78.ค่าของ \(\cos\left[\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}\right]\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{10}}\)
2. \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{10}}\)
3. \(\frac{-1}{\sqrt{10}}\)
4. \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องระวังเรื่องเครื่องหมาย บวก ลบ คือเราต้องรู้ว่ามุมตกควอร์ดเรนจ์ไหน มาดูวิธีการทำกันครับ

ขั้นตอนที่ 1 กำหนดให้ \(\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})=A\) จะได้ว่า

\(\sin A =-\frac{1}{\sqrt{2}}\) เมื่อ \(A\in [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) จากตรงนี้จะเห็นว่ามุม \(A\) ตกควอร์ดเรนจ์ที่ 4  นั่นค่าของ \(\cos A\) เป็นบวก แน่นอน

จาก \(\sin A=-\frac{1}{\sqrt{2}}\) จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้

ซึ่งจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทำให้เราได้ว่า \(\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ขั้นตอนที่ 2 กำหนดให้ \(\arccos \frac{2}{\sqrt{5}}=B\) จะได้ว่า

\(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\) เมื่อ \(0\leq B\leq \pi\) จากตรงนี้ค่าคอส เป็นบวกทำให้เราได้ว่า มุม \(B\) ตกควอร์ดเรนจ์ที่ 1 นั่นคือค่าของ \(\sin B\)  ก็เป็นบวกด้วย

จาก \(\cos B=\frac{2}{\sqrt{5}}\) จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้

ซึ่งจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้ \(\sin B=\frac{1}{\sqrt{5}}\)

ต่อไปจะเริ่มกระบวกการหาคำตอบกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\cos\left[\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\arccos\frac{2}{\sqrt{5}}\right]&=&\cos (A-B)\\&=&\cos A\cos B +\sin A\sin B\\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}+(-\frac{1}{\sqrt{2}})\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\\&=&\frac{2}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{10}}\quad\underline{Ans}\end{array}