โจทย์ลิมิตของลำดับ พร้อมเฉลย

การหาค่าลิมิตของลำดับ

วันนี้ผมจะพาทุกคนหาค่าลิมิตของลำดับ ซึ่งการหาค่าลิมิตของลำดับนี้ ก่อนอื่นผมอย่างให้ทุกคนไปอ่าน ความรู้พื้นฐานพวกนี้ก่อนครับ

ลิมิตของลำดับ

ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ พื้นที่พวกนี้ก่อนนะครับถึงจะหาค่า ลิมิตของลำดับได้อย่างสบายๆครับ ไปเริ่มทำแบบฝึกหัดเพื่อฝึกปรือฝีมือกันเลยครับทุกคนครับ

1.จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลำดับเพื่อตรวจสอบว่าลำดับในแต่ละข้อเป็นลำดับลู่เข้าหรือลูออก

1) $a_{n}=\frac{8}{3n}$

วิธีทำ การตรวจสอบว่าลำดับนั้นลู่เข้า หรือ ลู่ออก ก็คือไปหาลิมิตนั้นเอง ถ้าลำดับนั้นมีลิมิต แสดงว่าลำดับนั้นลู่เข้า แต่ถ้าลำดับนั้นหาลิมิตไม่ได้ ก็แสดงว่าลำดับนั่นลู่ออกครับ เมื่อเริ่มทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{8}{3n}&=&\frac{8}{3}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&\frac{8}{3}(0)\\&=&0\end{array}

หาลิมิตได้ ดังนั้นลำดับ $a_{n}=\frac{8}{3n}$ เป็นลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

2) $a_{n}=\frac{8^{n}}{7^{n}}$

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ มันก็คือหาลิมิตของ หนึ่งกว่าๆ ยกกำลังมากขี้นเรื่อยๆ ค่าก็จะมากขึ้นเรื่อยๆไม่ลู่เข้าค่ายใดค่าหนึ่งเลย อย่าลืมนะ แปดหารด้วยเจ็ดได้หนึ่งกว่าๆนะ ข้อนี้มองรู้เลยว่าเป็นลำดับลู่ออก

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{8^{n}}{7^{n}}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{8}{7}\right)^{n} \\หาค่าไม่ได้ เพราะ |\frac{8}{7}|>1\end{array}

ดังนั้นลำดับ  $a_{n}=\frac{8^{n}}{7^{n}}$ เป็นลำดับลู่ออกครับ

3) $a_{n}=(-1)^{n}$

วิธีทำ ข้อนี้คิดง่ายๆเลยครับ เป็นอย่างนี้

$a_{1}=(-1)^{1}=-1$

$a_{2}=(-1)^{2}=1$

$a_{3}=(-1)^{3}=-1$

$a_{4}=(-1)^{4}=1$

ซึ่งจะเห็นได้ว่า ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคี่ $a_{n}=-1$

ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนคู่ $a_{n}=1$

นั่นคือลำดับนี้แกว่งไปแกว่งมา เป็นลำดับหลายใจ จะไปหาหนึ่งก็ไม่ไป จะไปหาลบหนึ่งก็ไม่ไป นั่นคือลำดับนี้เป็นลำดับลู่ออกครับ

4) $a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$

วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่ยากครับ ถ้าทำบ่อยจะรู้เองว่าลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า เพราะหาลิมิตได้ครับและลิมิตของมันเท่ากับ $0$ เดี๋ยวหาให้ดูครับ ดูไปพร้อมๆกัน

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}&=&3\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{2})^{n}\\&=&3(0)\\&=&0\end{array}

หาลิมิตได้ ดังนั้นลำดับ $a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ ลู่เข้าครับ

5) $a_{n}=4+\frac{1}{n}$

วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่ยากอีกแล้วครับ ลำดับนี้ลู่เข้าครับ ลองหาลิมิตกันกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4+\frac{1}{n}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4+0\\&=&4\end{array}

หาลิมิตได้ดังนั้นลำดับ  $a_{n}=4+\frac{1}{n}$ เป็นลำดับลู่เข้าครับ

6) $a_{n}=\frac{6n-4}{6n}$

วิธีทำ เริ่มทำเลยนครับใช้ทฤษฎีลิมิตมาช่วยหาจะได้ง่ายครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{6n-4}{6n}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{6n}{6n}-\frac{4}{6n})\\&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\frac{4}{6}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&1-\frac{4}{6}(0)\\&=&1\end{array}

หาลิมิตได้ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับผม

7) $a_{n}=\frac{3n+5}{6}$

วิธีทำ เมื่อ $n$ มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ $a_{n}$ จะเพิ่มขึ้น และไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่งเลย ดังนั้น ลำดับ  $a_{n}=\frac{3n+5}{6}$ เป็นลำดับลู่ออกครับ

8) $a_{n}=\frac{n}{n+1}$

วิธีทำ ข้อนี้ก่อนจะหาลิมิตผมขอจัดรูปของ $a_{n}$ ก่อนนะครับซึ่งจะได้ดังนีั

\begin{array}{lcl}\frac{n}{n+1}&=&\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}\\&=&\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\end{array}

ต่อไปเราก็นำ$a_{n}$ ที่ได้จากการจัดรูปนี้มาหาลิมิตครับ ซึ่งจะเห็นว่าลิมิตมันมีค่าเท่ากับหนึ่งใครที่มองไม่ออกก็ดูตามนี้ครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})}\\&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{1}{1+0}\\&=&1\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

9) $a_{n}=\frac{4+5n}{n^{2}}$

วิธีทำ จัดรูปของ $a_{n}$ ก่อนครับจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{4+5n}{n^{2}}&=&\frac{4}{n^{2}}+\frac{5n}{n^{2}}\\&=&\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n}\end{array}

จัดรูปสวยแล้วก็หาค่าลิมิตครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{n^{2}}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{n}\\&=&4\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}+5\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4(0)+5(0)\\&=&0\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

10) $a_{n}=\frac{2n-1}{3n+1}$

วิธีทำ ก่อนหาลิมิตจัดรูป $a_{n}$ ก่อนครับ

\begin{array}{lcl}\frac{2n-1}{3n+1}&=&\frac{n(2-\frac{1}{n})}{n(3+\frac{1}{n})}\\&=&\frac{(2-\frac{1}{n})}{(3+\frac{1}{n})}\end{array}

หาลิมิตกันต่อเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(2-\frac{1}{n})}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(3+\frac{1}{n})}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}2-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{2-0}{3-0}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}

หาลิมิดได้แสดงว่าลำดับนี้ ลู่เข้าครับ

11) $a_{n}=\frac{3n^{2}-5n}{7n-1}$

วิธีทำ ข้อนี้ดูดีจะเห็นว่า เมื่อ $n$ มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ $a_{n}$ ของลำดับจะเพิ่มขึ้น และไม่เข้าใกล้จำนวนใดจำนวนหนึ่ง ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่ออก

13) $a_{n}=\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}$

วิธีทำ จัดรูปให้สวยงามก่อนที่จะหาลิมิต

\begin{array}{lcl}\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}&=&4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}\end{array}

เริ่มหาลิมิตกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{n}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{n^{2}}\\&=&4-2(0)+3(0)\\&=&4\end{array}

หาลิมิตได้ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าครับ

14) $a_{n}=\frac{3n^{2}-1}{10n-5n^{2}}$

วิธีทำ ก่อนหาลิมิตลองๆจัดรูปก่อนครับผม ก็จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{3n^{2}-1}{10n-5n^{2}}&=&\frac{n^{2}(3-\frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(\frac{10}{n}-5)}\\&=&\frac{3-\frac{1}{n^{2}}}{\frac{10}{n}-5}\end{array}

ดังนั้น ต่อไปเราก็หาลิมิตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3-\frac{1}{n^{2}}}{\frac{10}{n}-5}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{10}{n}-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}5}\\&=&\frac{3-0}{0-5}\\&=&-\frac{3}{5}\end{array}

ลำดับนี้หาลิมิตได้ดังนั้น ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า

15) $a_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องจัดรูปเพราะมองออกเลยว่าลิมิตต้องเป็น 0 แน่ครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}\\&=&0-0\\&=&0\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าครับ

16) $a_{n}=\frac{3^{n+1}}{5^{n+2}}$

วิธีทำ ลองจัดรูปก่อนครับข้อนี้จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{3^{n+1}}{5^{n+2}}&=&\frac{3^{n+1}}{5(5^{n+1})}\\&=&\frac{1}{5}\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}}\\&=&\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\end{array}

ต่อไปก็หาลิมิตครับจากที่จัดรูปน่าจะพอมองออกแล้วนะครับว่าลิมิตเป็นเท่าไร

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}&=&\frac{1}{5}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\\&=&\frac{1}{5}(0)\end{array}

หมายเหตุสำหรับการหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}$ เราใช้ทฤษฎีบทนี้ในการค่าก็ได้ครับ ซึ่งก็คือ

ถ้า$|r|<1$ $| r | < 1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0$

เช่น ในที่นี้ เราจะเห็นว่า $r=\frac{3}{5}$ และ $|\frac{3}{5}|<1$ ดังนั้นลิมิตนี้จึงเท่ากับ $0$

แต่ถ้า

$|r|>1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}$ จะหาค่าไม่ได้ครับ

17. $a_{n}=\frac{2^{n-}+3}{3^{n+2}}$

วิธีทำ จัดรูปให้สวยงามก่อนแล้วค่อยหาลิมิต

\begin{array}{lcl}\frac{2^{n-1}+3}{3^{n+2}}&=&\frac{2^{n-1}}{27\cdot 3^{n-1}}+\frac{3}{3^{n+2}}\\&=&\frac{1}{27}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\frac{1}{3^{n+1}}\end{array}

ต่อไปหาลิมิตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{27}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3^{n+1}}&=&\frac{1}{27}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3^{n-1}}\\&=&\frac{1}{7}(0)+0\\&=&0\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าครับ

18) $a_{n}=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}$

วิธีทำ ก่อนหาลิมิตจัดรูปก่อนครับ ถ้าใครจะรูปเป็นก็ไม่ยากเลยครับ จะได้ดังนี้

\begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}&=&\frac{\sqrt{n}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}\\&=&\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}\end{array}

ต่อไปก็หาค่าลิมิตครับผม แต่หลังจากจัดรูปแล้วน่าจะพอมองออกนะว่าลิมิตมันควรเป็น 1

เริ่มหาลิมิตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\\&=&\frac{1-0}{1+0}\\&=&1\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

19) $a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}$

วิธีทำ ก่อนหาลิมิตจัดรูปก่อนครับจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}&=&\frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4n}\\&=&\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}\end{array}

ต่อไปก็หาลิมิตครับเริ่มกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4n}&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}\\&=&\frac{1}{4}\sqrt{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)}\\&=&\frac{1}{4}\sqrt{1-0}\\&=&\frac{1}{4}\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ

อ่านและทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมตามลิงค์ด้านล่างเลยครับ
ลิมิตของลำดับ

ลิมิตของลำดับ เรามาดูความหมายของลิมิตของลำดับกันครับสำหรับในหัวข้อนี้ ซึ่งลิมิตของลำดับนั้นเป็นสมบัติบางประการที่สำคัญที่ซ่อนอยู่ในลำดับครับ ซึ่งในการพิจารณาหาค่าลิมิตของลำดับจะพิจารณาพจน์ที่ $n$ ของลำดับเมื่อ $n$ มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด

พิจารณาลำดับนี้ดูครับ กำหนดลำดับ $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}$

$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

$a_{n}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{32}$ $\frac{1}{64}$ $\frac{1}{128}$ $\frac{1}{256}$ ...

ปล. เส้นประไม่เกี่ยวกับกราฟนะครับเพียงแต่วาดไว้เพื่อชี้ให้เห็นว่ากราฟหรือว่าจุดสีน้ำเงินมันจะเข้าใกล้ $0$ เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

ซึ่งจากตารางและรูปกราฟข้างบนเราจะเห็นว่า เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จะทำให้ $a_{n}$ ลดลง เช่น

$n=1\rightarrow a_{n}=\frac{1}{2}=0.5$

$n=2\rightarrow a_{n}=\frac{1}{4}=0.25$

$n=3\rightarrow a_{n}=\frac{1}{8}=0.125$

$\vdots$

$n=8\rightarrow a_{n}=\frac{1}{256}=0.00390625$

ซึ่งที่เราจะเห็นว่า เมื่อ $n$ เพื่อขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีสิ้นสุด ค่าของ $a_{n}$ จะลดลงและมีค่าเข้าใกล้ $0$

เราจะกล่าวว่าลำดับ $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}$ มีลิมิตเท่ากับ $0$ ซึ่งเขียนแทนด้วย

\[\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2^{n}}=0\]

เราเรียกลำดับอนันต์ที่มีลิมิตว่าลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

พิจารณาลำดับนี้ $a_{n}=2n-1$

n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

$a_{n}$ 1 3 5 7 9 11 13 15 ...

จากตารางข้างบนจะเห็นว่า เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ $a_{n}$ ก็เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เหมือนกันโดยเป็นเพิ่มแบบไม่เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่งเลย เราเรียกลำดับอนั้นต์แบบนี้ว่า ลำดับลู่ออก(divergent sequence)

พิจารณาลำดับนี้$a_{n}=(-1)^{n+1}$

$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

$a_{n}$ 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ...

จากตารางจะเห็น เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ $a_{n}$ มีได้แค่สองค่าเท่านั้นคือ $1$ กับ $-1$ ก็คือแกว่งไปแกว่งมาระหว่างสองค่านี้เท่านั้นลำดับแบบนี้เราถือว่าไม่มีลิมิตเป็นลำดับลู่ออก และจะเรียกลำดับลู่ออกประเภทนี้ที่ค่าของ $a_{n}$ สลับไปสลับมาว่า ลำดับแกว่งกวัด (oscillating sequence)

ต่อไปมาดูทฤษฏีบทที่สำคัญสำหรับการหาลิมิตครับ

ทบ. 1 ให้ $r$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{r}}=0$ และ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n^{r}$ หาค่าไม่ได้

ทบ.2 ให้ $r$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $|r|<1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0$

ถ้า $|r|>1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}$ หาค่าไม่ได้

ทบ.3 ให้ $a_{n}$ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ $0$ และให้ $m$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ $2$

ถ้า $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=L$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[m]{a_{n}}=\sqrt[m]{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}=\sqrt[m]{L}$

ผมว่าเรามาเริ่มทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับลิมิตกันเลยดีกว่าครับ อ่านมากงง ลองทำแบบฝึกหัดเลยดีกว่า

1. จงเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลำดับลู่ออก

1.$a_{n}=sin\frac{n\pi}{2}$

วิธีทำ มาดูกราฟกันเลยครับ แบบฝึกหัดนี้สามารถใช้โปรแกรม geogebra ทำได้นะครับ แต่อยากให้พยายามทำมือให้ชำนาญก่อนแล้วค่อยใช้โปรแกรมช่วยครับ

ดูจากกราฟ จะเห็นว่าลำดับ $a_{n}=sin\frac{2\pi}{2}$ ลู่ออกครับ

2) $a_{n}=\frac{5}{n+1}$

วิธีทำ ดูจากกราฟจะเห็นว่า เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้นค่าของ $a_{n}$ จะลดลงเรื่อยๆเข้าสู่ $0$ ดังนั้นลำดับนี้ลู่ออกครับ

3) $a_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{n}}$

วิธีทำ จะรูปกราฟด้านล่างนะครับจะเห็นว่า เมื่อ $n$ เพิ่มขึ้น $a_{n}$ มันจะพุ่งเข้าใกล้ $1$ ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้าครับ ถ้าเป็นการหาค่าลิมิต ลิมิตของลำดับนี้จะมีค่าเป็น $1$

สามารถอ่านเพิ่มเติมตามลิงค์ด้านล่างได้อีกครับ เยอะแยะมากมายเลยความรู้
ลิมิตของลำดับอนันต์
วันนี้ตรงกับวันที่ 3 มิถุนายน 2564 ตรงกับวันหยุดแต่ผมไม่เคยหยุดทำงาน เพราะในหัวสมองมันแล่นตลอดหรือภาษาพระเขาเรียกว่าฟุ้งซ่านนั่นเอง ความฟุ้งซ่านนั้นเป็นเรื่องธรรมดา ธรรมชาติ การหยุดความฟุ้งซ่านนั่นหยุดยากต้องอาศัยฌานระดับสูง แต่ในระดับปถุชนคนธรรมดาอย่างเรา ก็แค่ให้รู้ตัวอยู่ว่ากำลังฟุ้งซ่านอยู่นะ มีสติรู้ตัวเองอยู่เสมอว่ากำลังฟุ้งซ๋านแค่นี้ก็พอแล้ว เอาละเรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาค่าลิมิตของลำดับอนันต์กันเถอะ แต่รู้สึกว่าเรื่องเกี่ยวกับลิมิตของลำดับนี้ผมได้เขียนไว้มากหลายแล้ว อย่างไรก็ศึกษาเพิ่มเติมตามลิงค์ด้านล่างนะคับผม
เอาละไปเริ่มทำแบบฝึกหัดกันเลยครับผม ไปแบบฝึกหัดจากหนังสือเรียนของ สสวท. นะคับอย่างไรก็อ่านเพิ่มเติมด้วยครับผม

$1. \quad a_{n}=\frac{8}{3n}$

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8}{3n}&=&\frac{8}{3}\lim\frac{1}{n}\\&=&\frac{8}{3}(0)\\&=&0\end{array}

hint: อย่าลืมนะว่า $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$

ดังนั้นข้อนี้ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

$2.\quad a_{n}=\frac{8^{n}}{7^{n}}$

วิธีทำ ข้อนี้เราใช้ สูตรลิมิต ข้อที่ว่าถ้า $|r|>1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}$ หาค่าไม่ได้ เริ่มทำเลย

และอย่าลืม $\frac{8^{n}}{7^{n}}=\left(\frac{8}{7}\right)^{n}$

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{8}{7}\right)^{n}&=&\color\red{NO\quad LIMIT}\end{array}

ข้อนี้ไม่ลิมิตนะคับเพราะจะเห็นว่า $r=\frac{8}{7}$ และ $|r|=|\frac{8}{7}|>1$ ดังนั้นลำดับนี้ไม่มีลิมิต หรือว่าเป็นลำดับลู่ออก(divergent sequence) นั่นเองครับ
$3. \quad a_{n}=\frac{4^{1-n}}{2^{8-2n}}$

วิธีทำ ข้อนี้เดี่ยวเราลองจัดรูปของลำดับดูครับแล้วจะง่าย

\begin{array}{lcl}\frac{4^{1-n}}{2^{8-2n}}&=&\frac{2^{2(1-n)}}{2^{8-2n}}\\&=&2^{(2-2n)-(8-2n)}\\&=&2^{-6}\\&=&\frac{1}{2^{6}}\\&=&\frac{1}{64}\end{array}

จะเห็นว่าเมื่อเราจัดลำดับเสร็จแล้วปรากฏว่าลำดับนี้คือ $a_{n}=\frac{1}{64}$ นั่นคือ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{64}=\frac{1}{64}\end{array}

ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

$4.\quad a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับ จริงๆแล้วถ้าเราจำพวก สูตรลิมิต ได้มองแป๊ปเดียวได้แล้ว เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}&=&3\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\\&=&3(0)\\&=&0\end{array}

hint: ข้อนี้ใช้ สูตรลิมิต ที่ว่า $|r|<1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n}=0$ ซึ่งจะเห็นว่า $r=\frac{1}{2}$และ $|\frac{1}{2}|<1$ ดังนั้น $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}^{n}=0$

ดังนั้นลำดับข้อนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

$5.\quad a_{n}=4+\frac{1}{n}$

วิธีทำ ข้อนี้มองแล้วตอบได้เลยลู่เข้าแน่นอน เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(4+\frac{1}{n})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4+0\\&=&4\end{array}

เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

$6. \quad a_{n}\frac{6n-4}{6n}$

วิธีทำ ข้อนี้เราจัดรูปลำดับก่อนแล้วค่อยหาลิมิตครับ $\frac{6n-4}{6n}=\frac{6n}{6n}-\frac{4}{6n}=1-\frac{4}{6n}$

เห็นไหมจัดรูปแล้วหาลิมิตจะง่ายขึ้น เริ่มหาลิมิตกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{4}{6n})&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{6n}\\&=&1-0\\&=&1\end{array}

เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence) และลู่เข้าสู่ 1

$7.\quad a_{n}=\frac{3n+5}{6}$

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าลำดับมันเป็นเศษส่วนพหุนาม และดีกรีของตัวส่วนคือ 0 ดีกรีของตัวเศษคือ 1 ถ้าดีกรีของตัวส่วนน้อยกว่าดีกรีของตัวเศษ ลำดับนั้นจะลู่ออกคับ ดังนั้นข้อนี้เป็นลำดับลู่ออก (divergent sequence) หรือเราดูง่ายๆเลย สามมันคูณอยู่กับ n และบวกเพิ่มอีก 5 เมื่อ n เข้าสู่อินฟินิตี้หรือมากขึ้นเรื่อยๆ และมันหารด้วยค่าคงที่คือ 6 ฉะนั้นมันก็ย่อมมากขึ้นเรื่อยๆตาม n ที่มันมากขึ้นเรื่อยๆ มันไม่ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งเลย ก็คือไม่มีลิมิต หรือว่าหาค่าลิมิตไม่ได้นั่นเองครับผม

$8.\quad a_{n}=\frac{n}{n+1}$

วิธีทำ ข้อนี้จัดรูปลำดับแล้วค่อยหาลิมิตคับ $\frac{n}{n+1}=\frac{n}{n(1+\frac{1}{n})}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}$

ต่อไปเริ่มหาลิมิตกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1 }{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{1}{1+0}\\&=&1\end{array}

เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

$9.\quad a_{n}=\frac{4+5n}{n^{2}}$

วิธีทำ ขอนี้เราให้สังเกตนะว่า ดีกรีของตัวส่วนคือ 2 มากกว่าดีกรีของตัวเศษคือ 1 ลองหาลิมิตดูนะ ก่อนจะหาลิมิตลองจัดรูปก่อน โดยวิธีการจัดรูปคือเอา $n^{2}$ หารทุกพจน์เลยก็จะได้ดังนี้คับ

$\frac{4+5n}{n^{2}}=\frac{n^{2}(\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n})}{n^{2}}=\frac{4}{n^{2}}+\frac{5}{n}$

จัดรูปแล้วก็หาลิมิตเลยครับทุกคนน่าจะมองออก แล้วนะว่าลิมิตเท่ากับเท่าไร ถ้ามองไม่ออกก็ตามมาดูเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{n^{2}}+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{n}&=&\displaystyle 4\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}+\displaystyle 5\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\&=&4(0)+5(0)\\&=&0\end{array}

ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

ต่อไปถ้าเราไปเจอลำดับที่อยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนาม แล้วดีกรีของตัวส่วนมากกว่าดีกรีของตัวเศษ แล้วลิมิตของลำดับนั้นจะมีค่าเท่ากับ 0 นะจ๊ะจำไว้เลยจะได้เอาไปใช้

$10. \quad a_{n}=\frac{2n-1}{3n+1}$

วิธีทำ ข้อนี้ลำดับเป็นเศษส่วนพหุนามที่มีดีกรีตัวส่วนเท่ากับดีกรีตัวเศษ ถ้าเป็นแบบลำดับแบบนี้จะเป็นลำดับลู่เข้า วิธีการคือเอาลำดับนี้มาจัดรูปก่อนโดยการเอา $n$ ไปหารทั้งเศษและส่วนครับก็จะได้แบบนี้

$\frac{2n-1}{3n+1}=\frac{n(2-\frac{1}{n}}{n(3+\frac{1}{n}}=\frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n}}$

หลังจากจัดรูปแล้วก็หาลิมิตเลยครับทุกคน

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}2-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}3+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}\\&=&\frac{2-0}{3+0}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

จำไว้เลยนะลิมิตของลำดับที่เป็นเศษส่วนพหุนาม ถ้าเศษส่วนของพหุนามนั้นมีดีกรีตัวส่วนเท่ากับดีกรีตัวเศษลำดับนั้นจะเป็นลำดับลู่เข้าคือหาลิมิตได้และค่าของลิมิตจะไม่ใช่ศูนย์ ก็คือเป็นอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลขศูนย์ ดังนั้นถ้าเขาถามว่าข้อนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก เราก็ตอบได้ทันที่ว่าลู่เข้าเพราะดีกรีของตัวส่วนกับตัวเศษเท่ากันครับ

$11.\quad a_{n}=\frac{3n^{2}-5n}{7n-1}$

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องทำแล้วเพราะลำดับนี้อยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนามดีกรีของตัวส่วนคือ 1 น้อยกว่าดีกรีของตัวเศษคือ 2 ลำดับนี้จะเป็นลำดับลู่ออก หรือถ้าใครลองจัดลำดับแล้วหาลิมิตของลำดับนี้ดู ค่าของลิมิตที่ออกมาจะมีส่วนเป็น 0 เดี่ยวผมจะลองทำให้ดูคร่าวนะจ๊ะ ผมจะเอา $n^{2}$ หารทั้งเศษและส่วนครับจะได้แบบนี้นะ

$\frac{3n^{2}-5n}{7n-1}=\frac{n^{2}(3-\frac{5}{n})}{n^{2}(\frac{7}{n}-\frac{1}{n^{2}})}=\frac{3-\frac{5}{n}}{\frac{7}{n}-\frac{1}{n^{2}}}$

จัดรูปเสร็จแล้วลองหาลิมิตดูจะได้ค่าลิมิตออกมาตัวส่วนเป็น 0

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3-\frac{5}{n}}{\frac{7}{n}-\frac{1}{n^{2}}}&=&\frac{3-0}{0-0}\\&=&\frac{3}{0}\end{array}

$12. \quad a_{n}=\frac{7n^{2}}{5n^{2}-3}$

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นได้ว่าลำดับของเราเป็นเศษส่วนพหุนามที่มีดีกรีตัวส่วนเท่ากับดีกรีของตัวเศษ ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้าแน่ เดี่ยวเราจะมาจัดรูปของลำดับใหม่แล้วก็หาลิมิตกันเลยครับผม

$\frac{7n^{2}}{5n^{2}-3}=\frac{7n^{2}}{n^{2}(5-\frac{3}{n^{2}})}=\frac{7}{5-\frac{3}{n^{2}}}$

จัดรูปแล้วเริ่มหาลิมิตกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{7}{5-\frac{3}{n^{2}}}&=&\frac{7}{5-0}\\&=&\frac{7}{5}\end{array}

ลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า (convergent sequence)

$13.\quad a_{n}=\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}$

วิธีทำ ลำดับนี้อยู่ในรูปเศษส่วนพหุนามที่ดีกรีของตัวส่วนกับดีกรีของตัวเศษเท่ากัน ดังนั้นลำดับนี้เป็นลำดับลู่เข้า

เมื่อเป็นลำดับลู่เข้าต่อไปเราก็หาลิมิตของลำดับกันเลยครับ เอาลำดับมาจัดรูปก่อนโดยการนำ $n^{2}$ ไปหารทุกพจน์ครับ จะได้

$\frac{4n^{2}-2n+3}{n^{2}}=\frac{n^{2}(4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}})}{n^{2}}=4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}$

จัดรูปแล้วก็หาลิมิตเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(4-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}})&=&4-0+0\\&=&4\end{array}

$14. \quad a_{n}=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}$

วิธีทำ ข้อนี้จัดรูปลำดับก่อนนะครับสังเกตทั้งตัวส่วนและตัวเศษมีมีดีกรีเท่ากัน ดังนั้นเอา $\sqrt{n}$ หารทุกพจน์เลยครับจะได้ดังนี้

$\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}=\frac{\sqrt{n}(1-\frac{1}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}$

จัดรูปแล้วก็หาลิมิตต่อเลยครับ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}&=&\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1+\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}\\&=&\frac{1-0}{1+0}\\&=&1\end{array}

ดังนั้นลำดับนี้ลู่เข้า(convergent sequence)

$15.\quad a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}$

วิธีทำ ข้อนี้จำวิธีการทำดีๆนะครับเพราะถ้าการหาลิมิตของลำดับที่ติดรูทจะทำเหมือนกันหมดเลย ก็คือจะทำตัวที่อยู่ข้างในรูทอย่างเช่นข้อนี้ให้เอา $n^{2}$ หารทุกพจน์ที่อยู่ในรูท เลยนะ ก็จะเห็นภาพที่คลี่คลายและสามารถทำต่อได้เอง ไปดูกัน

\begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{n^{2}-1}}{4n}&=&\frac{\sqrt{n^{2}(1-\frac{1}{n^{2}})}}{4n}\\&=&\frac{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4n}\\&=&\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}\end{array}

จัดรูปเสร็จแล้วต่อไปหาลิมิตกันต่อ

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}{4}&=&\frac{\sqrt{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}1-\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2}}}}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}4}\\&=&\frac{\sqrt{1-0}}{4}\\&=&\frac{1}{4}\end{array}

ดังนั้นข้อนี้เป็นลำดับลู่เข้า(convergent sequence)

2. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ ถ้าเป็นจริง จงให้เหตุผล ถ้าเป็นเท็จ จงยกต้วอย่างค้าน

1) ถ้า $a_{n}$ และ $b_{n}$ เป็นลำดับลู่ออก แล้ว $a_{n}+b_{n}$ เป็นลำดับลู่ออก

วิธีทำ ข้อนี้เป็นเท็จแน่นอนครับ เพราะว่าจะเห็นว่า

ถ้าเราให้

$a_{n}=n$ และ $b_{n}=-n$ ซึ่งลำดับทั้งสองนี้ เป็นลำดับลู่ออก แต่ถ้าเราเอาลำดับทั้งสองอันนี้บวกกัน $a_{n}+b_{n}=0$ ซึ่งจะเห็นได้ว่า

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}0=0$

นั่นแสดงว่าลำดับ $a_{n}+b_{n}$ เป็นลำดับลู่เข้า

3.บริษัทแห่งหนึ่งมีงบรายจ่ายของปีแรกอยู่ที่ 2.5 พันล้านบาท แต่เนื่องจากราคาน้ำมันที่สูงขึ้น บริษัทจึงวางแผนที่จะประหยัดงบประมาณโดยปรับลดงบรายจ่ายลง $20\%$ ของปีก่อนหน้านี้

1) จงคำนวณงบรายจ่ายของ 4 ปีแรกหลังจากปรับลดงบ

วิธีทำ ปรับงบรายจ่ายลง 20% นั่นหมายความว่าใช้งบได้เพียง 80% นั่นก็คือ

ปีแรกบริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ $2.5\times 0.8$ พันล้านบาท

และปีที่สองก็ปรับลดอีก 20% ก็คือเอางบปีแรกมาปรับลด 20% หรือก็คือใช้งบได้เพียง 80% ดังนั้น

ปีที่สองบริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ $2.5\times 0.8\times 0.8=2.5(0.8)^{2}$ พันล้านบาท [เอางบรายจ่ายปีแรกมีคูณ 80%หรือก็คือคูณกับ 0.8 นั่นเอง และปีถัดไปก็ทำแบบนี้อีก

ปีที่สามบริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ $2.5(0.8)^{3}$ พันล้านบาท

ปีที่สี่บริษัทนี้มีงบรายจ่ายเท่ากับ $2.5(0.8)^{4}$ พันล้านบาท
เฉลย Pat 1 แคลคูลัส (ดิฟ)
1. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ $f(2x+1)=4x^{2}+14x$ ค่าของ $f\left(f'(f''(2553))\right)$ เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เราต้องหา $f(x)$ ให้เจอ แล้วก็หาอนุพันธ์หรือว่าดิฟก็จะได้คำตอบคับ แต่ก็หา $f(x)$ อาจจะต้องใช้แรงเยอะหน่อย

จาก $f(2x+1)=4x^{2}+14x\quad\cdots (1)$

กำหนดให้ $A=2x+1$ จะได้ $2x=A-1$

เราจะเห็นว่า $4x^{2}=(2x)^{2}=(A-1)^{2}=A^{2}-2A+1$

$14x=7(2x)=7(A-1)=7A-7$

เราเอาค่าที่เราได้ตรงนี้ไปแทนในสมการที่ $(1)$ เลย จะได้

\begin{array}{lcl}f(2x+1)&=&4x^{2}+14x\\f(2x+1)&=&(2x)^{2}+7(2x)\\f(A-1+1)&=&(A-1)^{2}+7(A-1)\\f(A)&=&A^{2}-2A+1+7A-7\\f(A)&=&A^{2}+5A-6\end{array}

ตอนนี้เราได้

$f(A)=A^{2}+5A-6$ ดังนั้น

$f(x)=x^{2}+5x-6$ ซึ่งจะได้ $f(9)=9^{2}+5(9)-6=81+45=120$

$f'(x)=2x+5$ ซึ่ง $f'(2)=2(2)+5=9$

$f''(x)=2$ ซึ่งจะเห็นได้ว่าอนุพันธ์อันดับสองของ $f$ มีค่าเท่ากับ 2 เสมอ ไม่ว่า $x$ จะเป็นอะไรก็ตาม ดังนั้น $f''(2553)=2$ ซึ่งเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(f'(f''(2553)))&=&f(f'(2))\\&=&f(9)\\&=&120\end{array}

2.กำหนดให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $g:R\to R$ เป็นฟังก์ชันกำหนดโดย $g(x)=\frac{1}{2x+3}$ เมื่อ $x\neq -\frac{3}{2}$ ถ้า $f:R\to R$ เป็นฟังก์ชันที่ $(f\circ g)(x)=x$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ แล้ว $f''(\frac{1}{2})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. $-\frac{1}{2}$
2. $\frac{1}{2}$
3. $-8$
4. $8$
วิธีทำ ข้อนี้เนื่องจากโจทย์ให้หา $f''(\frac{1}{2})$ ดังนั้นเราต้องหา $f(x)$ ให้ได้ก่อน

เริ่มจาก

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x\\f(g(x))&=&x\\f(\frac{1}{2x+3})&=&x\quad \cdots (1)\end{array}

ทิ้งสมการที่ $(1)$ ไว้ก่อน มาดูตรงนี้ก่อน

ให้ $A=\frac{1}{2x+3}$ จะได้

\begin{array}{lcl}A&=&\frac{1}{2x+3}\\so\\2x+3&=&\frac{1}{A}\\and\\2x&=&\frac{1}{A}-3\\x&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า

$A=\frac{1}{2x+3}$

$x=\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}$ เอาตรงนี้ไปแทนในสมการที่ $(1)$ จะได้

\begin{array}{lcl}f(\frac{1}{2x+3})&=&x\\f(\frac{1}{\frac{1}{A}})&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\f(A)&=&\frac{1}{2A}-\frac{3}{2}\\so\\f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{3}{2}\\f(x)&=&\frac{x^{-1}}{2}-\frac{3}{2}\\so\\f'(x)&=&-\frac{1}{2}x^{-2}\\so\\f''(x)&=&x^{-3}\\f''(x)&=&\frac{1}{x^{3}}\end{array}

ตอนนี้เราได้ $f''(x)=\frac{1}{x^{3}}$ จึงได้คำตอบว่า

$f''(\frac{1}{2})=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8$

3. ถ้า $f,g$ และ $h$ สอดคล้องกับ $f(1)=g(1)=h(1)=1$ และ $f'(1)=g'(1)=h'(1)=2$ แล้วค่าของ $(fg+h)'(1)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 1
2. 2
3. 4
4. 6
วิธีทำ ข้อนี้ เข้าให้อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $(fg+h)$ ที่ $x=1$ ดังนั้นให้เราเริ่มต้นที่

$(fg+h)(x)$ ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับการดำเนินการของฟังก์ชันนิดหนึ่ง เช่น

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

$fg(x)=f(x)g(x)$

เริ่มทำกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}(fg+h)(x)&=&fg(x)+h(x)\\&=&f(x)g(x)+h(x)\\so\$fg+h)'(x)&=&f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+h'(x)\\then\\(fg+h)'(1)&=&f(1)g'(1)+g(1)f'(1)+h'(1)\\&=&(1)(2)+(1)(2)+2\\&=&6\quad \underline{Ans}\end{array}

4. กำหนดให้ \(f(x)=1+\frac{a}{x}$ และ $g(x)=x^{2}+b$ ถ้า $(f\circ g)(x)=\frac{1}{2}$ และ $f''(-1)=2$ แล้ว $\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. $-\frac{1}{3}$
2. $-\frac{1}{4}$
3. $\frac{1}{4}$
4. $\frac{1}{3}$
วิธีทำ ข้อนี้ยากพอสมควร วิธีการดูว่าข้อไหนยากให้ดูตรงที่โจทย์ให้มา จะเห็นว่าโจทย์ให้ $f(x),g(x),(f\circ g),f''(-1)$ ให้มาเยอะมาก แสดงว่าเราต้องนำพวกนี้ไปใช้เพื่อหาคำตอบ ซึ่งมันต้องใช้ให้ครบถึงจะหาคำตอบได้ มันก็เลยยากและยุ่งด้วย ค่อยๆอ่านดีแล้วกันคับ

เนื่องจากโจทย์ให้หา $\left(\frac{f}{g}\right)'(a+b)$ ดังนั้นเราจะเริ่มต้นจากการหา $(\frac{f}{g})(x)$ก่อนคับ

\begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})(x)&=&\frac{f(x)}{g(x)}\\so\$\frac{f}{g})'(x)&=&\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{[gx)]^{2}}\\then \\(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\end{array}

งานของเราต่อไปคือต้องหา \(a+b$ ให้ได้คับ เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(0)&=&\frac{1}{2}\\f(g(0))&=&\frac{1}{2}\quad\cdots (1)\\because\\ g(x)&=&x^{2}+b\\ so\\g(0)&=&0^{2}+b\\g(0)&=&b\end{array}

ตอนนี้เราได้ $g(0)=b$ เอาไปแทนในสมการที่ $(1)$ จะได้

\begin{array}{lcl}f(g(0))&=&\frac{1}{2}\\f(b)&=&\frac{1}{2}\\because\\f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\so\\f(b)&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{1}{2}&=&1+\frac{a}{b}\\\frac{a}{b}&=&-\frac{1}{2}\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราจะหาอีกสมการเพราะการหา $a$ กับ $b$ ต้องมีอย่างน้อย 2 สมการเพื่อแก้ระบบสมการหาค่าของ $a$ กับ $b$

\begin{array}{lcl}f(x)&=&1+\frac{a}{x}\\f'(x)&=&-ax^{-2}\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\because\\f''(-1)&=&2\\and\\f''(x)&=&2ax^{-3}\\then\\f''(-1)&=&2a(-1)^{-3}\\2&=&-2a\\so\\a&=&-1\end{array}

ตอนนี้เราได้ $a=-1$ ลองเอาค่า $a$ นี้ไปแทนในสมการที่ $(2)$ จะได้ $b=2$

นั่นก็คือ $a+b=-1+2=1$

ตอนนี้เราได้ค่าของ $a$ กับ ค่าของ $b$ แล้ว และได้ค่า $a+b$ แล้ว ต่อไปหาค่าพวกนี้รอไว้ก่อนเพราะได้ใช้แน่นอนคือ

$g(x)=x^{2}+b\to g(1)=1^{2}+2=3$

$g'(x)=2x\to g'(1)=2(1)=2$

$f(x)=1+\frac{a}{x}\to f(1)=1+ (-\frac{1}{1})=0$

$f'(x)=-ax^{-2}\to f'(1)=-(-1)(-1)^{-2}=1$

ต่อไปนำค่าต่างๆที่เราได้ไปแทนใน

\begin{array}{lcl}(\frac{f}{g})'(a+b)&=&\frac{g(a+b)f'(a+b)-f(a+b)g'(a+b)}{[g(a+b)]^{2}}\$\frac{f}{g})'(1)&=&\frac{g(1)f'(1)-f(1)g'(1)}{[g(1)]^{2}}\\&=&\frac{(3)(1)-(0)(2)}{3^{2}}\\&=&\frac{3}{9}\\&=&\frac{1}{3}\quad\underline{Ans}\end{array}

5. ฟังก์ชัน \(f,g,h$ มีสมบัติว่า $(f\circ g)(x)=3x-14$ ,$f(\frac{x+6}{3})=x-2$ , $h(2x-1)=6g(x)+12$ จงหาค่าของ $h'(0)$

วิธีทำ ข้อนี้ ไม่ยากครับ ถ้าหัดทำข้อสอบบ่อยๆ ข้อพวกนี้ถือว่าสบายมากเลย เริ่มทำกันเลย

จาก $f(\frac{x+6}{3})=x-2$

กำหนดให้ $A=\frac{x+6}{3}$ จะได้ $x=3A-6$ จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(\frac{x+6}{3})&=&x-2\\f(A)&=&3A-6-2\\f(A)&=&3A-8\\so\\f(x)&=&3x-8\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า

$f(x)=3x-8$ ดังนั้น

$f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)$ เก็บสมการที่ $(1)$ ไว้ก่อน

ต่อไป จาก $(f\circ g)(x)=3x-14$ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&3x-14\\f(g(x))&=&3x-14\quad\cdots (2)\end{array}

ให้เราสังเกตสมการที่ $(1)$ และ $(2)$ คือ

\[f(g(x))=3g(x)-8\quad\cdots (1)\]

\[f(g(x))=3x-14\quad\cdots (2)\]

จะเห็นได้ว่าสมการที่ $1)$ เท่ากับ $(2)$ จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}3g(x)-8&=&3x-14\\3g(x)&=&3x-14+8\\g(x)&=&\frac{3x-6}{3}\\g(x)&=&x-2\end{array}

ตอนนี้เราได้ $g(x)$ แล้วนะ ซึ่งจะนำไปหาคำตอบได้คือ

จาก $h(2x-1)=6g(x)+12$ จะได้

\begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6g(x)+12\\h(2x-1)&=&6(x-2)+12\\h(2x-1)&=&6x\end{array}

ตอนนี้เราได้ $h(2x-1)=6x$ เราต้องหา $h(x)$ ให้ได้ เริ่มหาเลย

จาก $h(2x-1)=6x$

กำหนดให้ $B=2x-1$ ได้ว่า $x=\frac{B+1}{2}$ นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}h(2x-1)&=&6x\\h(B)&=&6(\frac{B+1}{2})\\h(B)&=&3B+3\\so\\h(x)&=&3x+3\\then\\h'(x)&=&3\end{array}

เราจะเห็นว่า $h'(x)=3$ เสมอ ไม่ว่า $x$ จะเป็นเลขอะไรก็ตาม ดังนั้น $h'(0)=3\quad\underline{Ans}$

6. กำหนดให้ $f(x)=x^{3}+ax+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน และให้ $L_{1}$ และ $L_{2}$ เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่ $x=a$ และ $x=b$ ตามลำดับ ถ้า $L_{1}$ ขนานกับ $L_{2}$ และ $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1$ แล้วค่าของ $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx$ เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ หาความชันของ $f$ ที่จุด$(x,y)$ ใดๆก่อนซึ่งความชันคือ

\[f'(x)=3x^{2}+a\]

ความชันของ $f$ ที่จุด $(x,y)$ ใดๆคือ $f'(x)=3x^{2}+a$

จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง $L_{1}$ สัมผัสเส้นโค้ง $f$ ที่จุด $x=a$ ดังนั้น

ความชันของเส้นตรง $L_{1}$ คือ $3a^{2}+a$

จากโจทย์บอกว่าเส้นตรง $L_{2}$ สัมผัสเส้นโค้ง $f$ ที่จุด $x=b$ ดังนั้น

ความชันของเส้นตรง $L_{2}$ คือ $3b^{2}+a$

เนื่องจาก $L_{1}$ กับ $L_{2}$ ขนานกัน ดังนั้นความชันเท่ากัน จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}3a^{2}+a&=&3b^{2}+a\\so\\a^{2}&=&b^{2}\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ $(1)$ เอาไว้ก่อน ต่อไปมาทางฟังก์ลิมิตที่โจทย์กำหนดให้มาบ้างคือ

\[\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}=1\]

ต่อก่อนจะหาลิมิต เราหาพวก $f(1+h)$ กับ $f(1)$ เก็บไว้ก่อนคับ จาก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\so\\f(1+h)&=&(1+h)^{3}+a(1+h)+b\\f(1+h)&=&h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b\\and\\f(1)&=&1^{3}+a(1)+b\end{array}

ต่อไปหาลิมิตเลยคับจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{f(1+h)-f(1)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{[(1+h)^{3}+a(1+h)+b]-[1^{3}+a(1)+b]}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h^{3}+3h^{2}+3h+1+a+ah+b-1-a-b}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9h}{h(h^{2}+3h+3+a)}&=&1\\\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{9}{h^{2}+3h+3+a}&=&1\\\frac{9}{0^{2}+3(0)+3+a}&=&1\\\frac{9}{3+a}&=&1\\a&=&6\quad\cdots (2)\end{array}

ตอนนี้เราได้สมการที่ $(1)$ และ สมการที่ $(2)$ คือ

\[a^{2}=b^{2}\quad\cdots (1)\]

\[a=6\quad\cdots (2)\]

แทน $a$ ด้วย $6$ ลงในสมการที่ $(1)$ จะได้

\begin{array}6^{2}&=&b^{2}\\36&=&b^{2}\\so\\b&=&\pm 6\end{array}

แต่เนื่องจากโจทย์บอกว่า $a$ กับ $b$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน เราจึงได้ว่า $b$ ต้องเท่ากับ $-6$

นั่นก็คือ จะได้ $f(x)$ แล้วคับก็คือ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+ax+b\\f(x)&=&x^{3}+6x-6\end{array}

จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx&=&\displaystyle\int_{0}^{2}(x^{3}+6x-6)dx\\&=&\frac{x^{4}}{4}+3x^{2}-6x\Big|_{0}^{2}\\&=&4+12-12\\&=&4\quad\underline{Ans}\end{array}

\(n\)	1	2	3	4	5	6	7	8	...
\(a_{n}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{1}{16}\)	\(\frac{1}{32}\)	\(\frac{1}{64}\)	\(\frac{1}{128}\)	\(\frac{1}{256}\)	...

เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1- ม.6

ดาวน์โหลดข้อสอบ - ใบงาน - แบบฝึกหัดวิชาคณิตศาสตร์

เฉลย - ข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์

บทความอ่านนอกเวลา - บทความอื่นๆ

การหาค่าลิมิตของลำดับ

ลิมิตของลำดับ

ลิมิตของลำดับอนันต์

เฉลย Pat 1 แคลคูลัส (ดิฟ)

Latest News/บทความล่าสุด (2)

ดาวน์โหลดหนังสือคณิตศาสตร์ - ข้อสอบแข่งขัน - ข้อสอบเข้ามหาลัย