แบบฝึกหัดพาราโบลา

พาราโบลา

ตอน ม.3 เราเคยเรียนพาราโบลา มาแล้วแหละ ถ้าใครจำไม่ได้ก็สามารถกลับไปทบทวนอ่านได้ตามลิงค์ที่ผมใส่เอาไว้ให้ได้ครับ ส่วน ม.4 เราก็จะได้เรียนพาราโบลาอีกทีหนึ่งเนื้อหาก็จะเข้มข้นมากยิ่งขึ้นครับ แต่ถ้าใครเข้าใจตอน ม.3 แล้วก็จะสบายๆ พาราโบลา ม.4 ก็คือเป็นการเรียนต่อยอดตอน พาราโบลา ม.3 นั่นเองครับ ถ้ามีคนถามว่าพาราโบลา คืออะไร ก็ตอบเขาไปว่ามันคือเส้นโค้งๆ เดี่ยวผมจะมีรูปประกอบให้ดูด้านล่างครับ แต่ถ้ามีคนถามอีกว่าเรียนพาราโบลาไปทำไม ก็ตอบเขาไปว่า เคยเห็นลำโพงไหม หรือเคยเห็น ไฟหน้ารถยนต์ไหม ถ้าเราสังเกตดีๆลำโพงนี้จะมีลักษณะเป็นเหมือนกับจาน จานนี้นักคณิตศาสตร์เรียกกันว่า จานพาราโบลอยด์ ดูรูปประกอบครับ แล้วทำไมต้องเป็นรูปจาน เป็นรูปอย่างอื่นไม่ได้หรอ คำตอบคือไม่ได้ ทำไมไฟหน้ารถหรือว่าลำโพงจึงต้องไปพาราโบลอยด์(paraboloid)ให้พวกเราไปค้นหาคำตอบเองแล้วกันครับ นี่ก็คือการประยุกต์ใช้ความรู้พวกนี้มาช่วยในด้านประโยชน์ในชีวิตประจำวัน

มาดูรูปกันครับ นี่คือพาราโบลา(parabolar) ซึ่งมีทั้งพาราโบลาที่เป็นแบบระฆังหงาย แบบระฆังคว่ำ(อ้นนี้ได้เรียนตอน ม.3) และมีแบบตะแคงซ้ายกับตะแคงขวา อันนี้จะได้เรียนเพิ่มตอน ม.4 ครับ

ที่นี้เราลองคิดตามนะ ถ้าเราเอาพาราโบลานี้มาหมุนแบบเร็วๆ เราก็จะมองเห็นว่ามันคือแผ่นถ้วยหรือว่าแผ่นจานนั่นเองครับ ซึ่งเรียกแผ่นถ้วยหรือว่าจานนี้ พาราโบลอยด์(paraboloid) ก็จะมีลักษณะเหมือนลำโพงหรือไฟหน้ารถยนต์ครับ ดังรูป

ขอบคุณภาพจาก:https://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid#/media/File:Paraboloid_of_Revolution.svg

นี่คือความรู้เบื้องต้นคร่าวๆที่ต้องรู้ครับ ต่อไปเราก็จะมาลงเกี่ยวกับสมการพาราโบลาในแบบต่างๆ ก็จะมีแบบระฆังคว่ำ ระฆังหงาย กับแบบตะแคงซ้ายคะแคงขวา มาดูนิยามของพาราโบลาก่อน

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของพาราโบลา

พาราโบลา(parabola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจากจุด F ที่ตรึงอยู่กับที่จุดหนึ่งและเส้นตรง \(l\) ที่ตรึงอยู่กับที่เส้นหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า โฟกัส และเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า เส้นบังคับ หรือ ไดเรกตริกซ์ (directrix) ของพาราโบลา

ต่อไปเรามาดูสมการพาราโบลากันดีกว่าครับ

สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเป็นรูประฆัง คือ

\[x^{2}=4py\]

ถ้า \(p>0\) จะเป็นระฆังหงายตามรูปด้านล่าง

ถ้า \(p<0\) จะเป็นระฆังคว่ำตามรูปด้านล่าง

ทั้งสองรูปจะมี

จุดยอดอยู่ที่ \((0,0)\)

จุดโฟกัสอยู่ที่ \((0,p)\)

สมการเส้นไดเรกตริกส์คือ \(y=-p\)

สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเป็นระฆังตะแคงซ้ายและระฆังตะแคงขวา คือ

\[y^{2}=4px\]

ถ้า \(p>0\) จะเป็นระฆังตะแคงขวาตามรูปด้านล่าง

ถ้า \(p<0\) จะเป็นระฆังตะแคงซ้ายตามรูปด้านล่าง

ทั้งสองรูปจะมี

จุดยอดอยู่ที่ \((0,0)\)

จุดโฟกัสอยู่ที่ \((p,0)\)

สมการเส้นไดเรกตริกส์คือ \(x=-p\)

อีกอันหนึ่งที่เราควรรู้คือ ลาตัสเรกตัม (latus rectum) คือคอร์ดที่ตั้งฉากกับแกนพาราโบลาและลากผ่านโฟกัสของพาราโบลา ดูรูปด้านล่างประกอบนะครับ ความยาวของลาตัสเรกตัมใช้วัดความกว้าง ของพาราโบลา ซึ่งความยาวของเส้นลาตัสเรกตัมนี้หาได้จาก \(|4p|\)

ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดดีกว่าครับ

แบบฝึกหัด

1. จงหาโฟกัส ไดเรกตริกซ์ และความยาวของลาตัสเรกตัมของพาราโบลาแล้วเขียนกราฟ

1) \(y=4x^{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้ลองจัดสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานคือจัดให้อยู่ในรูปของ \(x^{2}=4py\)

จาก

\(y=4x^{2}\)

\(x^{2}=\frac{1}{4}y\)

\(x^{2}=4\frac{1}{16}y\) หน้าตาเปลี่ยนแต่ค่าเท่าเดิมไม่เชื่อลองตัดทอนดูครับ

เราจึงได้ว่าสมการนี้คือพาราโบลาระฆังหงายและมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0,0) เพราะ \(p=\frac{1}{16}>0\)

จุดโฟกัสคือ \((0,p)\) คือ \((0,\frac{1}{16})\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(y=-p\) คือ \(y=-\frac{1}{16}\)

ความยาวของลาตัสเรกตัมคือ \(|4p|=4\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\)

2) \(8x+12y^{2}=0\)

วิธีทำ จัดสมการเหมือนเดิมครับ

จาก

\(8x+12y^{2}=0\)

\(12y^{2}=-8x\)

\(y^{2}=-\frac{8}{12}x\)

\(y^{2}=-\frac{4\times 2}{12}x\)

\(y^{2}=-4\frac{1}{6}x\) จัดรูปให้อยู่ในสมการมาตรฐานคือ \(y^{2}=4px\)

จากหน้าตาของสมการแล้วจะได้ว่า สมการนี้เป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) เป็นพาราโบลาตะแคงซ้ายเนื่องจากค่า \(p=-\frac{1}{6}<0\)

จุดโฟกัสคือ \((p,0)\) คือ \((-\frac{1}{6},0)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=-p\) คือ \(x=-(-\frac{1}{6})=\frac{1}{6}\)

ความยาวของลาตัสเรกตัมคือ \(|4p|=|4(-\frac{1}{6})|=\frac{2}{3}\)

ต่อไปเราก็มาดูเกี่ยวกับพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) ก็คือจุดยอดอยู่ที่ไหนก็ได้ครับ

พาราโบลาระฆังหงายและระฆังคว่ำที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) จะมีสมการคือ

\[(x-h)^{2}=4p(y-k)\]

เมื่อ \(p>0\) พาราโบลาจะเป็นระฆังหงาย

เมื่อ \(p<0\) พาราโบลาจะเป็นระฆังคว่ำ

จุดยอดคือ (h,k)

จุดโฟกัสคือ \((h,k+p)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(y=k-p\)

พาราโบลาคะแคงซ้ายและขวาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) จะมีสมการคือ

\[(y-k)^{2}=4p(x-h)\]

เมื่อ \(p>0\) พาราโบลาจะตะแคงขวา

เมื่อ \(p<0\) พาราโบลาจะตะแคงซ้าย

จุดยอดคือ (h,k)

จุดโฟกัสคือ \((h+p,k)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=h-p\)

มาลองทำแบบฝึกหัดกันครับ

แบบฝึกหัด

1. จงหา จุดยอด โฟกัส และไดเรกตริกส์ของพาราโบลาและเขียนกราฟ

1) \((x-3)^{2}=8(y+2)\)

วิธีทำ ถ้าเราลองเทียบสมการที่โจทย์ให้มากับสมการนี้

\[(x-h)^{2}=4p(y-k)\]

เราจะเห็นว่ามันคือพาราโบลานั่นเองครับ จัดสมการนิดหนึ่ง

\begin{array}{lcl}(x-3)^{2}&=&8(y+2)\\(x-3)^{2}&=&4(2)(y+2)\end{array}

จะเห็นว่า \(p=2\) นั่นมันเป็นพาราโบลาระฆังหงายนั่นเองครับ

จุดยอดคือ เนื่องจาก h=3 ,k=-2 ดังนั้น

จุดยอดคือ (3,-2)

จุดโฟกัสคือ \((h,k+p)\) นั่นคือ \((3,-2+2)\)

จุดโฟกัสคือ \((3,0)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(y=k-p=-2-2=-4\)

2) \(y^{2}=16x+8\)

วิธีทำ ต้องลองจัดสมการดูครับ

จาก

\begin{array}{lcl}y^{2}&=&16x+8\\y^{2}&=&16(x+\frac{8}{16})\\y^{2}&=&16(x+\frac{1}{2})\\(y-0)^{2}&=&4(4)(x+\frac{1}{2})\end{array}

ลองเอาสมการที่จัดมาเทียบกันสมการนี้ดูครับ

\[(y-k)^{2}=4p(x-h)\]

จะเห็นว่าเป็นสมการพาราโบลาตะแคงขวา เพราะมี \(p=4\)

มีจุดยอดคือ \((-\frac{1}{2},0)\)

จุดโฟกัสคือ \((-\frac{1}{2}+4,0)\) ซึ่งก็คือ \((\frac{7}{2},0)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=h-p=-\frac{1}{2}-4=-\frac{9}{2}\)

3) \(x-y^{2}+4y-2=0\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องจัดรูปครับใช้กำลังสองสมบูรณ์มาช่วยครับ

\begin{array}{lcl}x-y^{2}+4y&=&0\\-y^{2}+4y&=&2-x\\y^{2}-4y&=&x-2\\y^{2}-2(2)y+2^{2}&=&x-2+2^{2}\\(y-2)^{2}&=&x+2\\(y-2)^{2}&=&4(\frac{1}{4})(x+2)\end{array}

สมการนี้คือพาราโบลาครับ เป็นพาราโบลาตะแคงขวาเพราะ \(p=\frac{1}{4}>0\)

จุดยอดคือ \((-2,2)\)

จุดโฟกัสคือ \((h+p,k)=(-2+\frac{1}{4},2)=(-\frac{7}{4},2)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=h-p=-2-\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}\)
ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสอง คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ \(y=ax^{2}+bx+c\) เมื่อ \(a,b,c\) เป็นจำนวนจริงใดๆ และ \(a\neq 0\) ถ้าใครเคยเรียนตอน ม.3 คงคุ้นสมการ \(y=ax^{2}+bx+c\) นะครับ ใช่แล้วครับมันคือ พาราโบลา นั่นเองครับ ดังนั้นฟังก์ชันกำลังสองก็คือพาราโบลานั่นเอง ก็จะแบ่งออกเป็น 2 ชนิดก็คือ

1. พาราโบลาคว่ำ

2. พาราโบลาหงาย

***ส่วนพาราโบลาที่มันคะแคงซ้ายหรือว่าตะแคงขวาอันนั้นไม่ใช่ฟังก์ชันกำลังสองนะครับเป็นแค่ความสัมพันธ์เฉยๆ ฉะนั้นในเรื่องนี้เราจะได้ศึกษาเฉพาะพาราโบลาคว่ำกับพาราโบลาหงายเท่านั้นครับ

การดูว่า พาราโบลา จะคว่ำหรือหงานนั้นให้ดูที่ค่า \(a\)

ถ้า \(a>0\) พาราโบลาจะหงาย

ถ้า \(a<0\) จะเป็นพาราโบลาคว่ำ

เช่น

\(y=5x^{2}+4x+3\) จะเห็นว่า ค่า \(a=5\) พาราโบลานี้จะเป็นพาราโบลาหงาย

\(y=-5x^{2}+4x+3\) จะเห็นว่าค่า \(a=-5\) พาราโบลานี้จะเป็นพาราโบลาคว่ำ ครับ ดูรูปประกอบครับ

อีกอันหนึ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับการเรียนฟังก์ชันกำลังสองคือ จุดยอดพาราโบลา หรือ เรียกอีกอย่างว่า จุดวกกลับ หรือ มีชื่อเรียกอีกอย่างว่า จุดต่ำสุด (ถ้าเป็นพาราโบลาหงาย) จุดสูงสุด (ถ้าเป็นพาราโบลาคว่ำ)นั่นเองครับ

ต่อไปผมจะสอนการหาจุดยอดพาราโบลา หรือ ว่าการหาจุดวกกลับ นะครับ เริ่มกันเลย

สมการพาราโบลา มันจะมี 2 แบบนี้ครับ

แบบที่ 1 คือ จะอยู่ในรูป

\[y=a(x-h)^{2}+k\]

แบบที่ 2 คือจะอยู่ในรูป

\[y=ax^{2}+bx+c\]

จริงแบบที่ 1 และแบบที่ 2 มันก็คือแบบเดียวกันเพียงแต่เขานำสมการมาจัดรูปแบบใหม่ให้แตกต่างกันออกไปเพื่อนำไปใช้ประโยชน์ ผมจะสอบใน แบบที่ 1 ก่อนนะครับ

แบบที่ 1 คือ จะอยู่ในรูป

\[y=a(x-h)^{2}+k\]

ถ้าเราไปเจอสมการพาราโบลาที่อยู่ในรูปแบบนี้ จุดวกกลับ หรือว่าจุดยอดของมัน ตอบได้เลยว่าคือจุด \(h,k)\) ครับ ส่วนจะเป็นพาราโบลาหงายหรือคว่ำ ดูที่ค่า \(a\) เหมือนเดิมครับ ยกตัวอย่างเช่น

\(1)\quad y=2(x-3)^{2}+4\) เป็นพาราโบลาหงาย เพราะ \(a=2\) จุดวกกลับคือ \((3,4)\)

\(2)\quad y=-2(x+3)^{2}-4\) เป็นพาราโบลาคว่ำ เพราะ \(a=-2\) จุดวกกลับคือ \((-3,-4\)

***ข้อสังเกตจะเห็นว่า

\begin{array}{lcl}y&=&-2(x+3)^{2}-4\\y&=&-2(x-(-3))^{2}+(-4)\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ถ้าเทียบกันดีๆจะเห็นว่า \(h=-3,k=-4 \) นั่นเองดังนั้นจุดวกกลับคือ \((-3,-4)\) ครับ

หรือถ้าจะพูดกันง่ายๆก็คือ ตรงตัว \(h\) ให้เปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

\(3)\quad y=x^{2}\) ข้อนี้ถ้าลองจัดรูปให้อยู่ในรูปของ \(y=a(x-h)^{2}+k\) มันก็คือ

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}\\y&=&1(x-0)^{2}+0\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้น เป็นพาราโบลาหงายเพราะ \(a=1\) จะเห็นว่าถ้าเทียบกันดูจะได้ \(h=0,k=0\) นั่นก็คือจุดวกกลับคือ \((0,0)\)

\(4)\quad y=-\frac{1}{5}x^{2}\) ลองจัดสมการเหมือนข้อข้างบนซิจะได้

\begin{array}{lcl}y&=&-\frac{1}{5}x^{2}\\y&=&-\frac{1}{5}(x-0)^{2}+0\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นพาราโบลานี้เป็นพาราโบลาหงายเพราะ \(a=-\frac{1}{5}\) จะเห็นว่า \(h=0,k=0\) นั่นคือจุดกกกลับคือ \((0,0)\)

\(5)\quad y=x^{2}+1\) ลองจัดสมการดูซิครับ จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}+1\\y&=&1(x-0)^{2}+1\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นพาราโบลานี้เป็นพาราโบลาหงาย เพราะ \(a=1\) จุดวกกลับคือ \((0,1)\)

\(6)\quad y=-x^{2}-1\) จัดสมการดูซิ

\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}-1\\y&=&-1(x-0)^{2}-1\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นเป็นพาราโบลาคว่ำ เพราะ \(a=-1\) จุดวกกลับคือ \((0,-1)\)

\(7)\quad y=(x-2)^{2}\) จัดสมการดูซิ

\begin{array}{lcl}y&=&(x-2)^{2}\\y&=&1(x-2)^{2}+0\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นเป็นพาราโบลาหงาย เพราะ \(a=1\) จุดวกกลับคือ \((2,0)\)

\(8)\quad y=-(x+3)^{2}\) จัดสมการดูซิ

\begin{array}{lcl}y&=&(x+3)^{2}\\y&=&-1(x+3)^{2}+0\\y&=&a(x-h)^{2}+k\end{array}

ดังนั้นเป็นพาราโบลาคว่ำ เพราะ \(a=-1\) จุดวกกลับคือ \((-3,0)\)

ทั้งหมดที่ผมยกตัวอย่างมาลองเอามาวาดกราฟดูจะได้ดังนี้ครับ

แบบที่ 2 คือจะอยู่ในรูป

\[y=ax^{2}+bx+c\]

ถ้าเจอพาราโบลาที่มีสมการในรูปแบบนี้ การหาจุดวกกลับ หรือ จุดยอด หรือ จุดสูงสุด จุดต่ำสุด ให้ใช้สูตรในการหาไปเลย ส่วนที่มาที่ไปของสูตรให้ไปศึกษาเอง จากหนังสือ สสวท. เขาพิสูจน์ให้เห็นชัดเจนแล้วครับซึ่งการหาจุดวกกลับโดยใช้สูตรนี้ให้ไปอ่านต่ามลิงค์นี้ครับ ผมเขียนไว้นานโขแล้ว การหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดพาราโบลาโดยใช้สูตร อ่านเองนะครับ

ต่อไปเราลองไปทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ เรื่องนี้ไม่มีอะไรยากเลยครับค่อยๆอ่านและทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับพาราโบลาครับ

1. จงร่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสองต่อไปนี้อย่างคร่าว

1) \(y=2x^{2}\)

2) \(y=-2x^{2}\)

3) \(y=2x^{2}+1\)

4) \(y=(x-1)^{2}\)

5)\(y=(x+1)^{2}+1\)

วิธีทำ การวาดกราฟง่ายครับ แค่เรารู้จุดยอดและรู้ว่าเป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย ก็วาดได้แล้ว อย่าลืมอ่านที่ผมเขียนไว้ได้บน เช่น

ข้อ 1) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดหรือจุดวกกลับอยู่ที่จุด \((0,0)\)

ข้อ 2) เป็นพาราโบลาคว่ำ จุดยอดคือ จุด \((0,0)\)

ข้อ 3) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ จุด \((0,1)\)

ข้อ 4) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ จุด \((1,0)\)

ข้อ 5) เป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ จุด \((-1,1)\)

ผมจะวาดกราฟรวบเลยนะ วาดลงโดยใช้ระนาบเดียวกันนะครับ

2. จงร่างกราฟอย่างคร่าวๆ ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้โดยใช้ระนาบเดียวกัน

1)

\begin{array}{lcl}y_{1}&=&x^{2}\\y_{2}&=&2x^{2}\\y_{3}&=&5x^{2}\\y_{4}&=&11x^{2}\end{array}

วิธีทำ สังเกตดูกราฟดีๆนะครับ จะเห็นว่าแต่ละฟังก์ชันมีค่า \(a\) ที่แตกต่างกัน เช่น

\(y_{1}=x^{2}\) มีค่า \(a=1\)

\(y_{4}=11x^{2}\) มีค่า \(a=11\)

ซึ่งค่า \(a\) จะมีผลต่อลักษณะของพาราโบลา กล่าวคือ ยิ่ง \(a\) มีค่ามากหรือ \(a\) ติดลบมากๆ พาราโบลาจะแคบครับ สังเกตจากรูปเอาเองนะครับ เดียวจะวาดให้ดูครับ

2)

\begin{array}{lcl}y_{1}&=&-(x+1)^{2}\\y_{2}&=&-(x+2)^{2}\\y_{3}&=&-(x+3)^{2}\end{array}

วิธีทำ ดูจากสมการคร่าวๆที่โจทย์ให้มา แน่นอนกราฟต้องเป็นพาราโบลาคว่ำแน่นอน ไปดูรูปกันเลย ความกว้างหรือแคบจะเท่ากันเพราะทุกสมการมีค่า \(a=-1\)

3. จงร่างกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกจุดวกกลับ

1) \(y=x^{2}-2x-3\)

วิธีทำ จะเห็นว่า สมการของพาราโบลาข้อนี้อยู่ในรูปแบบของ \(y=ax^{2}+bx+c\) ซึ่งจะเห็นว่า

\(a=1,b=-2,c=-3\) เป็นพาราโบลาหงายเพราะค่าเอเป็นบวก ส่วนจุดวกกลับก็ใช้สูตรในการหาเลยครับ หาเองนะ ผมจะร่างกราฟให้ดู

2) \(y=3x^{2}+12x+3\)

วิธีทำ จะเห็นว่า \(a=3,b=12,c=3\) หาจุดวกกลับเองนะครับใช้สูตรในการหาเลยไปอ่านตามลิงค์เลยครั้บ การหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดพาราโบลาโดยใช้สูตร ผมจะร่างแค่กราฟให้ดู
เฉลย o-net ม.6 เรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
1. กำหนดให้

\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\)

\(B=\{1,2,3,\cdots ,11,12\}\)

\(S=\{(a,b)\in A\times B|b=2a+\frac{a}{2}\}\)

จำนวนสมาชิกของ \(S\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 51)
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า \(b\) ต้องเป็นตัวเลขที่เป็นจำนวนเต็มเหล่านี้คือ \(1,2,3,\cdots ,11,12\) ซึ่ง \(b=2a+\frac{a}{2}\) ดังนั้นตรง \(\frac{a}{2}\) ต้องหารกันลงตัว นั่นคือ \(a\) ต้องเป็นตัวเลขที่หารด้วย \(2\) ลงตัว แสดงว่าค่า \(a\) ที่เป็นไปได้คือ \(2,4,6\) ต่อไปเราก็ไปหาว่า ถ้า \(a\) เป็น \(2,4,6\) จะได้ \(b\) เป็นตัวอะไรบ้างเริ่มเลย

ถ้า \(a=2\) จะได้ \(b=2(2)+\frac{2}{2}=5\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((2,5)\)

ถ้า \(a=4\) จะได้ \(b=2(4)+\frac{4}{2}=10\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((4,10)\)

ถ้า \(a=6\) จะได้ \(b=2(6)+\frac{6}{2}=15\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((6,15)\) ซึ่งจะเห็นว่าคูอันดับนี้ไม่อยู่ใน \(A\times B\) เพราะ \(15\) ไม่ได้อยู่ในเซต \(B\)

ดังนั้นเราจะได้เซต \(S=\{(2,5),(4,10)\}\) นั่นคือ \(S\) มีสมาชิก \(2\) ตัวนั่นเอง

2. ถ้า \(A=\{1,2,3,4\}\) และ \(r=\{(m,n)\in A\times A | m\leq n\}\) แล้วจำนวนสมาชิกในความสัมพันธ์ \(r\)เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 8
2. 10
3. 12
4. 16
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายสุดๆแล้ว ดูที่เงื่อนไขในเซต \(r\) คือให้เอา \(A\times A\) แล้วเลือกเอาตัวที่สมาชิกที่ตัวหน้าน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวหลัง ดังนั้น จะได้ \(r\) ที่มีหน้าตาดังนี้

\(r=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)\}\) นั่นคือ \(r\) มีสมาชิก \(10\) ตัวนั่นเอง

3. ถ้ากราฟของ \(y=x^{2}-2x-8\) ตัดแกน \(X\) ที่จุด \(A,B\) และมี \(C\) เป็นจุดวกกลับ แล้ว รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีพื้นที่เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 50 ข้อ 25)
1. 21 ตารางหน่วย
2. 24 ตารางหน่วย
3. 27 ตารางหน่วย
4. 30 ตารางหน่วย
วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปประกอบจะง่ายครับผม ก่อนอื่นหาจุดตัดบนแกน \(X\) ก่อน อย่าลืมนะว่าจุดตัดบนแกน \(X\) ค่าของ \(y=0\) ดังนั้นเรามาแก้สมการนี้ \(y=x^{2}-2x-8\) เพื่อหาจุดตัดบนแกน \(X\) กันเลย

\begin{array}{lcl}y=x^{2}-2x-8\\0&=&x^{2}-2x-8\\x^{2}-2x-8&=&0\\(x-4)(x+2)&=&0\\so\\x=4,-2\end{array}

นั่นคือ กราฟนี้มีจุดตัดบนแกน \(X\) คือ \((4,0)\) และ \((-2,0)\)

ต่อไปหาจุดวกกลับ เราจะใช้ความรู้เกี่ยวกับการดิฟในการหาจุดวกกลับ ก็คือ
- ดิฟสมการเส้นโค้งจะได้ความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ
- ที่จุดวกกลับความชันของเส้นโค้งจะเท่ากับ \(0\)
เราก็เอาสมการเส้นโค้ง \(y=x^{2}-2x-8\) มาดิฟเลย ความจริงสมการนี้ก็คือพาราโบลา แบบหงายนั่นแหละตอน ม.4 เรียนมาแล้ว เริ่มดิฟเลย

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-2x-8\\y^{\prime}&=&2x-2\end{array}

นั้นคือตอนนี้เราได้ความชันเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ คือ \(y^{\prime}=2x-2\)

แต่ที่จุดวกกลับความชันเส้นโค้งเท่ากับ \(0\) ดังนั้นเราสามารถหาพิกัดของ \(x\) ได้โดยการนำสมการนี้ \(y^{\prime}=2x-2\) ไปเท่ากับ \(0\) จะได้

\begin{array}{cl}2x-2&=&\\x&=&1\end{array}

นั่นคือที่จุดวกกลับมีพิกัด \(x=1\)

ต่อไปหาว่าที่จุดวกกลับ พิกัด \(y\) จะเป็นเท่าใด

จากสมการนี้ \(y=x^{2}-2x-8\) เราแทน \(x=1\) ลงไปในสมการก็จะได้ค่า \(y\) ออกมา

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-2x-8\\y&=&(1)^{2}-(2)(1)-8\\y&=&-9\end{array}

นั่นคือจุดวกกลับอยู่ที่พิกัด \((1,-9)\)

ตอนนี้ข้อมูลที่เราได้มีดังนี้ จุดตัดบนแกน \(X\) คือ \((4,0)\) และ \((-2,0)\) จุดวกกลับคือ \((1,-9)\) วาดรูปคร่าวได้ประมาณนี้

ดังนั้น พื้นที่ สามเหลี่ยม \(ABC=\frac{1}{2}\times 6\times 9=27\) ตารางหน่วย

ภาพข้างล่างเป็นอีกภาพหนึ่งเอาไว้ดูเพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น

4. กำหนดให้ \(f(x)=-x^{2}+4x-10\) ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง (o-net 49 ข้อที่ 5)
1. \(f\) มีค่าต่ำสุดเท่ากับ -6
2. \(f\) ไม่มีค่าสูงสุด
3. \(f\) มีค่าสูงสุดเท่ากับ 6
4. \(f(\sqrt{\frac{9}{2}})<-6\)
วิธีทำ ถ้าเราดูจากสมการที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า \(f(x)=-x^{2}+4x-10\) เป็น พาราโบลา คว่ำ เพราะว่าสัมประสิทธิ์หน้า \(x^{2}\) ติดลบ เมื่อเป็นพาราโบลาคว่ำแสดงว่า มันไม่มีค่าต่ำสุด แต่มีค่าสูงสุด ซึ่งค่าสูงสุดก็คือจุดวกกลับนั่นเองครับ หาจุดวกกลับเลยครับผม

ทำการดิฟสมการพาราโบลาเลยคับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+4x-10\\f^{\prime}(x)&=&-2x+4\end{array}

ดังนั้น เราได้ความชันของเส้นโค้งหรือความชันของพาราโบลา จุดใดๆ

ที่จุดวกกลับความชันจะเป็น \(0\) ดังนั้นเราสามารถหาค่า \(x\) ได้โดยจับสมการนี้ \(f^{\prime}(x)=-2x+4\) ไปเท่ากับ \(0\) จะได้

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&-2x+4\\0&=&-2x+4\\x&=&\frac{-4}{-2}\\x&=&2\end{array}

ดังนั้นที่จุดวกกลับมีพิกัด \(x=2\) ต่อไปหาพิกัด \(y\) บ้าง

จาก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+4x-10\\f(x)&=&-(2)^{2}+(4)(2)-10\\f(x)&=&-4+8-10\\f(x)&=&-6\end{array}

นั่นคือที่จุดวกกลับมีค่า \(y=-6\) หรือก็คือค่าสูงสุดเท่ากับ \(-6\) นั่นเองครับ จากตัวเลือกจะเห็นว่าที่ถูกต้องที่สุดคือ ตัวเลือก 4. เพราะว่าค่าสูงสุดเป็น \(-6\) ดังนั้นไม่ว่าจะเอาไปอะไรใส่เข้าไปใน \(f(x)\) ต้องน้อยกว่า \(-6\) เสมอ

ดูภาพประกอบด้านล่าง

5. ถ้าจุด \(P\) เป็นจุดวกกลับของพาราโบลา \(y=-x^{2}+12x-38\) และ \(O\) เป็นจุดกำเนิด แล้ว ระยะห่างระหว่างจุด \(P\) และจุด \(O\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 49 ข้อ 6)
1. \(\sqrt{10}\) หน่วย
2. \(2\sqrt{10}\) หน่วย
3. \(\sqrt{13}\) หน่วย
4. \(2\sqrt{13}\) หน่วย
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมคือดิฟสมการพาราโบลาเพื่อหาจุดวกกลับ

\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}+12x-38\\y^{\prime}&=&-2x+12\end{array}

หาพิกัด \(x\) ของจุดวกกลับ จะได้

\begin{array}{lcl}y^{\prime}&=&-2x+12\\0&=&-2x+12\\x&=&\frac{-12}{-2}\\x&=&6\end{array}

ต่อไปหาพิกัด \(y\) ของจุดวกกลับ จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}+12x-38\\y&=&-(6)^{2}+12(6)-38\\y&=&72-74\\y&=&-2\end{array}

ดังนั้นจุดวกกลับคือ \((2,-6)\) นั่นคือ ระยะห่างระหว่างจุดวกกลับกับจุดกำเนิด \(O(0,0)\) คือ

\(\sqrt{(2-0)^{2}+(-6-0)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10}\)

6. ถ้าเส้นตรง \(x=3\) เป็นเส้นสมมาตรของกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)=-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\) เมื่อ \(k\) เป็นจำนวนจริง แล้ว \(f\) มีค่าสูงสุดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. -4
2. 0
3. 6
4. 14
วิธีทำ ข้อนี้ต้องอ่านโจทย์ดีนะคับ ข้อนี้กราฟที่เขาให้มาเป็นพาราโบลาหงายนะคับ \(x=3\) เป็นเส้นสมมาตรแสดงว่าจุดวกกลับคือจุด \((3,y)\) เราแค่หาพิกัด \(y\) ก็จะได้ค่าสูงสุดที่เป็นคำตอบของข้อนี้คับผม ก็ทำการดิฟเพื่อที่จะได้ความชัน แล้วเอาความชันไปเท่ากับ \(0\) เพื่อค่า \(k\) แล้วก็หาค่า \(y\) ต่อคับเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\\f^{\prime}(x)&=&-2x+k+5\end{array}

ต่อไปหาค่า \(k\) จุดวกกลับความชันเท่ากับ \(0\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&-2x+k+5\\0&=&-2x+k+5\\0&=&(-2)(3)+k+5\\0&=&-6+k+5\\k&=&1\end{array}

ตอนนี้เราได้แค่ \(k\) แล้ว และจุดวกกลับคือจุด \((3,y)\) เราก็หาค่า \(y\) เลยจะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\\f(3)&=&-(3)^{2}+(1+5)(3)+(1^{2}-10)\\f(3)&=&-9+18-9\\f(x)&=&0\end{array}

ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดคือ \(0\)

7. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}

ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}

8. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้

\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\)

และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\)

ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)

แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 6
2. 7
3. 10
4. 17
วิธีทำ ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ

\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}

จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น

\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย

\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ

โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}

ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว

จากสมการที่ \((1)\) คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}