ฟังก์ชันกำลังสอง คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ  \(y=ax^{2}+bx+c\) เมื่อ \(a,b,c\) เป็นจำนวนจริงใดๆ และ \(a\neq 0\) ถ้าใครเคยเรียนตอน ม.3  คงคุ้นสมการ \(y=ax^{2}+bx+c\)  นะครับ  ใช่แล้วครับมันคือ พาราโบลา  นั่นเองครับ ดังนั้นฟังก์ชันกำลังสองก็คือพาราโบลานั่นเอง ก็จะแบ่งออกเป็น 2 ชนิดก็คือ

1. พาราโบลาคว่ำ

2. พาราโบลาหงาย

***ส่วนพาราโบลาที่มันคะแคงซ้ายหรือว่าตะแคงขวาอันนั้นไม่ใช่ฟังก์ชันกำลังสองนะครับเป็นแค่ความสัมพันธ์เฉยๆ ฉะนั้นในเรื่องนี้เราจะได้ศึกษาเฉพาะพาราโบลาคว่ำกับพาราโบลาหงายเท่านั้นครับ

การดูว่า พาราโบลา จะคว่ำหรือหงานนั้นให้ดูที่ค่า \(a\) 

ถ้า  \(a>0\)  พาราโบลาจะหงาย

ถ้า \(a<0\)  จะเป็นพาราโบลาคว่ำ

เช่น

\(y=5x^{2}+4x+3\)  จะเห็นว่า ค่า \(a=5\) พาราโบลานี้จะเป็นพาราโบลาหงาย 

\(y=-5x^{2}+4x+3\)  จะเห็นว่าค่า \(a=-5\) พาราโบลานี้จะเป็นพาราโบลาคว่ำ ครับ ดูรูปประกอบครับ

อีกอันหนึ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับการเรียนฟังก์ชันกำลังสองคือ จุดยอดพาราโบลา  หรือ เรียกอีกอย่างว่า จุดวกกลับ  หรือ มีชื่อเรียกอีกอย่างว่า จุดต่ำสุด (ถ้าเป็นพาราโบลาหงาย)  จุดสูงสุด (ถ้าเป็นพาราโบลาคว่ำ)นั่นเองครับ

ต่อไปผมจะสอนการหาจุดยอดพาราโบลา หรือ ว่าการหาจุดวกกลับ นะครับ เริ่มกันเลย

สมการพาราโบลา มันจะมี 2 แบบนี้ครับ

แบบที่ 1  คือ จะอยู่ในรูป

\[y=a(x-h)^{2}+k\]

แบบที่ 2 คือจะอยู่ในรูป

\[y=ax^{2}+bx+c\]

จริงแบบที่ 1 และแบบที่ 2 มันก็คือแบบเดียวกันเพียงแต่เขานำสมการมาจัดรูปแบบใหม่ให้แตกต่างกันออกไปเพื่อนำไปใช้ประโยชน์ ผมจะสอบใน แบบที่ 1 ก่อนนะครับ

แบบที่ 1  คือ จะอยู่ในรูป

\[y=a(x-h)^{2}+k\]

ถ้าเราไปเจอสมการพาราโบลาที่อยู่ในรูปแบบนี้ จุดวกกลับ หรือว่าจุดยอดของมัน ตอบได้เลยว่าคือจุด \(h,k)\)  ครับ ส่วนจะเป็นพาราโบลาหงายหรือคว่ำ ดูที่ค่า \(a\) เหมือนเดิมครับ  ยกตัวอย่างเช่น

\(1)\quad y=2(x-3)^{2}+4\)  เป็นพาราโบลาหงาย เพราะ \(a=2\)  จุดวกกลับคือ \((3,4)\)

\(2)\quad y=-2(x+3)^{2}-4\) เป็นพาราโบลาคว่ำ เพราะ \(a=-2\)  จุดวกกลับคือ \((-3,-4\)

***ข้อสังเกตจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}y&=&-2(x+3)^{2}-4\\y&=&-2(x-(-3))^{2}+(-4)\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ถ้าเทียบกันดีๆจะเห็นว่า \(h=-3,k=-4 \)  นั่นเองดังนั้นจุดวกกลับคือ \((-3,-4)\)  ครับ

หรือถ้าจะพูดกันง่ายๆก็คือ ตรงตัว \(h\) ให้เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

\(3)\quad y=x^{2}\) ข้อนี้ถ้าลองจัดรูปให้อยู่ในรูปของ \(y=a(x-h)^{2}+k\)  มันก็คือ

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}\\y&=&1(x-0)^{2}+0\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้น เป็นพาราโบลาหงายเพราะ \(a=1\)  จะเห็นว่าถ้าเทียบกันดูจะได้ \(h=0,k=0\) นั่นก็คือจุดวกกลับคือ \((0,0)\)

\(4)\quad y=-\frac{1}{5}x^{2}\)  ลองจัดสมการเหมือนข้อข้างบนซิจะได้

\begin{array}{lcl}y&=&-\frac{1}{5}x^{2}\\y&=&-\frac{1}{5}(x-0)^{2}+0\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นพาราโบลานี้เป็นพาราโบลาหงายเพราะ \(a=-\frac{1}{5}\) จะเห็นว่า \(h=0,k=0\) นั่นคือจุดกกกลับคือ \((0,0)\)

\(5)\quad y=x^{2}+1\)  ลองจัดสมการดูซิครับ จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}+1\\y&=&1(x-0)^{2}+1\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นพาราโบลานี้เป็นพาราโบลาหงาย เพราะ \(a=1\) จุดวกกลับคือ \((0,1)\)

\(6)\quad y=-x^{2}-1\)  จัดสมการดูซิ

\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}-1\\y&=&-1(x-0)^{2}-1\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นเป็นพาราโบลาคว่ำ เพราะ \(a=-1\)  จุดวกกลับคือ \((0,-1)\)

\(7)\quad y=(x-2)^{2}\)  จัดสมการดูซิ

\begin{array}{lcl}y&=&(x-2)^{2}\\y&=&1(x-2)^{2}+0\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นเป็นพาราโบลาหงาย เพราะ \(a=1\) จุดวกกลับคือ \((2,0)\)

\(8)\quad y=-(x+3)^{2}\) จัดสมการดูซิ

\begin{array}{lcl}y&=&(x+3)^{2}\\y&=&-1(x+3)^{2}+0\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นเป็นพาราโบลาคว่ำ เพราะ \(a=-1\)  จุดวกกลับคือ \((-3,0)\)

ทั้งหมดที่ผมยกตัวอย่างมาลองเอามาวาดกราฟดูจะได้ดังนี้ครับ

แบบที่ 2  คือจะอยู่ในรูป

\[y=ax^{2}+bx+c\]

 ถ้าเจอพาราโบลาที่มีสมการในรูปแบบนี้ การหาจุดวกกลับ หรือ จุดยอด  หรือ จุดสูงสุด จุดต่ำสุด ให้ใช้สูตรในการหาไปเลย ส่วนที่มาที่ไปของสูตรให้ไปศึกษาเอง จากหนังสือ สสวท. เขาพิสูจน์ให้เห็นชัดเจนแล้วครับซึ่งการหาจุดวกกลับโดยใช้สูตรนี้ให้ไปอ่านต่ามลิงค์นี้ครับ ผมเขียนไว้นานโขแล้ว การหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดพาราโบลาโดยใช้สูตร อ่านเองนะครับ 

ต่อไปเราลองไปทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ เรื่องนี้ไม่มีอะไรยากเลยครับค่อยๆอ่านและทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับพาราโบลาครับ

1. จงร่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองต่อไปนี้อย่างคร่าว

1) \(y=2x^{2}\)

2) \(y=-2x^{2}\)

3) \(y=2x^{2}+1\)

4) \(y=(x-1)^{2}\)

5)\(y=(x+1)^{2}+1\)

วิธีทำ  การวาดกราฟง่ายครับ แค่เรารู้จุดยอดและรู้ว่าเป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย ก็วาดได้แล้ว อย่าลืมอ่านที่ผมเขียนไว้ได้บน เช่น

ข้อ 1) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดหรือจุดวกกลับอยู่ที่จุด \((0,0)\)

ข้อ 2) เป็นพาราโบลาคว่ำ จุดยอดคือ จุด \((0,0)\)

ข้อ 3) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ จุด \((0,1)\)

ข้อ 4) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ จุด \((1,0)\)

ข้อ 5) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ จุด \((-1,1)\)

ผมจะวาดกราฟรวบเลยนะ วาดลงโดยใช้ระนาบเดียวกันนะครับ

---

2. จงร่างกราฟอย่างคร่าวๆ ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้โดยใช้ระนาบเดียวกัน

1)

\begin{array}{lcl}y_{1}&=&x^{2}\\y_{2}&=&2x^{2}\\y_{3}&=&5x^{2}\\y_{4}&=&11x^{2}\end{array}

วิธีทำ สังเกตดูกราฟดีๆนะครับ จะเห็นว่าแต่ละฟังก์ชันมีค่า \(a\) ที่แตกต่างกัน เช่น

\(y_{1}=x^{2}\)  มีค่า \(a=1\)

\(y_{4}=11x^{2}\)  มีค่า \(a=11\)

ซึ่งค่า \(a\)  จะมีผลต่อลักษณะของพาราโบลา กล่าวคือ ยิ่ง \(a\) มีค่ามากหรือ \(a\) ติดลบมากๆ พาราโบลาจะแคบครับ สังเกตจากรูปเอาเองนะครับ เดียวจะวาดให้ดูครับ

2) 

\begin{array}{lcl}y_{1}&=&-(x+1)^{2}\\y_{2}&=&-(x+2)^{2}\\y_{3}&=&-(x+3)^{2}\end{array}

วิธีทำ ดูจากสมการคร่าวๆที่โจทย์ให้มา แน่นอนกราฟต้องเป็นพาราโบลาคว่ำแน่นอน ไปดูรูปกันเลย ความกว้างหรือแคบจะเท่ากันเพราะทุกสมการมีค่า \(a=-1\)

---

3. จงร่างกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกจุดวกกลับ

1) \(y=x^{2}-2x-3\)  

วิธีทำ จะเห็นว่า สมการของพาราโบลาข้อนี้อยู่ในรูปแบบของ \(y=ax^{2}+bx+c\) ซึ่งจะเห็นว่า

\(a=1,b=-2,c=-3\)  เป็นพาราโบลาหงายเพราะค่าเอเป็นบวก ส่วนจุดวกกลับก็ใช้สูตรในการหาเลยครับ หาเองนะ ผมจะร่างกราฟให้ดู

2) \(y=3x^{2}+12x+3\)

วิธีทำ จะเห็นว่า \(a=3,b=12,c=3\)  หาจุดวกกลับเองนะครับใช้สูตรในการหาเลยไปอ่านตามลิงค์เลยครั้บ การหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดพาราโบลาโดยใช้สูตร  ผมจะร่างแค่กราฟให้ดู