ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรง

2. เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(Y\)  ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป

 เส้นตรงที่ขนานกับแกน \(Y\) มันจะตัดก้บแกน \(X\) ในจุด \((b,0)\) ใดๆ เส้นตรงพวกนี้มันจะสมการเส้นตรงคือ \(x=b\) อย่างเช่นจากรูปข้างบน มันเป็นเส้นตรงที่ขนานแกน \(Y\) และตัดแกน \(X\) ที่จุด \((5,0)\) ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการ \(x=5\) ในเอง

***หมายเหตุ เส้นตรง \(x=5\)  คือเส้นตรงที่ขนานแกน \(Y\) และตัดแกน \(X\) ที่จุด \((5,0)\) เรียก 5 นี้ว่าระยะตัดแกน \(X\)  (x-intercept)

ดังนั้น ถ้าเราไปเจอสมการเส้นตรง 

\(x=7\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(X\) เท่ากับ 7

\(x=\frac{3}{5}\) รู้เลยว่าสมการนี้มีระยะตัดแกน \(X\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\)

3. เส้นตรงที่ได้ขนานทั้งแกน \(X\)หรือแกน \(Y\)  ซึ่งจะมีลักษณะดังรูป

เส้นตรงที่ไม่ได้ขนานทั้งแกน \(X\) หรือแกน \(Y\) เส้นตรงพวกนี้เราสามารถหาสมการของมันได้จาก นิยามของความชันของเส้นตรง ซึ่งก็คือ ถ้ามีจุด \((x,y)\) และ \((x_{2},y_{2})\) อยู่บนเส้นตรง เราสามารถหาความชัน(m)ของเส้นตรงนี้ได้จาก

\[m=\frac{y-y_{2}}{x-x_{2}}\]

เอาสมการความชันนี้มาจัดรูปนิดหนึ่งจะได้

\[y-y_{2}=m(x-x_{2})\]

\[y=mx-mx_{2}+y_{2}\]

แต่เนื่องจาก \(-mx_{2}+y_{2}\) มันคือคงตัวค่าหนึ่ง ก็เลยให้ก้อนนี้มีค่าเท่ากับ \(c\) และได้สมการใหม่คือ

\[y=mx+c\quad \cdots (\square )\]

สมการ \(\square\) นี้เป็นสมการเส้นตรงแบบมาตรฐานครับ และเรียกค่าคงตัว \(c\) นี้ว่าระยะตัดแกน \(Y\)

สรุปนิดหนึ่งที่เขียนมา

สมการเส้นตรงจะมีแบบนี้

1. y=a

2. x=b

3. y=mx+c

จากสมการทั้ง 3 ข้อนี้สามารถแปลงให้อยู่ในรูปทั่วไปของสมการเส้นตรงได้คือ

\[Ax+By+C=0\] 

เมื่อ \(B\) และ \(C\) ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

อ่านกันมามากแล้วเราลองทำแบบฝึกหัดกันเลยดีกว่า

1. ให้ \(t=\{(x,y)|x-2y=4\}\) จงพิจารณาว่าคู่อันดับต่อไปนี้เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ \(t\) หรือไม่

วิธีทำ ข้อนี้ให้เอาคู่อันดับที่โจทย์กำหนดมาให้ ไปแทนค่าในสมการ \(x-2y=4\) ถ้าแทนแล้วสมการเป็นจริงแสดงว่าคู่อันดับนั้นเป็นสมาชิกที่อยู่ในความสัมพันธ์ \(t\)

1) \(1,0)\) 

เอาคู่อันดับ \((1,0)\) ไปแทนในสมการ \(x-2y=4\) จะได้

\begin{array}{lcl}x-2y&=&4\\1-2(0)&=&4\\1&=&4\end{array}

จะเห็นว่าสมการเป็น เท็จ 

ดังนั้น \((1,0)\) ไม่เป็นสมาชิกของความสัมพันธ์ \(t\)

2) \((0,-2)\) 

เอาคู่อันดับ \((0,-2)\) ไปแทนในสมการ \(x-2y=4\) จะได้

\begin{array}{lcl}x-2y&=&4\\0-2(-2)&=&4\\4&=&4\end{array}

จะเห็นว่าสมการเป็น จริง

ดังนั้น \((0,-2)\) เป็นสมาชิกในความสัมพันธ์ \(t\)

2. จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดให้ต่อไปนี้

1) ขนานกับแกน \(X\) และอยู่เหนือแกน \(X\) เป็นระยะทาง \(\frac{3}{7}\) หน่วย

วิธีทำ ข้อนี้อ่านโจทย์รู้เลยคือ เส้นตรงที่ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,\frac{3}{7})\)

ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการเป็น \(y=\frac{3}{7}\) หรือถ้าเขียนเป็นความสัมพันธ์ก็คือ

\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}|y=\frac{3}{7}\}\)

2) ขนากับแกน \(X\) และอยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย

วิธีทำ ข้อนี้ให้จินตนาถึงเส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) ดังนั้นเส้นตรงนี้ต้องตัดกับแกน \(Y\) ที่จุด \((0,a)\) ซึ่งมีสมการเป็น \(y=a\) ซึ่งต้องไปหาว่า \(a\) คือตัวอะไร และโจทย์บอกว่าเส้นตรงนี้ อยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย ดังนั้น เส้นตรงนี้ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,3+4)=(0,7)\) นั่นคือ สมการเส้นตรงนี้คือ \(y=7\) นั้นเอง

แต่ยังไม่จบนะคับ เส้นตรงนี้อยู่ห่างจากจุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วย อาจจะไปทางด้านบนหรือห่างไปทางด้านลางก็ได้ ถ้าห่างไปทางด้านล่าง เส้นตรงนี้จะตัดแกน\(Y\) ที่จุด \((0,3-4)=(0,-1)\) นั่นคือ สมการเส้นตรงนี้คือ \(y=-1\) นั่นเอง

ดังนั้น ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน \(X\) และอยู่ห่างจาก จุด \((0,3)\) เป็นระยะทาง 4 หน่วยคือ 

\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} |y=7\}\) และ

\(\{(x,y)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} |y=-1\}\)

เดี่ยววาดรูปให้ดูคับ

3. จงบอกความชัน ระยะตัดแกน \(X\) (x-intercept) และระยะตัดแกน \(Y\) (y-intercept) ของกราฟของแต่ละสมการต่อไปนี้

แนะวิธีการทำข้อนี้

ถ้าเรามีสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป \(Ax+By+C=0\)

ความชันหรือที่เราใช้สัญลักษณ์แทนด้วย \(m\) หาได้จาก

\[m=-\frac{A}{B}\]

ระยะตัดแกน \(X\) หาได้โดยการให้ \(y=0\) แล้วแก้สมการหาค่า \(x\)

ระยะตัดแกน \(Y\) หาได้โดยการให้ \(x=0\) แล้วแก้สมการหาค่า \(y\)

ตัวอย่างเช่น เรามีสมการเส้นตรง \(2x-3y=7\) 

นำสมการมาจัดรูปให้อยู่ในรูปของ \(Ax+By+C=0\) ก่อน จะได้

\(2x-3y-7=0\)

ดังนั้น \(A=2,\quad B=-3,\quad C=-7\) จึงได้ว่าความชันคือ

\(m=-\frac{A}{B}=-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3}\)

ระยะตัดแกน \(X\) คือ

\begin{array}{lcl}2x-3y-7&=&0\\2x-3(0)-7&=&0\\2x-0&=&7\\x&=&\frac{7}{2}\end{array}

ระยะตัดแกน \(Y\) คือ

\begin{array}{lcl}2x-3y-7&=&0\\2(0)-3y-7&=&0\\y&=&-\frac{7}{3}\end{array}

แค่นี้คับวิธีการทำ

4. จงแสดงว่าเส้นตรง \(3y=2x-6\) ขนานกับเส้นตรง \(y=\frac{2}{3} x+1\)

วิธีทำ เส้นตรงขนานกันคือเส้นตรงที่มีความชันเท่ากัน

นำสมการเส้นตรง \(3y=2x-6\) มาจัดให้อยู่ในรูป \(Ax+By+C=0\) จะได้

\begin{array}{lcl}3y&=&2x-6\\3y-2x+6&=&0\end{array}

ดังนั้น \(A=-2,\quad B=3\) จึงได้ความชันคือ

\(m=-\frac{A}{B}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}\)

สมการเส้นตรงอีกอันคือ \(y=\frac{2}{3} x+1\) จะเห็นว่าสมการเส้นตรงนี้อยู่ในรูปของ

\(y=mx+c\) แล้ว เมื่อเทียบกันจะได้ \(m=\frac{2}{3}\) 

นั่นก็คือ เส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน เพราะมีความชันเท่ากันคือ \(\frac{2}{3}\)