ถ้าหากว่าเรามีรูปสามเหลี่ยม 2 รูป แล้วมีคนมาถามเราว่าสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นเท่ากันทุกประการไหม  วิธีการในการตรวจสอบก็คือนำสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นมาวางทับกันดู ถ้าวางทับกันสนิทพอดี นั่นก็แปลว่าสามเหลี่ยม 2 รูปนั้น เท่ากันทุกประการ  แต่วิธีการตรวจสอบแบบนี้อาจจะยุ่งยาก เสียเวลา ดังนั้นจึงมีวิธีการตรวจสอบอีกแบบคือ  ไปหาว่าสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นมีความสัมพันธ์กันแบบไหน ซึ่งก็จะมีหลายๆแบบคือ

1. สามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.)

ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูปใดๆ มีด้านที่ยาวเท่ากันเป็นคู่ๆ 2 คู่ และมุมที่อยู่ระหว่างด้านที่มันยาวเท่ากันมีขนาดเท่ากัน สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ และสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นมีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.)  ดูรูปประกอบด้านล่าง

จากรูปจะเห็นว่า

\(1. MP=OP\)

\(2. MN=OS\)

\(3. P\widehat{M}N=R\widehat{O}S\)

ถ้ามีเงื่อนไข 3 ข้อนี้คือ มีด้านยาวเท่ากัน 2 คู่ มีมุมที่มีขนาดเท่ากัน 1 คู่ สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการและมีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน (ด.ม.ด.)

ต่อไปมาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดสำหรับเรื่องนี้ครับ

1) จากรูปจงพิสูจน์ว่า \(\triangle KLM \cong \triangle ONM\)

วิธีทำ  จากรูป

\(1. KM=MO\)  เหตุผล โจทย์กำหนดให้

\(2.LM=MN\)   เหตุผล โจทย์กำหนดให้

\(3.K\widehat{M}L=N\widehat{M}O\)  เหตุผล มุมตรงข้ามของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

ดังนั้น จึงได้ว่า \(\triangle KLM \cong \triangle ONM\)  สามเหลี่ยมสองรูปนี้มีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-มุม-ด้าน

2)กำหนด \(\square ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า AC เป็นเส้นทแยงมุม จงพิสูจน์ว่า \(\triangle ADC\cong \triangle CBA\)

วิธีทำ  จากรูป

\(1. AB=DC\)  เหตุผล ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวเท่ากัน

\(2. AD=BC\) เหตุผล ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวเท่ากัน

\(3. A\widehat{D}C=A\widehat{B}C\)  เหตุผล มุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีแต่ละมุมมีขนาดเท่ากับ 90 องศาเท่ากัน

ดังนั้น \(\triangle ADC\cong \triangle CBA\) (ด.ม.ด.)

2. สามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม  (ม.ด.ม.)

ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป ใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากัน 2 คู่ และด้านที่อยู่ระหว่างมุมที่มีขนาดเท่ากันมีความยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ ดังภาพด้านล่างนะคับ

จากรูปจะเห็นว่า

\(1. \widehat{C}=\widehat{O}\)

\(2.\widehat{B}=\widehat{N}\)

\(3. CB=ON\)

ถ้ามีเงื่อนไข 3 ข้อนี้ คือ มีมุมเท่ากัน 2 คู่ มีด้านยาวเท่ากัน 1 คู่ สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการและมีความสัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.)

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับ

1) กำหนด \(PS=OS\) และ \(S\widehat{P}N=S\widehat{O}M\) จงพิสูจน์ว่า \(\triangle SPN \cong \triangle SOM\)

วิธีทำ  จากรูป

\(1. PS=OS\)  เหตุผล  โจทย์กำหนดให้

\(2. S\widehat{P} N =S\widehat{O}M\)  เหตุผล  โจทย์กำหนดให้

\(3. P\widehat{S} O=O\widehat{S}P\) เหตุผล มุมร่วมกัน

ดังนั้น  \(\triangle SPN \cong \triangle SOM\)  โดยสามเหลี่ยมสองรูปนี้มีความสัมพันธ์แบบ มุม-ด้าน-มุม (ม.ด.ม.)

2)  จากรูปที่กำหนดให้ จงพิสูจน์ว่า \(\triangle BDA \cong \triangle BDC\)

วิธีทำ จากรูป

\(1. A\widehat{B}D=C\widehat{B}D\)  เหตุผล  โจทย์กำหนดให้

\(2. A\widehat{D}B=C\widehat{D}B\)  เหตุผล โจทย์กำหนดให้

\(3. BD=BD\)  เหตุผล เป็นด้านร่วมกัน

ดังนั้น \(\triangle BDA \cong \triangle BDC\) (ม.ด.ม.)

3. สามเหลี่ยมที่มีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.)

ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป ใดๆ มีด้านที่มีขนาดเท่ากัน 3 คู่  รูปสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ ดังภาพด้านล่างนะคับ

จากรูป  จะเห็นว่า

\(1. BC=NO\)

\(2. AC=MO\)

\(3. AB=MN\)

ถ้ามีเงื่อนไข 3 ข้อนี้ คือ มีด้านเท่ากัน 3 คู่  สามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการและมีความสัมพันธ์แบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน (ด.ด.ด.)

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเรื่องนี้กันครับผม

1) จากรูป กำหนด \(AD=BC\) และ \(BD=AC\) จงพิสูจน์ว่า \(\triangle BAD\cong \triangle ABC\)

วิธีทำ  จากรูป

\(1. AD=BC\)  เหตุผล โจทย์กำหนดให้

\(2. BD=AC\) เหตุผล  โจทย์กำหนดให้

\(3. AB=AB\)  เหตุผล จะเห็นด้าน \(AB\) เป็นด้านร่วมกันของสามเหลี่ยม BAD และ สามเหลี่ยม ABC ดังนั้นจะยาวเท่ากันเพราะเป็นด้านร่วม

ดั้งนั้น \(\triangle BAD\cong \triangle ABC\) (ด.ด.ด.)