได้กล่าวไว้แล้วข้างต้น ควอดเรนต์ที่ 4 ค่า \(\cot\) จะมีค่าเป็นลบครับ ดังนั้นข้อนี้ตอบ
\(\cot y=-\frac{\sqrt{14}}{2}\)
5) \(\sin (\arcsin\frac{4}{5} +\arcsin\frac{12}{13})\)
วิธีทำ กำหนดให้
\(arcsin\frac{4}{5}=A\)
\(\arcsin\frac{12}{13}=B\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\sin(\arcsin\frac{4}{5}+\arcsin\frac{12}{13}&=&\sin (A+B)\\&=&\sin A\cos B +\cos A\sin B\quad\cdots (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนคับ ต่อไปเราก็ไปหาค่าพวก \(\sin A ,\cos B ,\cos A ,\sin B\) ครับผมวิธีการหาก็คือ
จากที่เราให้\(\arcsin\frac{4}{5}=A\) เราจะได้
\(\sin A=\frac{4}{5}\) เราวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้รูปดังนี้
จากรูปจะได้ \(\cos A=\frac{3}{5}\)
จากที่เราให้ \(\arcsin\frac{12}{13}=B\) เราจะได้
\(\sin B=\frac{12}{13}\) เราวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้รูปดังนี้
จากรูปจะได้ว่า \(\cos B=\frac{5}{13}\)
นำค่า \(\sin A ,\cos B ,\cos A ,\sin B\) ที่เราหาได้ไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\sin (A+B)&=&\sin A\cos B +\cos A\sin B\\&=&\frac{4}{5}\frac{5}{13}+\frac{3}{5}\frac{12}{13}\\&=&\frac{20}{65}+\frac{36}{65}\\&=&\frac{56}{65}\quad\underline{Ans}\end{array}
เฉลยคณิตศาสตร์ o-net ม.6 ละเอียด
มีทุกเรื่องให้อ่านครับ ลองค้นหาดู ฝากแชร์ ให้เพื่อนๆดูด้วยคับ
ดาวน์โหลดข้อสอบคณิตศาสตร์แข่งขันนานาชาติระดับประถม
ดาวน์โหลดข้อสอบ o-net คณิต ม.3
ดาวน์โหลดข้อสอบ PAT 1
ดาวน์โหลด 9 วิชาสามัญคณิตศาสตร์
ดาวน์โหลดข้อสอบอัจฉริยภาพคณิตศาสตร์และข้อสอบคณิตทั่วไปที่น่าสนใจ
ดาวน์โหลดข้อสอบคณิตศาสตร์แข่งขันนานาชาติระดับ ม.ต้น
แนวข้อสอบ กพ
ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยวิชาชีววิทยา
ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยวิชาฟิสิกส์
ข้อสอบโควต้าคณิตศาสตร์ ม.เชียงใหม่
ข้อสอบ Brand Summer Camp
ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยวิชาคณิตศาสตร์
แนวข้อสอบครูผู้ช่วย
ข้อสอบโครงการพัฒนาอัจฉริยภาพวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์