การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง

กรณีที่ 1 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองกรณี \(c=0\)

ซึ่งถ้าค่า \(c=0\) พหุนามดีกรีสองพวกนี้จะมีหน้าตาแบบนี้เช่น \(6x^{2}+x\) หรือ \(-8x^{2}-4x\) เป็นต้น ซึ่งการแยกตัวประกอบเราก็ใช้การดึงตัวร่วมเลย มาดูกันเลยคับ

จงแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้

1. \(x^{2}+x\) 

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+x&=&x\color\red{x}+\color\red{x}\\&=&\color\red{x} (x+1)\end{array}

2. \(2x^{2}-2x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}2x^{2}-2x&=&\color\red{2x}x-\color\red{2x}\\&=&\color\red{2x}(x-1)\end{array}

3.\(15x^{2}-3x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}15x^{2}-3x&=&5\cdot \color\red{3x}x-\color\red{3x}\\&=&\color\red{3x}(5x-1)\end{array}

4.\(-25x^{2}-75x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}-25x^{2}-75x&=&-5\cdot\color\red{5x}x-15\cdot\color\red{5x}\\&=&\color\red{5x}(-5x-15)\end{array}

5.\(-6x^{2}+x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}-6x^{2}+x&=&-6x\color\red{x}+\color\red{x}\\&=&\color\red{x}(-6x+1)\end{array}

ต่อไปลองแยกตัวประกอบดีกรีมากกว่าสองดูบ้างครับ

6. \(49a^{3}-7a^{2}+35a\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}49a^{3}-7a^{2}+35a&=&7\cdot \color\red{7a}\cdot  a\cdot a-\color\red{7a}\cdot a+5\cdot\color\red{7a}\\&=&\color\red{7a}(7\cdot a\cdot a-a+5)\\&=&\color\red{7a}(7a^{2}-a+5)\end{array}

7. \(15x^{3}+25x^{2}-10x\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}15x^{3}+25x^{2}-10x&=&3\cdot 5\cdot x\cdot x\cdot x+5\cdot 5\cdot x\cdot x-5\cdot 2\cdot x\\&=&\color\red{5x}3\cdot x\cdot x+\color\red{5x}\cdot 5\cdot x-\color\red{5x}\cdot 2)\\&=&\color\red{5x}(3x^{2}+5x-2)\end{array}

ต่อไปลองแยกตัวประกอบพหุนามที่เป็นลักษณะนี้บ้าง ค่อยๆดูนะคับ

8. \((4-a)+(4-a)x^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(4-a)+(4-a)x^{2}&=&\color\red{(4-a)}+\color\red{(4-a)}x^{2}\\&=&\color\red{(4-a)}(1+x^{2})\end{array}

9. \((x-1)+y^{2}(x-1)\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(x-1)+y^{2}(x-1)&=&\color\red{(x-1)}+y^{2}\color\red{(x-1)}\\&=&\color\red{(x-1)}(1+y^{2})\end{array}

10. \(ax+by+bx+ay\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}ax+by+bx+ay&=&\color\green{ax+bx}+\color\red{by+ay}\\&=&\color\green{x}(a+b)+\color\red{y}(a+b)\\&=&(a+b)(\color\green{x}+\color\red{y})\end{array}

กรณีที่ 2 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองกรณีที่ \(a=1\) และ\(b\) กับ  \(c\) ไม่เท่ากับ \(0\)

พหุนามดีกรีสองที่มี \(a=1\) และค่าของ \(b,c\) ไม่เท่ากับ \(0\) เช่น

\(\to x^{2}+8x+16\) จะเห็นว่า \(a=1,b=8,c=16\)

\(\to\color\red{x^{2}+11x+18}\)  จะเห็นว่า \(a=1,b=11,c=18\)

\(\to\color\green{x^{2}-5x-24}\) จะเห็นว่า \(a=1,b=-5,c=-24\)

\(\to\color\orange{x^{2}+6x-16}\) จะเห็นว่า \(a=1,b=6,c=-16\)

\(\to x^{2}-7x+10\) จะเห็นว่า \(a=1,b=-7,c=10\)

ซึ่งเราจะมาดูว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในฟอร์มนี้จะทำอย่างไร ซึ่งถ้าใครเรียนการคูณพหุนามมาแล้วจะเข้าใจเรื่องนี้มากขี้น ยกตัวอย่างเช่น

\(\to\)\((x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6\) นั่นหมายความว่า \(x^{2}+5x+6\) สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น \((x+2)(x+3)\) นั่นเอง

\(\to\)\((x-2)(x-3)=x^{2}-5x+6\) นั่นหมายความว่า \(x^{2}-5x+6\) สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น \((x-2)(x-3)\) นั่นเอง

\(\to\)\((x-4)(x+2)=x^{2}-2x-8\) นั่นหมายความว่า \(x^{2}-2x+8\) สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น \((x-4)(x+2)\) นั่นเอง

\(\to\)\((x+10)(x-5)=x^{2}+5x-55\) นั่นหมายความว่า \(x^{2}+5x-55\) สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็น \((x+10)(x-5)\) นั่นเอง

ลองดูรูปภาพด้านล่างที่ผมโยงวิธีการคูณให้ดู ถ้าใครเข้าใจภาพนี้จะแยกตัวประกอบได้แบบสบายๆเลยครับ

ต่อไปเรามาลองทำแบบฝึกหัดการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองกันครับ เดี๋ยวถ้าว่างๆผมจะทำเป็นคลิปให้ดูเสริมอีกที ถ้าว่างนะ

แบบฝึกหัดแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง

1) \(x^{2}+15x+56\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+15x+56&=&(x+7)(x+8)\end{array}

2) \(x^{2}+11x+18\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+11x+18&=&(x+9)(x+2)\end{array}

3) \(x^{2}+12x+11\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+12x+11&=&(x+11)(x+1)\end{array}

4) \(x^{2}+18x+81\) 

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+18x+81&=&(x+9)(x+9)\end{array}

5)  \(x^{2}+32x+207\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+32x+207&=&(x+9)(x+23)\end{array}

6) \(x^{2}+16x+55\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}x^{2}+16x+55&=&(x+5)(x+11)\end{array}

7) \(x^{2}+11x+24\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+11x+24&=&(x+8)(x+3)\end{array}

8) \(x^{2}-8x-20\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-8x-20&=&(x-10)(x-2)\end{array}

9) \(x^{2}-5x-24\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-5x-24&=&(x-8)(x+3)\end{array}

10)  \(x^{2}-13x-48\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-13x-48&=&(x-16)(x+3)\end{array}

11) \(x^{2}-x-72\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-x-72&=&(x-7)(x+6)\end{array}

12) \(x^{2}-10x+24\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-10x+24&=&(x-6)(x-4)\end{array}

13)\(x^{2}-11x+30\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-11x+30&=&(x-6)(x-5)\end{array}

14) \(x^{2}-18x+81\)

วิธีทำ

\begin{array}{LCL}x^{2}-18x+81&=&(x-9)(x-9)\end{array}

15) \(x^{2}-9x+20\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-9x+20&=&(x-4)(x-5)\end{array}

16) \(x^{2}-2x+1\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-2x+1&=&(x-1)(x-1)\end{array}

17) \(x^{2}-19x+84\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-19x+84&=&(x-12)(x-7)\end{array}

18) \(x^{2}-10x+16\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-10x+16&=&(x-8)(x-2)\end{array}

19) \(x^{2}+x-6\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+x-6&=&(x+3)(x-2)\end{array}

20) \(x^{2}+x-90\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+x-90&=&(x+10)(x-9)\end{array}

21) \(x^{2}+7x-330\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+7x-30&=&(x+10)(x-3)\end{array}

22)\(x^{2}+4x-221\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}+4x-21&=&(x+7)(x-3)\end{array}

กรณีที่ 3 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองกรณีที่ \(a\neq 1\) และ\(b\) กับ  \(c\) ไม่เท่ากับ \(0\)

กรณีนี้ทำเหมือนกรณีที่ 2 เลย เพียงแต่ว่า \(a\neq 1\) ก็เท่านั้นเอง ผมจะเฉลยไว้ให้ดูก็แล้วกัน ลองเอาไปอ่านพิจารณากันดู

แบบฝึกหัด

1) \(2x^{2}+5x+2\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}2x^{2}+5x+2&=&(2x+1)(x+2)\end{array}

2) \(2x^{2}+x-6\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}2x^{2}+x-6&=&(2x-3)(x+2)\end{array}

3) \(3x^{2}-13x+12\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}3x^{2}-13x+12&=&(3x-4)(x-3)\end{array}

4) \(6x^{2}+5x-25\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}6x^{2}+5x-25&=&(3x-5)(2x+5)\end{array}

5) \(3x^{2}-x-10\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}3x^{2}-x-10&=&(3x+5)(x-2)\end{array}

6) \(8x^{2}-x-10\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}8x^{2}+2x-15&=&(2x+3)(4x-5)\end{array}

7) \(4x^{2}+19x-30\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}4x^{2}+19x-30&=&(4x-5)(x+6)\end{array}

8) \( 7x^{2}+39x-18\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}7x^{2}+39x-18&=&(7x-3)(x+6)\end{array}

9) \(5x^{2}+23x+12\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(5x^{2}+23x+12&=&(5x+3)(x+4)\end{array}

10) \(9x^{2}+9x-40\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}9x^{2}+9x-40&=&(3x-5)(3x+8)\end{array}

กรณีที่ 4 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง

พหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูปผลต่างกำลังสองคือพหุนามที่มีหน้าตาแบบนี้คับ \(A^{2}-B^{2}\) เช่น 

\(\to x^{2}-2^{2}\)

\(\to x^{2}-12^{2}\)

\(\to (2x)^{2}-3^{2}\)

\(\to (4x)^{2}-\sqrt{2}^{2}\)

ซึ่งเราจะเห็นว่า \(A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)\) เพื่อให้ง่ายต่อการจำนำไปใช้เราอาจจะท่องว่า

หน้า² - หลัง²  =(หน้า - หลัง) (หน้า + หลัง)  ก็ได้      ดั้งนั้นเราจะได้ว่า

\(\to x^{2}-2^{2}=(x-2)(x+2)\)

\(\to x^{2}-12^{2}=(x-12)(x+12)\)

\(\to (2x)^{2}-3^{2}=(2x-3)(2x+3)\)

\(\to (4x)^{2}-\sqrt{2}^{2}=(4x-\sqrt{2})(4x+\sqrt{2})\)

\(\to 99^{2}-98^{2}=(99-98)(99+98)=(1)(197)=197\)

มาลองทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ ไม่ยากมากลองศึกษาจากตัวอย่างในเว็บนี้ แล้วลองเอาไปฝึกฝนทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมข้างนอกอีกทีครับ

แบบฝึกหัด

1) \(x^{2}-64\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-64&=&x^{2}-8^{2}\\&=&(x-8)(x+8)\end{array}

2) \(x^{2}-196\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-196&=&x^{2}-14^{2}\\&=&(x-14)(x+14)\end{array}

3) \(x^{2}-625\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-625&=&x^{2}-25^{2}\\&=&(x-25)(x+25)\end{array}

4) \(169-x^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}169-x^{2}&=&13^{2}-x^{2}\\&=&(13-x)(13+x)\end{array}

5) \(324-y^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}324-y^{2}&=&18^{2}-y^{2}\\&=&(18-y)(18+y)\end{array}

6) \(x^{2}-4y^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-4y^{2}&=&x^{2}-(2y)^{2}\\&=&(x-2y)(x+2y)\end{array}

7) \(x^{2}-25y^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-25y^{2}&=&x^{2}-(5y)^{2}\\&=&(x-5y)(x+5y)\end{array}

8) \(25x^{2}-121\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}25x^{2}-121&=&(5x)^{2}-11^{2}\\&=&(5x-11)(5x+11)\end{array}

9) \(\frac{25}{36}x^{2}-\frac{121}{144}y^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\frac{25}{36}x^{2}-\frac{121}{144}y^{2}&=&(\frac{5}{6}x)^{2}-(\frac{11}{12}y)^{2}\\&=&(\frac{5}{6}x-\frac{11}{12}y)(\frac{5}{6}x+\frac{11}{12}y)\end{array}

มาดูแบบฝึกหัดเพิ่มเป็นโจทย์ของฝรั่งที่เขาสอนๆในโรงเรียนกันครับ มาดูกันเลย

1. Without using a calculator , calculate the values of the following.

1) \(997^{2}\)

2) \(2015^{2}\)

3)  \(1002^{2}-999^{2}\)

4) \(3012^{2}-30008^{2}\)

มาเริ่มทำกันเลยครับ โจทย์ของเขาก็คือ ให้คำนวณหาค่าพวกนี้โดยไม่ใช้ เครื่องคิดเลขนะคับ

1) \(997^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}997^{2}&=&(1000-3)^{2}\\&=&1000^{2}-2(1000)(3)+3^{2}\\&=&1000(1000)-6(1000)+9\\&=&(1000-6)1000+9\\&=&994(1000)+9\\&=&994009\end{array}

2) \( 2015^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}2015^{2}&=&(2000+15)^{2}\\&=&2000^{2}+2(2000)15+15^{2}\\&=&2000(2000)+30(2000)+225\\&=&2030(2000)+225\\&=&4060000+225\\&=&4060225\end{array}

3) \(1002^{2}-999^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}1002^{2}-999^{2}&=&(1002-999)(1002+999)\\&=&(3)(2001)\\&=&6003\end{array}

2. if \(x^{2}+y^{2}=43\) and \(4xy=48\) ,calculate the value of

a) \((x+y)^{2}\)
b) \((2x-2y)^{2}\)

โจทย์ข้อนี้คือเขากำหนดค่าของ \(x^{2}+y^{2}=43\) และ \(4xy=48\)  แล้วให้หาค่าของ

a) \((x+y)^{2}\)
b) \((2x-2y)^{2}\) 

เริ่มทำกันเลย

a) \((x+y)^{2}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(x+y)^{2}&=&x^{2}+2(x)(y)+y^{2}\\&=&\color\red{x^{2}+y^{2}}+\color\green{2xy}\\&=&\color\red{43}+\color\green{24}\\&=&67\end{array}