76. \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2})) +\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))\) เท่ากับค่าในข้อใด

1. \(-\frac{4}{5}+\frac{3\pi}{2}\)
2. \(\frac{4}{5} +\frac{3\pi}{2}\)
3. \(-\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\)
4. \(\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องแม่นเรื่องเกี่ยวกับเรนจ์ของฟังก์ชันอาร์ไซน์ ก็คือเรนจ์ของอาร์คไซน์จะอยู่ในช่วง \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) เริ่มทำกันเลยคับ

เราจะหาค่าอันนี้ก่อน \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2}))\)

เนื่องจาก \(\sin \frac{3\pi}{2}=-1\) ดังนั้น \(\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2}))=\arcsin (-1)\)

เราจะหาค่าของ \(\arcsin (-1)\)

กำหนดให้ \(\arcsin (-1)=\theta \) เมื่อ \(\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

เนื่องจาก \(\sin (-\frac{\pi}{2})=-1\) ดังนั้น \(\arcsin (-1)=-\frac{\pi}{2}\)

ต่อไปหาค่าของ  \(\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))\)

เรากำหนดให้ \(\arcsin (-\frac{3}{5})=\theta\) เราจะได้ \(\sin\theta=-\frac{3}{5}\) เมื่อ \(\theta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)  จาก \(\theta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) และ ไซน์ทีต้ามีค่า ติดลบสามส่วนห้า ทำให้เรารู้ว่า \(\theta\) อยู่ในควอร์ดเรนต์ที่ 2  จึงได้่ว่าค่าของฟังก์ชันคอสต้องเป็นบวก  

จาก \(\sin\theta=-\frac{3}{5}\) วาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ดังนี้

จากรูป เราได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\cos (\arcsin (-\frac{3}{5})&=&\cos\theta\\&=&\frac{4}{5}\end{array}

ทำให้เราได้คำตอบคือ

\begin{array}{lcl}\arcsin (\sin (\frac{3\pi}{2})) +\cos (\arcsin (-\frac{3}{5}))&=&-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{5}\\&=&\frac{4}{5}-\frac{\pi}{2}\quad\underline{Ans}\end{array}