การจัดหมู่(Combination)

วิธีทำ ข้อนี้ใช้การจัดหมู่ เพราะว่า ถ้ามีจุด A และ B อยู่บนวงกลม เราลากเส้นเชื่อม AB หรือ BA มันก็คือเส้นเชื่อมอันเดียวกันอย่าหลงไปใช้การเรียงสับเปลี่ยนเด็ดขาด เขาถามว่ามีทั้งหมดกี่เส้น มันจะเกิดเส้นเชื่อมได้ต้องเลือกจุดสองจุดในวงกลมมาแล้วลากเส้นเชื่อมกัน ดังข้อนี้ คือ หา  \(C_{10,2}\)  มีสิ่งของคือจุดต่างกัน 10 จุดเลือกมาคราวละก็คือเลือกจุดมาคราวละ 2 จุดเพื่อสร้างเส้นเชื่อม จะได้จำนวนกี่เส้นเชื่อมมาคำนวณกันครับ

\(C_{10,2}=\frac{10!}{(10-2)!2!}=45 \)         เส้น

ตัวอย่างที่ 2 ในการเลือกกรรมการ 3 คน จากสมาชิกสโมสร 20 คน ซึ่งมีสมชายเป็นสมาชิกสโมสรแห่งนี้ จะมีวิธีคัดเลือกได้กี่วิธี โดยที่

1. สมชายต้องได้รับการคัดเลือกให้เป็นกรรมการ

2. ใน 20 คน มี 2 คน เป็นสามีภรรยากัน จะถูกเลือกเป็นกรรมการทั้ง 2 คนไม่ได้

วิธีทำ  1. สมชายต้องได้รับการคัดเลือกให้เป็นกรรมการ  ก่อนทำโจทย์ผมขอแนะนำว่าถ้าไปเจอโจทย์ที่บอกว่าเลือก กรรมการ เลือกคนมาเป็นกรรมการหรือมาทำหน้าที่อะไรสักอย่าง ให้สงสัยได้เลยว่าต้องใช้การจัดหมู่แน่นอน

ข้อนี้เขาบอกว่าสมชายต้องรับเลือกเป็นกรรมการ  ก็คือพูดง่ายๆตอนนี้สมชายเป็นกรรมการไปแล้ว ดังนั้นจำนวนวิธีในคัดเลือกในข้อนี้คือ \(C_{19,2}\)  สมชายเป็นกรรมการแล้วก็เหลือแค่ให้เลือก 19 คน และเลือกกรรมการได้เพียง 2 คนเพราะกรรมการอีกหนึ่งคนคือสมชาย

  \(C_{19,2}=\frac{19!}{(19-2)!2!}=171\)          วิธี

2. ใน 20 คน มี 2 คน เป็นสามีภรรยากัน จะถูกเลือกเป็นกรรมการทั้ง 2 คนไม่ได้

ข้อนี้ต้องแบ่งกรณีในการคิด

กรณีที่ 1  สามีเป็นกรรมการ  แสดงว่าภรรยาต้องไม่เป็นกรรมการ

สามีได้เป็นกรรมการแล้ว 1 คนต้องเลือกอีก 2 คนมาเป็นกรรมการให้ครบ 3 คนในสองคนที่เลือกมาต้องไม่เลือกภรรยา

จะได้จำนวนวิธี \(C_{18,2}=\frac{18!}{(18-2)!2!}=153\)        วิธี ที่ต้องเหลือ 18  เพราะต้องลบออก 2 คนคือลบสามีออกเพราะสามีเป็นกรรมการแล้ว แลฟะลบภรรยาออกด้วยเพราะสามีเป็นกรรมการภรรยาต้องไม่เป็นกรรมการตามเงื่อนไขโจทย์

กรณีที่ 2   ภรรยาเป็นกรรมการ แสดงว่าสามีไม่เป็นกรรมการ ก็จะได้คำตอบเหมือนกับกรณีที่ 1  คือ 153 วิธีจริงไหม

กรณีที่ 3  ทั้งสามีและภรรยาไม่เป็นกรรมการจำนวนวิธีคือ \(C_{18,3}=\frac{18!}{(18-3)!3!}=816 \)         วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด คือ \(153+153+816=1112\)           วิธี

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดจุด 6 จุด บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง จงหาจำนวนวิธีที่จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมบรรจุภายในวงกลมโดยที่จุดเหล่านี้เป็นจุดยอดมุม

ดูภาพประกอบตัวอย่างนะครับ ลองคิดเล่นๆถ้ามีจุด 6 จุดบนวงกลม เราจะสามารถ สร้างรูป 7 เหลี่ยมได้ไหม คำตอบคือไม่ได้แน่นอน  สร้างรูปหกเหลี่ยมได้ไหม คำตอบง่ายๆคือได้ แล้่วได้กี่รูป ก็ได้ 1 รูปนะซิ ง่ายๆ สร้างรูปห้าเหลี่ยมได้ไหม คำตอบคือได้ แล้วได้กี่รูป มีวิธีการคำนวณไหม

การทำโจทย์ข้อนี้คือ ต้องแบ่งกรณีในการคิด คือ

กรณีที่ 1จำนวนวิธีการสร้างรูปหกเหลี่ยม แน่นอนสร้างได้เพียงหนึ่งรูป หรือก็คือต้องเลือกจุดมา 6 จุดเพื่อมาสร้างจากจุดทึ่แตกต่างกันทั้งหมด 6 จุด ก็จะได้ \(C_{6,6}=\frac{6!}{(6-6)!6!}=1\)    รูป

กรณีที่ 2 จำนวนวิธีสร้างรูปห้าเหลี่ยม แสดงว่าต้องเลือกจุดมา 5 จุดจาก 6 จุด

ก็จะได้ \(C_{6,5}=\frac{6!}{(6-5)!5!}=6 \)    รูป

กรณีที่ 3  จำนวนวิธีสร้างรูปสี่เหลี่ยม

ก็จะได้ \(C_{6,4}=\frac{6!}{(6-4)!4!}=15 \)      รูป

กรณีที่ 4  จำนวนวิธีสร้างรูปสามเหลี่ยม

ก็จะได้ \(C_{6,3}=\frac{6!}{(6-3)!3!}=20 \)       รูป

***รูปสองเหลี่ยมไม่มีนะ หนึ่งเหลี่ยมก็ไม่มี 555

ดังจะสร้างรูปหลายเหลี่ยมได้ทั้งหมด \(1+6+15+20=42\)         รูป

ตัอย่างที่ 4 ถ้าต้องการเลือกผลไม้ 3 ชนิด จากผลไม้ 6 ชนิด คือ ส้ม  ชมพู่  มังคุด ละมุด มะม่วง และน้อยหน่า โดยมีข้อแม้ว่า สำหรับมังคุดกับละมุดนั้น ถ้าเลือกจะต้องเลือกทั้งสองชนิด จะมีวิธีเลือกทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าเราลองวิเคราะห์เล่นๆ จะเห็นว่า ถ้าเลือกซื้อมังคุดจะต้องซื้อละมุดด้วยและต้องเลือกผลไม้อื่นอีก 1 ชนิดเพื่อให้ครบ 3 ชนิด

หรือ   เราไม่ชอบละมุด มังคุด เราก็ต้องเลือกซื้อผลไม้อย่างอื่น 3 ชนิดจาก 4  ชนิด(หักมังคุดและละมุดออก)

ฉะนั้นเราแบ่งกรณีในการคิดข้อนี้ออกเป็น 2  กรณี

กรณีที่ 1  กรณีเลือกซื้อมังคุดก็ต้องเลือกซื้อละมุดด้วย และต้องเลือกผลไม้อื่นมาอีก 1 ชนิด ก็จะได้จำนวนวิธีในการเลือก ทั้งหมด  4 วิธี งงไหม ก็คือง่ายๆเลย

มังคุด ละมุด  ส้ม

มังคุด ละมุด  ชมพู่

มังคุด ละมุด มะม่วง

มังคุด ละมุด  น้อยหน่า

หรือใช้วิธีการคำนวณก็ได้ คือ \(C_{4,1}=\frac{4!}{(4-1)!1!}=4\)        วิธี   จริงไม่ต้องคำนวณหรอกคิดในใจสนุกกว่า

กรณีที่ 2  ไม่เลือกซื้อมังคุด ละมุด

ก็จะเลือกซื้อผลไม้ 3 ชนิดจากผลไม้ที่เหลือ 4 ชนิด (หักละมุดมังคุดออก)

\(C_{4,3}=\frac{4!}{(4-3)!3!}=4\)       วิธี

ดังนั้น  จะมีวิธีในเลือกซื้อทั้งหมด  4+4 =  8    วิธี

ตัวอย่างที่ 5 จำนวนวิธีที่จะเลือกผู้แทน 3 คน จากลุ่มคน 9 คน ซึ่งประกอบด้วยชาย 4 คนและหญิง 5 คน  เข้าร่วมในคณะกรรมการชุดหนึ่ง โดยต้องมีชายอย่างน้อย 1 คน จะมีวิธีการเลือกทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ เขาบอกว่าจะต้องมีชายอย่างน้อย 1 คนแสดงว่าต้องแบ่งกรณีในการคิดคือ

กรณีที่ 1 กรณีที่มีชายเป็นกรรมการ  1  คน ก็คือเลือกชาย 1คนจาก 4 คนและเลือกหญิง 2 คนจาก 5 คน ก็จะได้จำนวนวิธีคือ

\(\binom{4}{1}\binom{5}{2}=40\)   วิธี

กรณีที่ 2  กรณีที่มีชายเป็นกรรมการ 2 คน ก็จะได้จำนวนวิธีคือ

\(\binom{4}{2}\binom{5}{1}=30\)    วิธี

กรณีที่ 3  กรณีที่มีชายเป็นกรรมการ 3  คนก็จะได้จำนวนวิธีคือ

\(C_{4,3}=\frac{4!}{(4-3)!3!}=4 \)    วิธี   

วิธีเลือกผู้แทนโดยมีชายอย่างน้อย 1 คน มี 40+30+4=74  วิธี

ตัวอย่างที่ 6 มีนักเรียนชั้น ม.4 จำนวน 4 คน นักเรียนชัน ม.5 จำนวน 5 คน และนักเรียนชั้น ม.6 จำนวน 6 คนต้องการเลือกนักเรียนเหล่านี้ออกมา 5 คน ซึ่งต้องมีนักเรียนทั้งสามชั้น จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับกี่วิธี

วิธีทำ  การทำข้อนี้ จะเห็นว่าต้องเลือกนักเรียนมาให้ครบทั้งสามชั้น คือต้องมีทั้ง ม.4 ม.5 และ ม.6 และต้องรวมกันแล้วให้ครบ 5 คน ดังนั้นต้องแยกคิดออกเป็นกรณีนะครับ

กรณีที่ 1 คือ 1,1,3  ความหมายคือเลือกนักเรียนม.4 จำนวน 1 คน ม.5 จำนวน 1 คนและม.6 จำนวน 3 คน นะครับ ฉะนั้นจำนวนวิธีเลือกเท่ากับ

\(C_{4,1}\times C_{5,1}\times C_{6,3}=4\times 5\times 20=400\)

กรณีที่ 2 คือ 1,3,1  จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

\(C_{4,1}\times C_{5,3}\times C_{6,1}=4\times 10 \times 6=240\)

กรณีที่ 3 คือ  3,1,1  จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

\(C_{4,3}\times C_{5,1}\times C_{6,1}= 4\times 5\times 6=120\)

กรณีที่ 4 คือ 1,2,2  จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

\(C_{4,1}\times C_{5,2}\times C_{6,2}=4\times 10 \times 15=600\)

กรณีที่ 5 คือ 2,1,2 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

\(C_{4,2}\times C_{5,1}\times C_{6,2}=6\times 5\times 15=450\)

กรณีที่ 6 คือ 2,2,1 จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับ

\(C_{4,2}\times C_{5,2}\times C_{6,1}=6\times 10 \times 6=360\)

เอาทุกกรณีมารวมกันก็จะเป็นคำตอบนะครับ จะได้คำตอบคือ 400+240+120+600+450+360=2170   วิธี

ตัวอย่างที่ 7 มีนักเรียนชั้น ม.4 ,ม.5 และ ม.6 ชั้นละ 4 คน ต้องการเลือกตัวแทนนักเรียนเหล่านี้ออกมา 6 คนโดยให้ได้นักเรียนครบทุกชั้นปี จำนวนวิธีการเลือกเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  การทำข้อนี้ จะแบ่งทำเป็นกรณีเหมือนตัวอย่างที่ 7 ก็ได้ แต่มีข้อสังเกตคือจำนวนคนของแต่ละชั้นปีเท่ากันคือมีจำนวน 4 คน ดังนั้นแต่ละกรณีที่เราคำนวณหาจำนวนวิธีมาเนียะมันได้คำตอบเท่ากันจริงไหม  ดังนั้นเราก็คำนวณแค่กรณีเดียวก็พอ แล้วเอาไปคูณ 3 สมมิตถ้ามี 3 กรณี หรือเอาไปคูณ 4 สมมติถ้ามี 4 กรณีเข้าใจไหม  ทำต่อนะ

โจทย์บอกว่าต้องการเลือกคนออกมา 6 คนและต้องได้นักเรียนครบทุกชั้น  ฉะนั้น อาจจะเลือก ดังนี้

1,1,4 (ความหมายคือเลือก ม.4 มา 1 คน ม.5 มา 1 คนและ ม.6 มา 4 คน)

หรือ  1,4,1,

หรือ 4,1,1

ทั้ง 3 กรณีนี้มีจำนวนวิธีเท่ากันนะครับเพราะจำนวนนักเรียนแต่ละชั้นปีเท่ากัน ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกเท่ากับ

\(3\times C_{4,1}\times C_{4,1}\times C_{4,4}=48\)        วิธี

หรือ อาจจะเลือก ดังนีั

1,2,3  หรือ  1,3,2  หรือ 3,2,1 หรือ 3,1,2 หรือ 2,3,1 หรือ 2,1,3  คิดคำนวนแค่กรณีเดียวแล้ว คูณ 6 นะครับ ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกเท่ากับ

\(6\times C_{4,1}\times C_{4,2}\times C_{4,3}=576\)       วิธี

หรือ อาจจะเลือก ดังนี้

2,2,2   ถ้าเลือกแบบนี้ได้แบบเดียวไม่ต้องเอาไปคูณอะไรทั้งสิ้น   ดังนั้นจำนวนวิธีในการเลือกคือ

\(C_{4,2}\times C_{4,2}\times C_{4,2}=216\)       วิธี

อย่าลืมเอาทั้ง 3 กรณีมาบวกกันครับ 48+576+216=840   วิธี

เข้าใจไหมเอ่ย ยากแต่ต้องค่อยๆอ่านนะครับ

ตัวอย่างที่ 8นักเรียนชั้น ม.4 , ม.5 และ ม.6 ชั้นละ 4 คน ต้องการเลือกนักเรียนเหล่านี้ออกมาเป็นตัวแทน 5 คน

ถ้า a แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนชั้น ม.6 อย่างน้อยหนึ่งคน

    b  แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนครบทุกชั้นปี

จงหา a-b

วิธีทำ  มาดูอันแรกก่อนคือ  a แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนชั้น ม.6 อย่างน้อยหนึ่งคน

เราจะหาคำตอบของอันแรกนี้โดยวิธีหาคำตอบแบบตรงกันข้ามครับ ก็คือ

เอาจำนวนวิธีในการเลือกทั้งหมดโดยไม่มีเงื่อนไข ลบออกด้วย จำนวนวิธีเลือกโดยไม่มีนักเรียนชั้น ม.6 เลย

จำนวนวิธีเลือกทั้งหมดโดยไม่มีเงี่อนไขคือ \(C_{12,5}=\frac{12!}{7!5!}=792\)      วิธี

จำนวนวิธีเลือกโดยไม่มีนักเรียน ม.6 คือ    \(C_{8,5}=\frac{8!}{5!3!}=56\)        วิธี

ดังนั้น  a=792-56=736   วิธี

มาดูวิธีหาคำตอบอันที่สอง คือ b  แทนจำนวนวิธีเลือก โดยต้องมีนักเรียนครบทุกชั้นปี

กรณีเลือกมา 5 คนโดยเลือกแบบ  1,1,3  หรือ   1,3,1    หรือ 3,1,1   อย่าลืมนะทุกชั้นปีมีนักเรียนเท่ากัน หาแบบเดียวแล้วคูณ 3 ก็จะได้คำตอบ

\(3\times C_{4,1}\times C_{4,1}\times C_{4,3}=192\)        วิธี

กรณีเลือกมา 5 คนโดยเลือกแบบ 1,2,2  หรือ 2,1,2  หรือ  2,2,1  หาอันเดียวคูณ 3

\(3\times C_{4,1}\times C_{4,2}\times C_{4,2}\times C_{4,2}=432\)        วิธี

เอาทั้งสองกรณีมาบวกกันครับ

b=192+432=624   วิธี

ดังนั้น  a-b=736-624=112

ตัวอย่างที่ 9  จากรูป วงกลมวงหนึ่งมีจุดบนเส้นรอบวง 12 จุด ในจำนวนนี้มีจุด A และ B  รวมอยู่ด้วย ถ้าต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดและมี A  หรือ B เป็นจุดยอดด้วย แล้ว จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่ต้องการเท่ากับกี่รูป

วิธีทำ ข้อนี้ใช้ความรู้เรื่องเซตมาช่วยจะได้ง่าย ลองมองภาพเป็นเซตนะ

ให้ n(A) คือจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด A เป็นจุดยอดจุดหนึ่ง ดังนั้น

\(n(A)=C_{11,2}=\frac{11}{9!2!}=55\)       รูป

ให้ n(B)  คือจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด B เป็นจุดยอดจัดหนิ่ง  ดังนั้น

\(n(B)=C_{11,2}=55\)      รูป

ให้  \(n(A)\cap B)\)     คือจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด A  และ B     เป็นจุดยอดสองจุด  ดังนั้น

\(n(A\cap B)=C_{10,1}=10\)        รูป

ดังนั้น จำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มี A  หรือ  B   เป็นจุดยอดคือ  \(n(A \cup B)\)       นั่นเอง

\(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=55+55-10=100\)        รูป

ตัวอย่างที่10 ในการสอบครั้งหนึ่งนักเรียนต้องทำข้อสอบ 8 ข้อ จากข้อสอบทั้งหมด 10 ข้อและนักเรียนต้องทำข้อสอบอย่างน้อย 4 ข้อจาก 5 ข้อแรก นักเรียนจะเลือกทำข้อสอบได้ทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ ข้อนี้เราลองวิเคราะห์คร่าวๆก่อนครับคือนักเรียนต้องทำข้อสอบเพียงแค่ 8 ข้อเท่านั้นคือจากทั้งหมด 10 เลือกทำแค่ 8 ข้อเท่านั้นครับ แต่  5 ข้อแรกเลือกทำอย่างน้อย 4 ข้อ   ตรงนี้แหละต้องเน้นเลยครับก็คือต้องแบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณี

กรณีที่ 1 ใน 5 ข้อแรกเลือกทำเพียง 4   แสดว่าอีก 5 ข้อที่เหลือต้องเลือกทำอีก 4 ข้อถึงจะครบ 8 ข้อก็จะได้จำนวนวิธีคือ

\(C_{5,4}\times C_{5,4}=\frac{5!}{(5-4)!4!}\times \frac{5!}{(5-4)!4!}=5\times 5=25\)

กรณีที่ 2 ใน 5 ข้อแรกเลือกทำทั้ง 5 ข้อเลยแสดงว่าอีก 5 ข้อที่เหลือต้องเลือกทำอีก 3 ข้อถึงจะครบ 8 ข้อก็จะได้จำนวนวิธีคือ

\(C_{5,5}\times C_{5,3}=\frac{5!}{(5-5)!5!}\times \frac{5!}{(5-3)!3!}=1\times 10=10\)

ดังนั้นจำนวนวิธีในการทำข้อสอบของนักเรียนคือ \(25+10=35\) วิธี

ตัวอย่างที่ 11  ถ้าเครื่องดื่มที่จัดไว้เป็นน้ำอัดลม 4 ชนิด น้ำผลไม้ 3 ชนิด จำนวนวิธีที่จะเลือกน้ำอัดลม 2 ชนิดและผลไม้ 2 ชนิดแล้วนำไปเสิร์ฟคนที่นั่งรอบโต๊ะกลม 4 คน คนละ 1 แก้วอย่างไม่เจาะจงเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ   ข้อนี้ผมจะแยกทำเป็นสอง step

step 1  ก็คือหาจำนวนวิธีในการเลือกน้ำอัดลมมา 2 ชนิดและเลือกน้ำผลไม้มา 2 ชนิด จากน้ำอัดลมทั้งหมด 4 ชนิดและน้ำผลไม้ทั้งหมด 3 ชนิด ก็จะได้ทำวิธีทั้งหมดคือ

\(C_{4,2}\times C_{3,2}=6\times 3=18\)  วิธี

step 2 ใน  18 วิธีในจัดเลือกเครื่องดื่มนี้นำไปเสิร์ฟคนนั่งรอบโต๊ะกลม 4 คนจะทำได้ทั้งหมดกี่วิธีอันนี้ต้องไปการเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลมประกอบด้วยนะครับ

ใน 18  วิธีนี้จะเห็นว่า

การจัดเลือกเครื่องดื่มวิธีที่ 1 ไปเสิร์ฟคน 4 คนนั่งรอบโต๊ะกลมทำได้  3!  วิธี

การจัดเลือกเครื่องดื่มวิธีที่ 2 ไปเสิร์ฟคน 4 คนนั่งรอบโต๊ะกลมทำได้  3!  วิธี

การจัดเลือกเครื่องดื่มวิธีที่ 3 ไปเสิร์ฟคน 4 คนนั่งรอบโต๊ะกลมทำได้  3!  วิธี

...                 ....                   .....           ....           .....

การจัดเลือกเครื่องดื่มวิธีที่ 18 ไปเสิร์ฟคน 4 คนนั่งรอบโต๊ะกลมทำได้  3!  วิธี

ดังนั้นจะมีจำนวนวิธีในการเสิร์ฟทั้งหมด \(18(3!)\)=108  วิธี

ตัวอย่างที่ 12  ในการประชุมครั้งหนึ่งมีผู้เขัาร่วมประชุมเป็นครู 7 คน เป็นนักวิชาการ 10 คนและเป็นผู้บริหาร 3 คน ถ้าต้องการเลือกตัวแทนจำนวน 4 คน โดยจะต้องมีผู้บริหารอย่างน้อยครึ่งหนึ่งจะมีวิธีเลือกทั้งหมดกี่วิธี

วิธีทำ ข้อนี้ดูโจทย์ดีๆนะครับจะเห็นว่าตัวแทนที่เลือกมาทั้ง 4 คนนี้จะต้องมีผู้บริหารอย่างน้อยครึ่งหนึ่งครับ ฉะนั้นเราจะแบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณีคือ

กรณีที่ 1 กรณีที่มีผู้บริหารอยู่ในตัวแทนจำนวน 2 คนฉะนั้นจำนวนวิธีในการเลือกทั้งหมดคือ 

\(C_{3,2}\times C_{17,2}=3\times 136=408\)  วิธี

กรณีที่ 2 กรณีที่มีผู้บริหารอยู่ในตัวแทนจำนวน 3 คน ฉะนั้นจำนวนวิธีในการเลือกทั้งหมดคือ

\(C_{3,3}\times C_{17,1}=1\times 17=17\)  วิธี

ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกตัวแทน 4 คนและในคณะ 4 คนนั้นมีผู้บริหารอยู่อย่างน้อยครึ่งหนึ่งจะมีทั้งหมด

\(408+17=425\)  วิธี

*** อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับ เฉลยแบบฝึกหัดเรื่องการจัดหมู่