71.กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันพหุนามกำลังสาม ซึ่ง \(f(0)=1=f(1)\) ถ้า \(f^{\prime}(0)=1\) และ\(\displaystyle_{-1}^{1} f(x)dx=6\) แล้ว \(f(-1)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -7
2. -1
3. 13
4. 15

วิธีทำ  ขั้นตอนแรกเราต้องกำหนดให้พหุนามกำลังสามขึ้นมาก่อนก็คือ

\[f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\]

เมื่อ \(a,b,c,d\) คือค่าคงตัว

ต่อไปเราก็หาค่าคงตัวก็คือหาค่า \(a,b,c,d\) ก็หาจากสิ่งที่โจทย์ให้มานั่นแหละไม่ยากมากเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f^{\prime}(x)&=&3ax^{2}+2bx+c\\f^{\prime}(0)=1\\so\\f^{\prime}(0)&=&0+0+c\\1&=&c\\\color{red}{c}&=&1\end{array}

ต่อไปหาค่า \(d\)

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(0)=1\\so\\f(0)&=&0+0+0+d\\1&=&d\\\color{green}{d}&=&1\end{array}

ต่อไปหา \(a,b\) ต่อไปอีก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(1)=1\\so\\f(1)&=&a+b+c+d\\c=1,d=1\\so\\f(1)&=&a+b+1+1\\1&=&a+b+2\\\color{blue}{a+b}&=&-1\end{array}

หา \(b\) ต่ออีก

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d \quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+cx+d\quad dx&=&6\\\displaystyle\int_{-1}^{1}ax^{3}+bx^{2}+x+1\quad dx&=&6\\\frac{ax^{4}}{4}+\frac{bx^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x\quad |_{-1}^{1} &=&6\\\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}+1\right)-\left(\frac{a}{4}-\frac{b}{3}+\frac{1}{2}-1\right)&=&6\\\frac{2b}{3}+2&=&6\\b&=&\frac{12}{2}\\b&=&6\end{array}

จาก \(a+b=-1\) และ\(b=6\) ดังนั้นจะได้ \(a+6=-1\) จึงได้ว่า \(a=-7\)  

ณ ตอนนี้เราได้ว่า

\(a=-7\)

\(b=6\)

\(c=1\)

\(d=1\)

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&ax^{3}+bx^{2}+cx+d\\f(x)&=&-7x^{3}+6x^{2}+x+1\\so\\f(-1)&=&7+6-1+1\\f(-1)&=&13\quad\underline{Ans}\end{array}

วันนี้ผมจะพาทำแบบฝึกหัดอินทิเกรตแบบจำกัดเขตครับค่อยๆอ่านทำความเข้าใจนะผมจะเฉลยแบบฝึกหัดให้ดูบางข้อ แต่ก่อนที่จะอ่านบทความนี้ให้ไปอ่านการอินทิเกรตแบบไม่จำกัดเขตก่อนและก็ไปดูสูตรเกี่ยวกับการอินทิเกรตก่อนคับ ตามลิงค์นี้เลย อินทิเกรต  สูตรอินทิเกรต ม.6  ปฏิยานุพันธ์,ปริพันธ์,การอินทิเกรต  เอาละต่อไปเราไปดูการอินทิเกรตแบบจำกัดเขตกันเลย ผมจะขอเอาตัวอย่างแบบฝึกหัดอินทิเกรตจำกัดเขตแค่บางข้อมาทำให้ดูเท่านั้นครับ เผื่อใครเรียนในห้องไม่ทัน ไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีที่อ่านทบทวนครับ

จงหาปริพันธ์จำกัดเขตต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

ก่อนอื่นเรามารู้จักทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสก่อนครับ เป็นดังต่อไปนี้

ทฤฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส (The Fundamental Theorem of Calculus)

        กำหนด \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \([a,b]\)  ถ้า \(F\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) แล้ว \(\int_{a}^{b}dx=F(b)-F(a)\)

หมายเหตุ  จากทฤฏีบทหลักมูลของแคลคูลัส เขียนแทน \(F(b)-F(a)\) ด้วยสัญลักษณ์ \(F(x) |_{a}^{b}\)

               ถ้า \(F^{\prime}(x)=f(x)\) ดังนั้น \(\int_{a}^{b}dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)\)

1. \(\displaystyle\int_{3}^{4}{(x^{3}+3)}dx\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{3}^{4}{(x^{3}+3)}dx&=&\left(\frac{x^{4}}{4}+3x\right)\displaystyle\Big| _{3}^{4}\\&=&\left(\frac{256}{4}+12\right)-\left(\frac{81}{4}+9\right)\\&=&\frac{304}{4}-\frac{117}{4}\\&=&\frac{187}{4}\end{array}

2. \(\displaystyle\int_{1}^{3}{(x^{2}-2x+3)}dx\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{1}^{3}{(x^{2}-2x+3)}dx&=&\left(\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+3x\right)\Big|_{1}^{3}\\&=&(9-9+9)-\left(\frac{1}{3}-1+3\right)\\&=&9-\frac{7}{3}\\&=&\frac{20}{3}\end{array}

3.\(\displaystyle\int_{-1}^{1}{(4x^{3}+2x)}dx\)

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{-1}^{1}{(4x^{3}+2x)}dx&=&(x^{4}+x^{2})\Big|_{-1}^{1}\\&=&(1+1)-(1+1)\\&=&0\end{array}