Main menu

เฉลยข้อสอบ Pat 1 เรื่องเลขยกกำลัง วันนี้มีเวลาพิมพ์ก็เลยพิมพ์เฉลยไว้ให้คนอยากอ่าน อ่านทำความเข้าใจกันครับ เรื่องเลขยกำลังนี้ไม่ได้ยากมาก ถ้าฝึกทำบ่อยๆก็จะรู้แนวทางเองครับว่าควรทำอย่างไร  ก่อนที่จะทำโจทย์พวกเลขยกกำลังอย่างน้อยเราต้องมีความรู้เกี่ยวกับกับ สมบัติเลขยกำลัง  ก็ไปอ่านตามลิงค์ครับ และก็มีเรื่องพวกนี้ครับ 

โจทย์เลขยกกำลัง ม.5

โจทย์เลขยกกำลัง ม.5 (เพิ่มเติม)

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

มีอีกเยอะครับก่อนทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับ Pat 1 ก็ลองอ่านๆหรือว่าค้นหาดูในเว็บก่อนได้ครับ เพราะบางทีต้องมีความรู้พื้นฐานบ้างก่อนจะทำข้อสอบได้ครับ ลองทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ

1. ถ้า  x,y และ z  เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับ \(x+y+z=16 \quad ,  \quad y^{x+z}=x^{2(x+z)}\)  และ  \(3^{y}=3(9^{z})\)  แล้วผลคูณของ \(xyz\)  เท่ากับเท่าใด  

วิธีทำ ข้อนี้เขาให้สมการเรามา 3 สมการครับ แล้วให้เราหาผลคูณของ \(xyz\)  เราต้องเอาสมการแต่ละตัวมาวิเคราะห์เพื่อให้เห็นว่าแต่ละตัวจะนำไปทำอะไรได้บ้างครับ เริ่มทำเลย

\begin{array}{lcl} x+y+z&=&16 \quad \cdots (1)\\ y^{x+z}&=&x^{2(x+z)} \quad \cdots (2)\\3^{y}&=&3(9^{z})\quad \cdots (3)\end{array}

เรามาดูสมการที่ (3) ก่อนเพราะน่าจะง่ายสุดครับ

\begin{array}{lcl}3^{y}&=&3(9^{z})\\ 3^{y}&=&(3)(3)^{2z}\\ 3^{y}&=&3^{1+2z} \\ so \\ y&=&1+2z\quad\cdots (4)\end{array}

ต่อไป ดูสมการที่ (2)  ถ้าเราสังเกตจะเห็นว่าสมการที่ (2) มันมีเลขชี้กำลังเหมือนๆกันนะครับ ฉะนั้นจะการเลยครับ ก็คือยกกำลัง \(\frac{1}{(x+z)} \)  ทั้งสองข้างของสมการเลยครับ จะได้ดังนี้

\begin{array}{lcl}y^{x+z}&=&x^{2(x+z)}\\y^{(x+z)\times \frac{1}{(x+z)}}&=&x^{2(x+z)\times \frac{1}{(x+z)}}\\so \\y&=&x^{2}\quad\cdots (5)\end{array}

แทน \(y\) ด้วย \(x^{2}\) ในสมการที่ (4) จะได้

\begin{array}{lcl}x^{2}&=&1+2z\\2z&=&x^{2}-1\\z&=&\frac{x^{2}-1}{2}\quad \cdots (6)\end{array}

จากสมการที่ (5) และสมการที่ (6)  เอาทั้งสองสมการนี้ไปแทนในสมการที่ (1) จะได้

\begin{array}{lcl}x+y+z&=&16\\x+x^{2}+\frac{x^{2}-1}{2}&=&16\\2x+2x^{2}+x^{2}-1&=&32\\3x^{2}+2x-33&=&0\\(3x+11)(x-3)&=&0\\ so\\x=\frac{-11}{3},\quad x=3\end{array}

แต่โจทย์บอกว่า \(x,y,z\) เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้นเราก็ใช้ได้แค่ \(x=3\)  เท่านั้นครับ  ต่อไปก็หาค่า \(y\) กับ \(z\) บ้างครับ

จาก 

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}\\y&=&3^{2}\\y&=&9\end{array}

และจาก

\begin{array}{lcl}z&=&\frac{x^{2}-1}{2}\\z&=&\frac{3^{2}-1}{2}\\z&=&4\end{array}

และตอนนี้เราก็ได้ \(x=3,\quad y=9,\quad z=4\)  ดังนั้น

\begin{array}{lcl}xyz&=&(3)(4)(9)\\&=&108\quad \underline{Ans}\end{array}


2. กำหนด \(a=2^{48},\quad b=3^{36}\) และ \(c=5^{24}\)  จงเรียงลำดับของ \(a,b,c\) จากน้อยไปหามาก

วิธีทำ

เวลาเราจะนำเลขยกกำลังมาเปรียบเทียบกันเนียะ เราต้องทำฐานให้มันเท่ากันก่อน แต่ข้อนี้ทำอย่างไรฐานมันก็ไม่เท่ากันแน่นอน แต่ถ้ามองดูดีๆจะเห็นว่า เลขชี้กำลังที่โจทย์ให้มาคือ 48 ,36 ,24 จะเห็นว่าเลขพวกนี้มันมี ค.ร.น คือ 12 ดังนั้นข้อนี้เราสามารถทำเป็นเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันได้ครับ แล้วค่อยเปรียบเทียบกัน กล่าวคือ

\begin{array}{lcl}a&=&2^{48}\\&=&2^{4\times 12}\\&=&16^{12}\\\\b&=&3^{36}\\&=&3^{3\times 12}\\&=&27^{12}\\\\c&=&5^{24}\\&=&5^{2\times 12}\\&=&25^{12}\end{array}

ซึ่งตอนนี้เราน่าจะเห็นได้ชัดแล้วว่า อะไรมากสุด อะไรน้อยสุด โจทย์ให้เราเรียงจากน้อยไปหามากก็จะได้

\(a<c<b \quad\underline{Ans}\)


3. กำหนดให้ \(A\) แทนเซตคำตอบของสมการ \(3^{(1+2x)}+9^{(2-x)}=244\)  แล้วเซต \(A\)  เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้

  1. (-1,4)
  2. (-2,0.5)
  3. (0,5)
  4. (-3,0)

วิธีทำ   หาเซตคำตอบของ \(A\)  เลยครับผมจะได้

\begin{array}{lcl}3^{(1+2x)}+9^{(2-x)}&=&244\\(3)(3)^{2x}+(3^{2})^{(2-x)}&=&244\\3\cdot 3^{2x}+3^{(4-2x)}&=&244\\3\cdot 3^{2x}+3\cdot 3^{-2x}&=&244\\3\cdot 3^{2x}+\frac{3^{4}}{3^{2x}}&=&244\end{array}

กำหนดให้  \(B=3^{2x}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}3B+\frac{3^{4}}{B}&=&244\\3B^{2}+3^{4}&=&244B\\3B^{2}-244B+81&=&0\\(3B-1)(B-81)&=&0\end{array}

ดังนั้น 

\(B=\frac{1}{3}\) 

แทนค่ากลับจะได้

\begin{array}{lcl}3^{2x}&=&\frac{1}{3}\\3^{2x}&=&3^{-1} \\ so\\2x&=&-1\\x&=&\frac{-1}{2}\end{array}

\(B=81\)

แทนค่ากลับจะได้

\begin{array}{lcl}3^{2x}&=&81\\3^{2x}&=&3^{4}\\so \\ 2x&=&4\\x&=&2\end{array}

ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(\frac{-1}{2}\) และ \(2\)  เป็นสับเซตในช่วง \((-1,4)\)  ครับ 


4. กำหนดให้ R แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(B=\{x\in R|2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}=15\}\) แล้วผลบวกกำลังสองของสมาชิกใน \(B\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ยากครับแต่ต้องรู้เทคนิคและวิธีการทำ ข้อนี้ถ้าใครฝึกทำบ่อยๆ ก็จะรู้เลยว่าควรทำอย่างไร ไม่ใช่ยกกำลังสองทั้งสองข้างแน่นอน แต่ใช้วิธีการแทนค่าเอาครับ สังเกตนะตัวที่อยู่ในรูท ก็คือ \(x^{2}-x+3\)  จะมีความคล้ายตัวที่อยู่นอกรูทก็คือ \(2x^{2}-2x+9\)

ดูดีๆนะทั้งสองก้อนที่หยิบมาให้ดูมันคล้ายกันก็คือสามารถปรับเปลี่ยนหาตัวมาคูณให้มันเท่ากันได้  ทำเลยครับใช้วิธีการแทนค่าครับ

กำหนดให้

\begin{array}{lcl}A&=&\sqrt{x^{2}-x+3}\\A^{2}&=&x^{2}-x+3\end{array}

ต่อไปเราก็ทำ \(2x^{2}-2x+9\) ให้อยู่ในรูปของ \(A\) บ้างครับ

จาก

\begin{array}{lcl}A^{2}&=&x^{2}-x+3\\2A^{2}&=&2x^{2}-2x+6\\2A^{2}+3&=&2x^{2}-2x+6+3\\2A^{2}+3&=&2x^{2}-2x+9\end{array}

ดังนั้น

\(2x^{2}-2x+9\) ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปของ \(A\)  ก็คือ \(2A^{2}+3\) นั่นเองครับ

ต่อไปก็เอาไปแทนค่าในโจทย์ครับเพื่อแก้สมการต่อไปครับ

\begin{array}{lcl}2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}&=&15\\2A^{2}+3-2A&=&15\\2A^{2}-2A-12&=&0\\A^{2}-A-3&=&0\\(A-3)(A+2)&=&0\end{array}

ดังนั้น

\(A=3,-2\)

แต่เนื่องจาก \(A=\sqrt{x^{2}-x+3}\geq 0\) เสมอ ดังนั้น \(A=-2\)  จึงเป็นไปไม่ได้ ก็เหลือแค่

\(A=3\)

ต่อไปแทนค่ากลับเพื่อหาค่าของ \(x\)ครับ

\begin{array}{lcl}A&=&3\\\sqrt{x^{2}-x+3}&=&3\\x^{2}-x+3&=&9\\x^{2}-x-6&=&0\\(x-3)(x+2)&=&0\end{array}

ดังนั้น

\(x=3,-2\) 

นำคำตอบที่เราได้นี้ไปตรวจสอบคำตอบอีกทีหนึ่งนะครับซึ่งผมจะตรวจคำตอบให้ดูครับ

แทน x ด้วย 3  ในสมการ   \(2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}=15\)  จะได้

\begin{array}{lcl}2(3)^{2}-2(3)+9-2\sqrt{(3)^{2}-3+3}&=&15\\18-6+9-6&=&15\\15&=&15\end{array}

สมการเป็นจริง  ต่อไปตรวจสอบอีกคำตอบหนึ่ง

แทน x ด้วย -2 ในสมการ   \(2x^{2}-2x+9-2\sqrt{x^{2}-x+3}=15\}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}2(-2)^{2}-2(-2)+9-2\sqrt{(-2)^{2}-(-2)+3}&=&15\\8+4+9-2(3)&=&15\\21-6&=&15\\15&=&15\end{array}

สมการเป็นจริงครับ  ดังนั้น

คำตอบคือ \(x=3,-2\)  นั่นคือ \(B=\{3,-2\}\) แต่โจทย์บอกว่าให้หาผลบวกของกำลังสองของสมาชิกในเซต \(B\) ดังนั้นคำตอบคือ \(3^{2}+(-2)^{2}=13\)


5. ถ้า \(A=\{x\in R|\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{7x+1}\}\) เมื่อ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง แล้วผลบวกของสมาชิกใน \(A\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  ข้อนี้ไม่ต้องใช้เทคนิคอะไรมากมายครับ แค่ยกกำลังจนกว่าเครื่องหมายรูทจะหายไปหมดและแก้สมการต่อจนกว่าจะหาค่า \(x\)ได้ครับ มาเริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-1}&=&\sqrt{7x+1}\\(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-1})^{2}&=&(\sqrt{7x+1})^{2}\\(3x+1)+2\cdot\sqrt{3x+1}\cdot\sqrt{x-1}+(x-1)&=&7x+1\\4x+2\sqrt{3x+1}\sqrt{x-1}&=&7x+1\\2\sqrt{3x+1}\sqrt{x-1}&=&3x+1\\(2\sqrt{3x+1}\sqrt{x-1})^{2}&=&(3x+1)^{2}\\4(3x+1)(x-1)&=&(3x+1)(3x+1)\\4(x-1)&=&3x+1\\4x-4&=&3x+1\\x&=&5\end{array}

ต้องตรวจสอบคำตอบ แต่นะที่นี้ผมไม่ตรวจสอบให้ดูนะคับ ดังนั้นเซต \(A\) มีสมาชิกตัวเดียวคือ \(5\) หรือก็คือ \(A=\{5\}\) ดังนั้นข้อนี้เขาให้หาผลบวกของสมาชิกในเซต \(A\) คำตอบคือ \(5\) นั่นเองครับผม


6. ให้ \(A\) เป็นเซตคำตอบของสมการ \(\sqrt{3x+2+2\sqrt{3x+1}}+\sqrt{3x+10+6\sqrt{3x+1}}=14\) และให้

\(B\) เป็นเซตคำตอบของสมการ \(2x^{2}-6x+11+2\sqrt{x^{2}-3x+5}=25\) ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต \(A\cup B\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ต้องออกแรงเยอะหน่อยเพราะต้องแก้สมการเพื่อหาสมาชิกในเซต \(A\) และก็แก้สมการหาสมาชิกในเซต \(B\) มาเริ่มกันเลยครับผม

หาสมาชิกในเซต \(A\) ก่อนครับผม

กำหนดให้  \(m=\sqrt{3x+1}\)

จะได้

\(m^{2}=3x+1\) 

เอา \(1\) มาบวกเข้าทั้งสองข้างของสมการ จะได้

\(m^{2}+1=3x+2\) 

เอา \(8\) มาบวกเข้าทั้งสองข้างของสมการ จะได้ว่า

\(m^{2}+9=3x+10\)  

ให้ทุกคนลองคิดตามเองนะครับว่าทำไมผมถึงเอา \(1\) กับ \(8\) มาบวกเข้ากับสมการที่ \((1)\) และสมการที่ \((2)\) 

เอาละมาเริ่มแก้สมการกันเลย ดูดีๆนะคับผม

\begin{array}{lcl}\sqrt{3x+2+2\sqrt{3x+1}}+\sqrt{3x+10+6\sqrt{3x+1}}&=&14\\ \sqrt{m^{2}+1+2m}+\sqrt{m^{2}+9+6m}&=&14\\\sqrt{(m+1)(m+1)}+\sqrt{(m+3)(m+3)}&=&14\\m+1+m+3&=&14\\2m+4&=&14\\m&=&5\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(m=5\) แทนค่ากลับเพื่อหาค่า \(x\) ครับจะได้

\begin{array}{lcl}m&=&5\\\sqrt{3x+1}&=&5\\(\sqrt{3x+1})^{2}&=&5^{2}\\3x+1&=&25\\x&=&8\end{array}

ต้องตรวจคำตอบก่อนนะครับ แต่ผมตรวจให้แล้ว \(8\) เป็นคำตอบของสมการนั่นคือ \(A=\{8\}\)

ต่อไปหาสมาชิกของเซต \(B\)

จากสมการ \(2x^{2}-6x+11+2\sqrt{x^{2}-3x+5}=25\)  

ผมกำหนดให้ \(n=\sqrt{x^{2}-3x+5}\)

\(n^{2}=x^{2}-3x+5\)

ต่อไปผมเอา \(2\) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการจะได้

\(2n^{2}=2x^{2}-6x+10\)

\(2n^{2}-10=2x^{2}-6x\)

ทำไมผมถึงเอา \(2\) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการ อันนี้คิดเอาเองนะครับ

เรามาเริ่มแก้สมการกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}2x^{2}-6x+11+2\sqrt{x^{2}-3x+5}&=&25\\2n^{2}-10+11+2n&=&25\\2n^{2}+2n+1&=&25\\2n^{2}+2n-24&=&0\\n^{2}+n-12&=&0\\(n+4)(n-3)&=&0\end{array}

ดังนั้น \(n=-4,3\)

แต่เนื่องจาก \(n=\sqrt{x^{2}-3x+5}\) ซึ่ง \(n\geq 0\) เสมอ ดังนั้น \(n=-4\) อันนี้ไม่จริงใช้ไม่ได้

จึงพิจารณาเฉพาะ \(n=3\) เท่านั้น

แทนค่ากลับเพื่อหาค่า \(x\) กันเลยครับ จะได้

\begin{array}{lcl}n&=&3\\\sqrt{x^{2}-3x+5}&=&3\\x^{2}-3x+5&=&9\\x^{2}-3x-4&=&0\\(x-4)(x+1)&=&0\end{array}

ดังนั้น \(x=4,-1\)

ซึ่งต้องนำคำตอบนี้ไปตรวจสอบคำตอบก่อนนะครับ แต่ผมตรวจให้แล้วใช้ได้ทั้งคู่เลย นั่นคือสมาชิกของเซต \(B\) คือ \(2,1\) ถ้าเขียนให้ดีๆหน่อย \(B=\{4,-1\}\)

จะได้ว่า \(A\cup B=\{4,-1,8\}\)

ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต \(A\cup B\) เท่ากับ \(4+(-1)+8=11\) ตอบ

 

We have 78 guests and no members online