ข้อสอบคณิตเข้าเตรียมอุดม ม.4

ดาวน์โหลด

20. เศษจากการหาร \(16^{101}+8^{101}+4^{101}+2^{101}+1\) ด้วย  \(2^{100}+1\) เท่ากับข้อใด

1. 10
2. 11
3. 12
4. 13

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับ ทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) 

แต่ก่อนที่จะทำ ควรจัดรูปก่อน ใครที่ไม่เคยทำโจทย์แนวนี้ก็ ลองๆอ่านทำความเข้าใจดูนะคับว่ามีขั้นตอนการทำอย่างไร และก็ไปอ่านทฤษฏีบทเศษเหลือด้วย 

จากโจทย์ตัวหารคือ \(2^{100}+1\) 

ผมให้ \(\color\red{2^{100}=x}\) ดังนั้น ตัวหารของเราก็คือ \(x+1\) นั่นเอง ผมพยายามโยงให้เข้าหา ทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) 

ต่อไป ก็เอาตัวตั้งก็คือ \(16^{101}+8^{101}+4^{101}+2^{101}+1\) มาจัดรูป  จัดไปทีละพจน์นะคับจะได้

\(16^{101}=(2^{4})^{101}=(2^{101})^{4}=(2\cdot 2^{100})^{4}=(2\cdot x)^{4}=2^{4}\cdot x^{4}\)

\(8^{101}=(2^{3})^{101}=(2^{101})^{3}=(2\cdot 2^{100})^{3}=(2\cdot x)^{3}=2^{3}\cdot x^{3}\)

\(4^{101}=(2^{2})^{101}=(2^{101})^{2}=(2\cdot 2^{100})^{2}=(2\cdot x)^{2}=2^{2}\cdot x^{2}\)

\(2^{101}=(2\cdot 2^{100})=2\cdot x)\)

ซึ่งเราจะได้ว่าเขาให้เราหารเศษจากการหาร \(2^{4}x^{4}+2^{3}x^{3}+2^{2}x^{2}+2x+1\) ด้วย \(x+1\) นั่นเอง

เราให้

\(P(x)=2^{4}x^{4}+2^{3}x^{3}+2^{2}x^{2}+2x+1\)

ดังนั้นเศษเหลือก็คือ

\begin{array}{lcl}P(-1)&=&2^{4}(-1)^{4}+2^{3}(-1)^{3}+2^{2}(-1)^{2}+2(-1)+1\\&=&16(-1)^{4}+8(-1)^{3}+4(-1)^{2}+2(-1)+1\\&=&16-8+4-2+1\\&=&11\end{array}

24. จงหาผลบวกของเลขโดดจากการคำนวณ \((2^{255}\times 5^{256})-1\)

วิธีทำ ข้อนี้ใครยังไม่เข้าใจโจทย์ ยกตัวอย่างให้เห็น เช่น เราทำการคูณกันระหว่างจำนวนสองจำนวนคือ \(12\times 20=240\) 

ผลลัพธ์คือ \(240\) และผลบวกของเลขโดดที่ได้จากการคำนวณคือ \(2+4+0=6\) ข้อนี้ตอบ \(6\) นั่นเองคับ

ต่อไปมาดูวิธีการทำข้อนี้กันเลย แนวคิดคือ ทำเลขยกกำลังที่โจทย์ให้มา ทำฐานให้เป็น 10 ให้ได้คับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(2^{255}\times 5^{256})-1&=&(2^{255}\times \color\red{5^{255}\times 5^{1}})-1\\&=&\left[(2^{255}\times 5^{255})\times 5^{1}\right]-1\\&=&\left[(2\times 5)^{255}\times 5^{1}\right]-1\\&=&[(10^{255}\times 5^{1})-1\\&=&1\underset{255\quad\text{ตัว}}{\underbrace{000\cdots 0}}\times 5^{1}]-1\\&=&[5\underset{255\quad \text{ตัว}}{\underbrace{000\cdots 0}}]-1\\&=&4\underset{255\quad\text{ตัว}}{\underbrace{999\cdots 9}}\end{array}

ดังนั้นผลบวกของเลขโดดจากการคำนวณคือ \(4+(9\times 255)=4+2295=2299\)